Dôkaz - Obsah kosoštvorca sa rovná polovici súčinu dĺžok uhlopriečok

Ukážeme, že dokážeme zistiť obsah kosoštvorca ako polovicu súčinu dĺžok uhlopriečok

Štvoruholník ABCD, hovoria nám, že je to kosoštvorec.

Aby sme dokázali, že obsah tohto kosoštvorca sa rovná jedna polovica krát AC krát BD znamená

v podstate dokázať, že obsah kosoštvorca sa rovná polovici

súčinu dĺžok jeho uhlopriečok.

Tak sa pozrime, čo s tým vieme urobiť.

Je tu zopár vecí, ktoré o kosoštvorcoch vieme.

Všetky kosoštvorce sú rovnobežníky a o rovnobežníkoch

vieme kopec vecí.

Ako prvé, ak je to kosoštvorec, tak vieme, že

všetky jeho strany sú rovnako dlhé.

Dĺžka tejto strany sa rovná dĺžke tejto strany, tá sa rovná

dĺžke tejto strany, a tá sa rovná dĺžke tejto strany.

Keďže je to rovnobežník, vieme, že

uhlopriečky sa rozpolujú.

nazvime tento bod tu E.

Vieme, že BE sa bude rovnať ED a

vieme, že AE sa bude rovnať EC.

A vieme tiež, keďže toto je kosoštvorec a už sme to dokazovali

v predchádzajúcom videu: že uhlopriečky

sa nielen rozpolujú, ale sú na seba aj kolmé.

Takže vieme, že toto je pravý uhol.

Toto je pravý uhol.

Toto je pravý uhol a ešte aj toto je pravý uhol.

Najjednoduchší spôsob, ako na to ísť je, že ak vieme ukázať, že

tento trojuholník ADC je zhodný s trojuholníkom ABC a

ak vieme zistiť obsah jedného z nich, môžeme ho len zdvojnásobiť.

Prvá časť je celkom jasná.

Vieme, že trojuholník ADC bude zhodný s trojuholníkom ABC

A vieme to podľa pravidla strana-strana-strana.

Táto strana je zhodná s touto.

Táto strana je zhodná s touto a

oba trojuholníky majú spoločnú stranu AC.

Takže je to podľa strana-strana-strana.

Vďaka tomu vieme, že obsah ABCD sa bude rovnať

dvojnásobku obsahu, môžeme si vybrať ľubovoľný z týchto, ABC...

Napíšem to takto.

Obsah ABCD sa rovná obsah ADC plus obsah ABC,

ale keďže sú zhodné, tieto dva budú rovnaké,

takže to bude len dvojnásobok obsahu ABC.

Teraz poďme na obsah ABC.

Obsah trojuholníka je jedna polovica krát základňa krát výška.

Obsah ABC sa rovná jedna polovica krát základňa tohto trojuholníka

krát jeho výška.

Aká je dĺžka základne?

Dĺžka základne je AC.

Farebne to označím.

Základňa je AC a aká je potom výška?

Vieme, že táto uhlopriečka tu je kolmá a rozpolujúca,

takže výška je vzdialenosť BE.

Takže je to AC krát BE, toto je výška.

Toto je výška trojuholníka.

Pretína túto základňu v deväťdesiat stupňovom uhle.

Alebo môžeme povedať, že BE je to isté ako BD

To sa rovná krát AC, to je naša základňa.

Naša výška je BE, čo je BE.

To je obsah ABC, toho širšieho,

väčšieho trojuholníka tu hore.

To je polovica kosoštvorca.

Povedali sme, že obsah celého je dvakrát toto.

Keď sa vrátime, ak použijeme túto aj

túto informáciu...

Máme: obsah ABCD sa bude rovnať

dvakrát obsah ABC, tohto tu.

Je to dvakrát obsah ABC, tuto.

Takže krát je, krát AC krát BD.

Tak vidíte kam to smeruje.

dvakrát je, krát AC krát BD.

Úplne priamo, je to pekný výsledok.

Vlastne toto som vo videu ešte nerobil.

Spravím to v nasledujúcom.

Existujú aj iné spôsoby výpočtu obsahu rovnobežníkov.

Vo všeobecnosti je to vlastne podstava krát výška.

Ale pre kosoštvorec, mohli sme použiť aj to, lebo to tiež je rovnobežník,

Ale máme tu aj tento šikovný výsledok,

ktorý sme dokázali v tomto videu.

A ak poznáme dĺžky uhlopriečok,

obsah kosoštvorca je polovica súčinu dĺžok

uhlopriečok, čo je fakt pekný výsledok.