-
V minulém videu jsme
díky důkazu sporem dokázali,
-
že odmocnina ze 2
je iracionální číslo.
-
V tomhle videu chci použít stejný
argument jen obecněji, abych dokázal,
-
že odmocnina jakéhokoli
prvočísla je vždy iracionální číslo.
-
Předpokládejme tedy,
že ‚p‘ je prvočíslo.
-
A nastavíme to tak,
abychom dospěli k důkazu sporem.
-
Budeme tedy předpokládat, že druhá
odmocnina z ‚p‘ je racionální číslo,
-
a uvidíme, jestli tak
dojdeme k logickému sporu.
-
Pokud je číslo racionální,
znamená to,
-
že ho můžeme vyjádřit
zlomkem o dvou celých číslech.
-
A když můžeme něco vyjádřit
zlomkem o dvou celých číslech,
-
můžeme to vyjádřit i zlomkem
dvou nesoudělných číslech,
-
tedy číslech
bez společného dělitele.
-
To znamená, že takový zlomek
již nelze dále krátit.
-
Takže předpokládejme,
že tenhle zlomek,
-
tedy (a lomeno b),
nelze již dále krátit.
-
Jak to?
-
No, odmocninu racionálního čísla,
v tomto případě ‚p‘,
-
mohu vyjádřit zlomkem
o dvou celých číslech.
-
No a tak můžu čitatele
i jmenovatele dělit společným dělitelem,
-
až se nakonec dostanu
ke zlomku, který již nelze krátit.
-
Takže to předpokládám
i o tomto zlomku.
-
Už ho nelze krátit.
-
A že ho nelze krátit
je pro nás důležité.
-
Znamená to totiž,
že ‚a‘ a ‚b‘ jsou nesoudělná čísla,
-
takže nemají kromě jedničky
žádného společného dělitele.
-
Pojďme teď tuhle
rovnici trošku upravit.
-
Obě strany umocníme.
-
Tak zjistíme, že ‚p‘ se rovná…
-
No, (a lomeno b) na 2 je to samé
jako (a na 2) lomeno (b na 2).
-
Obě strany vynásobíme (b na 2)
-
a máme (b na 2) krát p rovná se (a na 2).
-
Co nám to prozradilo o (a na 2)?
-
No, ‚b‘ je celé číslo.
Takže (b na 2) je taky celé číslo.
-
Takže: nějaké celé číslo krát p
rovná se (a na 2).
-
To znamená, že (a na 2)
musí být násobkem ‚p‘.
-
Napíšu vám to.
-
Takže: (a na 2) je násobkem p.
-
Takže, co nám to říká o ‚a‘?
-
Znamená to, že ‚a‘ musí být
zároveň i násobkem ‚p‘?
-
Abychom se nad tím zamysleli,
-
zamysleme se nejdřív nad
prvočíselným rozkladem ‚a‘.
-
Řekněme, že ‚a‘ může být,
stejně jako jakékoli jiné číslo,
-
rozloženo na prvočísla,
jako každé celé číslo.
-
Pojďme si teď
prvočíselný rozklad ‚a‘ vypsat.
-
Dejme tomu, že mám první činitel f1 krát
druhý činitel f2 a dál až n-tý činitel fn.
-
Nevím, na kolik činitelů
je ‚a‘ skutečně možno rozložit.
-
Jen vím, že ‚a‘ je nějaké celé číslo.
-
Takže tohle je prvočíselný rozklad ‚a‘.
-
Jak na prvočísla rozložit (a na 2)?
-
No, (a na 2) je vlastně (a krát a).
-
Prvočíselný rozklad se tedy
rovná (f1 krát f2) a tak dál až po fn.
-
A to celé pak vynásobíme:
f1 krát f2 … krát fn.
-
Můžu to klidně přeskládat: (f1 krát f1)
krát (f2 krát f2) až po fn krát fn.
-
Už víme, že (a na 2) je násobkem ‚p‘
-
a ‚p‘ je prvočíslo, tedy ‚p‘ je jedním
z činitelů v prvočíselném rozkladu ‚a‘.
-
‚p‘ by mohlo být f2,
nebo by mohlo být f1,
-
ale jedním z těchto činitelů
zkrátka být musí.
-
Takže ‚p‘ je jedním z těchto činitelů.
-
Takže řekněme, že ‚p‘,
a teď vybírám náhodně…
-
Řekněme, že p je f2.
-
A pokud p je f2, znamená to,
že ‚p‘ je činitelem z rozkladu ‚a‘.
-
Z toho můžeme vyvodit,
že ‚a‘ je násobkem ‚p‘.
-
Dá se to říct i tak,
že ‚a‘ je (nějaké celé číslo krát ‚p‘).
-
Co je na tom zajímavého?
-
Moment, ještě dám
tohle do rámečku,
-
protože to později
znovu použijeme.
-
Jak ale použít tohle?
-
Stejně jako u důkazu,
-
že odmocnina ze 2
je iracionální číslo.
-
Tohle teď vložíme
zpátky do téhle rovnice.
-
Takže máme (b na 2) krát p.
-
Máme ((b na 2) krát p) rovná se (a na 2),
-
‚a‘ teď můžeme vyjádřit jako
(nějaké celé číslo k krát p).
-
Takže tohle můžeme přepsat na:
nějaké celé číslo k krát p.
-
A když si to teď vynásobíme,
-
tak dostaneme: (b na 2) krát p,
asi už vidíte, kam tím mířím,
-
rovná se (k na 2 krát p na 2).
-
Obě strany teď vydělíme ‚p‘
-
a dostaneme: (b na 2) rovná se
p krát (k na 2).
-
Neboli (k na 2) krát p.
-
Podle stejného argumentu,
jaký jsme použili dřív, platí,
-
že když (a na 2) se rovná (b na 2 krát p),
pak je (a na 2) násobkem p.
-
A teď to vezmeme
z opačného konce:
-
(b na 2) se rovná mocnině
nějakého celého čísla,
-
která bude celé číslo krát p.
-
Čili (b na 2) musí být násobkem p.
-
Takže teď víme,
že (b na 2) je násobkem p.
-
Podle té samé logiky platí,
že ‚b‘ je násobkem ‚p‘.
-
To je ten logický spor,
který jsme hledali.
-
Předpokládali jsme,
že ‚a‘ a ‚b‘ jsou nesoudělná čísla,
-
že nemají kromě 1
žádného společného dělitele.
-
Předpokládali jsme,
že tenhle zlomek již nelze krátit.
-
A pak jsme jen z téhle rovnice
odvodili, že ‚a‘ i ‚b‘ jsou násobky ‚p‘.
-
Což znamená, že
tento zlomek lze krátit.
-
Čitatel i jmenovatel
můžeme krátit ‚p‘.
-
Takže to je logický spor.
-
Začali jsme s tím,
že zlomek nelze krátit,
-
ale ukázalo se, že to není pravda
a že krátit rozhodně lze.
-
Čitatel i jmenovatel
mají společného dělitele ‚p‘.
-
Tím jsme tedy stanovili logický spor.
-
Druhá odmocnina p tedy
nemůže být racionálním číslem.
-
Druhá odmocnina p
je tak číslo iracionální.
-
Moment, napíšu to.
-
Druhá odmocnina p
je iracionální číslo,
-
což jsme dokázali sporem.
