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Estão nos dizendo que o quadrilátero
A, B, C e D é um losango,
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e devemos provar que a área deste losango
é um sobre dois, vezes AC, vezes BD,
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essencialmente, provando que a área do
losango é um sobre dois,
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vezes o produto do comprimento de
suas diagonais.
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Vamos ver o que conseguimos fazer.
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Existem várias coisas que sabemos sobre
losangos.
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Todos os losangos são paralelogramos e
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os conhecemos bem.
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Primeiramente, se isto é um losango,
sabemos que seus
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lados são congruentes.
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O comprimento desse lado é igual ao
daquele outro lado, que é
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igual àquele comprimento, que é igual
ao outro.
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Como isto é um paralelogramo,
sabemos que as diagonais
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se interceptam e dividem em partes iguais.
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Vamos chamar este ponto aqui de E
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Sabemos que BE será igual a ED e
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sabemos que AE é igual a EC.
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Também sabemos que, porque isto
é um losango, e provamos isto
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no último video: as diagonais
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não apenas se bissectam,
mas também são perpendiculares.
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Sabemos então que este é um
angulo reto.
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Este é um ângulo reto.
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Aquele é um ângulo reto e este é um
ângulo reto.
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A forma fácil de se pensar sobre isto é,
se conseguirmos mostrar que
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este triângulo ADC é congruente
ao triângulo ABC e
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se descobrirmos a área de um deles,
só teremos que dobrá-la.
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A primeira parte é bem direta.
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Sabemos que o triângulo ADC será
congruente ao triângulo ABC
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e sabemos disso devido à congruência
lado-lado-lado.
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Este lado é congruente a este lado.
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Este lado é congruente a este lado e
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este ambos compartilham AC bem aqui.
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Então, isto é lado-lado-lado.
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Por conta disso, sabemos que a área de
ABCD será
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igual a duas vezes a área de, podemos
pegar este aqui, de ABC.
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Deixe-me escrever desta forma.
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A área de ABCD é igual de ADC somada à
área de ABC,
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mas como são congruentes, os dois
são a mesma coisa,
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sendo assim apenas multiplicamos por dois
a área de ABC.
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Agora, qual a área de ABC?
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A área de um triângulo é dada pela metade
do produto da base vezes altura.
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A área de ABC é igual a um sobre dois
vezes a base deste triângulo,
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vezes sua altura.
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Qual é o comprimento da base?
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O comprimento da base é AC.
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Vou colorir isso.
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A base é AC e qual é a altura aqui?
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Nós sabemos que esta linha diagonal aqui é
uma bissetriz perpendicular,
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então a altura é a distância de BE.
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Assim sendo, AC vezes BE, esta é a altura.
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Esta é uma altura.
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Uma intersecção nesta base em um
ângulo de 90 graus.
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Ou podemos dizer que BE e igual um
sobre dois, vezes BD.
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Isto é igual a um sobre dois,
vezes AC, esta é a nossa base.
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Nossa altura é BE, que é igual a um
sobre dois vezes BD.
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Esta é a área de ABC, aquele
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grande triângulo lá em cima.
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Que é metade do losango.
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Dizemos que a área total é duas vezes
isto.
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Se voltarmos, se usarmos essas
informações e
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esta informação bem aqui.
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Teremos a área de ABCD, que será igual a
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duas vezes a área de ABC, que é essa
coisa bem aqui.
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Isto é duas vezes a área de ABC, bem aqui.
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Então, um sobre dois, vezes um sobre dois
é um quarto, vezes AC, vezes BD.
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Você pode ver aonde estamos indo.
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Duas vezes um quarto é igual um sobre
dois, vezes AC, vezes BD.
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Bem direto, um resultado legal.
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Na verdade, não havia feito isto
em um vídeo ainda,
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vou fazer no próximo.
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Existem outras maneiras de se
achar as áreas
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Normalmente é só base
vezes altura.
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Mas para um losango, podemos fazer isso
porque ele é um paralelogramo,
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mas também temos outro
resultado interessante,
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que deduzimos aqui.
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Se soubermos o comprimento das diagonais
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a área do losango é um sobre dois vezes
o produto do comprimento das diagonais,
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o que é um resultado legal.
[traduzido por Ricardo da Costa Santana]
