Důkaz - Obsah kosočtverce se rovná polovině součinu délek úhlopříček

Ukážeme, že dokážeme zjistit obsah kosočtverce jako polovinu součinu délek úhlopříček.

Čtyřúhelník ABCD je kosočtverec.

Abychom dokázali, že obsah tohoto kosočtverce
se rovná jedna polovina krát AC krát BD,

je potřeba v podstatě dokázat,
že obsah kosočtverce se rovná

jedné polovině
součinu délek jeho úhlopříček.

Co s tím můžeme udělat?

Je tu pár věcí,
které o kosočtvercích víme.

Všechny kosočtverce jsou rovnoběžníky
a o rovnoběžnících

víme hodně věcí.

Za prvé, pokud je to kosočtverec,
tak všechny jeho

strany jsou stejně dlouhé.

Délka této strany se rovná
délce této strany, ta se rovná délce

této strany
a ta se rovná délce této strany.

Když je to rovnoběžník, víme,

že úhlopříčky se půlí.

Nazvěme tenhle bod tady E.

Víme, že BE se bude rovnat ED

a že AE se bude rovnat EC.

A také víme, že když je to kosočtverec
(a už jsme to dokazovali

v předcházejícím videu),
tak úhlopříčky

se nejen půlí,
ale jsou na sebe i kolmé.

Takže víme, že toto je pravý úhel.

Toto je pravý úhel.

Toto je pravý úhel
a ještě i toto je pravý úhel.

Nejjednodušší způsob, jak na to jít,
je, že dokážeme,

že trojúhelník ADC je shodný
s trojúhelníkem ABC,

potom zjistíme obsah jednoho z nich
a jenom ho pak zdvojnásobíme.

První část je celkem jasná.

Víme, že trojúhelník ADC
bude shodný s trojúhelníkem ABC.

A víme to podle pravidla
strana - strana - strana (SSS).

Tato strana je shodná s touto.

Tato strana je shodná s touto

a oba trojúhelníky
mají společnou stranu AC.

Takže je to podle věty
strana-strana-strana.

Díky tomu víme,
že obsah ABCD se bude rovnat

dvojnásobku obsahu
(můžeme si vybrat libovolný z těchto) ABC...

Napíšu to takto.

Obsah ABCD se rovná
obsah ADC plus obsah ABC,

ale když jsou shodné,
tyto dva budou stejné,

takže to bude jen dvojnásobek obsahu ABC.

Teď pojďme na obsah ABC.

Obsah trojúhelníku je
jedna polovina krát základna krát výška.

Obsah ABC se rovná jedna polovina
krát základna tohoto trojúhelníku

krát jeho výška.

Jaká je délka základny?

Délka základny je AC.

Barevně to označím.

Základna je AC,
a jaká je potom výška?

Víme, že tato úhlopříčka tady
je kolmá a rozpůlená,

takže výška je vzdálenost BE.

Takže je to AC krát BE, toto je výška.

Toto je výška trojúhelníku.

Protíná tuto základnu
v devadesátistupňovém úhlu.

Nebo můžeme říci, že BE je to stejné
jako jedna polovina krát BD.

To se rovná jedna polovina krát AC,
to je naše základna.

Naše výška je BE, a to je stejné
jako jedna polovina krát BD.

To je obsah ABC,
tohoto širšího,

většího trojúhelníku tady nahoře.

To je polovina kosočtverce.

Řekli jsme,
že obsah celého je dvakrát toto.

Když se vrátíme, když použijeme tuto

i tuto informaci...

Dostáváme: Obsah ABCD se bude rovnat

dvakrát obsah ABC, a to je tohle.

Je to dvakrát obsah ABC, tady.

Takže polovina krát polovina je čtvrtina,
krát AC krát BD.

A vidíte, kam to směřuje.

Dvakrát jedna čtvrtina je jedna polovina,
krát AC krát BD.

Docela zřejmé, je to pěkný výsledek.

Vlastně toto jsem ve videu ještě nedělal.

Udělám to v následujícím.

Existují i jiné způsoby
výpočtu obsahu rovnoběžníků.

Všeobecně je to vlastně
podstava krát výška.

A pro kosočtverec jsme mohli použít i to,
neboť je také rovnoběžník.

Ale máme tu i tento šikovný výsledek,
který jsme dokázali

v tomto videu.

A když známe délky úhlopříček,

obsah kosočtverce je
polovina součinu délek úhlopříček,

což je opravdu pěkný výsledek.