Доказателство: лице на ромб е половината от произведението на диагоналите му

В това видео се доказва, че можем да намерим лицето на ромб като умножим диагоналите му и вземем половината от това произведение.

Даден е четириъгълникът ABCD.
Дадено ни е, че е ромб.

Трябва да докажем, че
лицето му е 1/2 по AC по BD

и така да докажем, че лицето
на всеки ромб

е половината от произведението
на дължините на диагоналите.

Да видим какво можем да направим.

Знаем няколко неща за ромбовете.

Всеки ромб е успоредник,
а ние знаем много за тях.

Щом това е ромб,
то страните му

са равни помежду си.

Тази страна е равна на тази,

а тя е равна на тази,
която е равна на тази.

Това също е успоредник,
значи диагоналите му

взаимно се разполовяват.

Ще обознача тази точка с Е.

Имаме, че ВЕ е равна на ED

и АЕ е равна на ЕС.

В предишното видео доказахме
още нещо за всеки ромб:

диагоналите му не само

се разполовяват взаимно,
но са и перпендикулярни.

Следователно това е прав ъгъл.

Това също е прав ъгъл.

И тези ъгли са прави.

Можем да намерим лицето на ромба
по-лесно, като докажем,

че триъгълникът ADC
е еднакъв с триъгълника ABC.

Ако намерим лицето на единия от тях,
можем просто да го удвоим.

Тази част е лесна.

Виждаме, че триъгълниците
ADC и ABC са еднакви.

Доказва се чрез трети признак
за еднаквост на триъгълници:

тези две страни са равни

и тези две страни също са равни,

а страната АС е обща
за двата триъгълника.

Имат еднакви страни.

От това следва, че лицето на ромба АBCD

e равно на 2 по лицето на единия
от тези триъгълници,

да речем, на ABC.

Ще го напиша така:

Лицето на ABCD е равно на
лицето на ADC плюс лицето на ABC.

Тъй като триъгълниците са еднакви,
то тези две лица са равни,

и това е равно на
2 пъти по лицето на ABC.

Сега да намерим лицето
на триъгълника ABC.

Лицето на триъгълник е 1/2
по страна по височината към нея.

Лицето на ABC е 1/2 от дължината
на негова основа по височината към нея.

Колко е дължината на тази страна?

Това е отсечката АС.

Ще използвам същия цвят.

Имам страната АС,
коя е височината към нея?

Знаем, че този диагонал
е симетрала на другия,

значи височината към АС
е отсечката ВЕ.

Записвам АС по ВЕ.

ВЕ е височината,

защото среща страната
под ъгъл от 90 градуса.

Можем да представим ВЕ
като половината на ВD.

Лицето е равно на 1/2 по АС,
това е основата на триъгълника,

по височината към нея ВЕ,
което е 1/2 по BD.

Това е лицето на този триъгълник,

големия триъгълник тук,

тази половина от ромба.

Казахме, че лицето на целия ромб
е два пъти по това.

Ако се върнем назад
и използваме информацията,

която намерихме досега,

получаваме, че лицето на ABCD

е два пъти по лицето на ABC,

а лицето на ABC изразихме тук,

имаме два пъти по лицето на ABC,

1/2 по 1/2 е 1/4

по АС по ВD.

Лицето на ромба

става 2 по 1/4, което е 1/2,
по AC по BD.

Лесно достигнахме търсения резултат.

В следващото видео ще покажа

други начини
за намиране на лицата на успоредници.

В общия случай, лицето
е страна по височина.

Можем да ги използваме и за ромба,
тъй като той е успоредник,

но имаме и този лесен начин,

който доказахме тук.

Ако знаем дължините на диагоналите,

то лицето на ромба е половината
от тяхното произведение.

Това е полезен резултат.