Proof - Rhombus Area Half Product of Diagonal Length

Showing that we can find the area of a rhombus by taking half the product of the lengths of the diagonals

Vi blir fortalt at firkanten ABCD er en rombe.

Vi skal bevise at rombens areal er lik 1/2 ganger AC ganger BD,

det vil si 1/2 ganger produktet

av lengden av diagonalene.

.

Vi vet mye om romber.

Alle romber er parallellogrammer,

og de vet vi også mye om.

I en rombe er alle

sidene kongruente,

Da er alle sammen like lange,

så de er alle lik hverandre.

I et parallellogram vet vi,

at diagonalene skjærer hverandre.

La oss kalle dette punktet for E.

BE er lik ED,

og AE er lik EC.

Vi beviste i siste video,

at i en rombe halverer diagonalene,

hverandre, og de er vinkelrett på hverandre.

Det her er en rett vinkel.

Det er det her også.

Det er de her 2 også.

Hvis vi kan vise, at trekanten ADC

er kongruent med trekanten ABC

og finne arealet av den ene, kan vi fordoble det.

Den første delen er lett.

Trekant ADC er kongruent med trekant ABC.

.

Den her siden er kongruent med den her siden.

Det samme med de her 2.

De deler AC over her.

.

Derfor vet vi at arealet av ABCD er lik

2 ganger arealet av ABC eller den andre trekanten.

.

Arealet av ABCD er lik arealet av ADC pluss arealet av ABC.

Disse to vil være det samme,

så det er bare 2 ganger arealet av ABC.

Hva er arealet av ABC så?

Arealet av en trekant er 1/2 ganger grunnlinjen ganger høyden.

Arealet av ABC er lik 1/2 ganger grunnlinjen i trekanten

ganger høyden.

Hvor lang er grunnlinjen?

Det er trekantens grunnlinje.

.

Den kalles AC. Hva er høyden?

Vi vet, at den diagonale linjen er en vinkelrett halveringlinje.

Høyden er derfor avstanden fra BE.

Høyden er altså AC ganger BE.

Dette er en høyden.

Den krysser grunnlinjen i en vinkel på 90 grader.

BE er også det samme som 1/2 ganger BD.

Det er lik AC, som er vår grunnlinjen.

Høyden er BE, som er 1/2 ganger BD.

Det er arealet av ABD, som er den brede,

store trekanten her.

Denne halvdelen av romben.

Arealet av hele romben er 2 ganger trekanten.

Vi kan bruke både informasjon her

og denne informasjonen.

Arealet av ABCD er lik

2 ganger arealet av ABC, som er trekanten her.

2 ganger arealet av ABC.

1/2 ganger 1/2 ganger er 1/4 ganger AC ganger BD.

.

2 ganger 1/4 er 1/2 ganger AC ganger BD.

.

.

.

Det finnes andre måter å finne arealet av parallellogrammer.

Det er grunnlinjen ganger høyden.

En rombe er et parallellogram,

så vi gjør det samme.

.

Hvis vi kjenner lengden av diagonalen,

er arealet av romben 1/2 ganger produktet av

diagonalenes lengde.