Euler's Formula and Euler's Identity

ในวิดีโอที่แล้ว เราได้กระจาย e^x แบบแมคลอริน, และเราเห็นว่ามันดูเหมือน

การผสมกันระหว่างการประมาณ cos(x) กับ sin(x) ด้วยพหุนาม, แต่มันไม่ใช่เสียทีเดียว, เพราะมันมี

เครื่องหมายลบอยู่ในนี้, ถ้าเราบวกสองตัวนี้เข้าด้วย, มันจะไม่ตรง, กับตอน

ที่เราหารูป e^x. แต่เพื่อให้มันรวมกันได้ล ผมจะทำ, ผมไม่รู้ว่า คุณจะเรียกมัน

ว่ากลได้หรือเปล่า. ลองดู, ถ้าเราเอาการกระจาย e^x เป็นพหุนามนี้มา, การประมาณนี้, สิ่งเกิดขึ้น,

ถ้าเราบอกว่า e^x คือเจ้านี่, นี่กลายเป็นเทอมจำนวนนับไม่ถ้วน, มันเริ่มไม่ใช่การประมาณแล้ว

มันเหมือนเท่ากับมากกว่า. เกิดอะไรขึ้นหากผมใช้ e^(ix). และก่อนหน้านั้น มันเป็นเรื่องแปลกที่จะทำ

ขอผมเขียนลงไปนะ: e^(ix). เพราะก่อนหน้านี้, แบบว่า, คุณจะกำหนดค่า e ยกกำลัง i อย่างไร, มันเป็นสิ่ง

ที่ประหลาดมาก, การจับอะไรสักอย่างยกกำลัง xi, เราจะเข้าใจ

ฟังก์ชันแบบนั้นได้อย่างไร. แต่ตอนนี้เรามี e^x กระจายเป็นพหุนามได้แล้ว, เราจึงอาจ

ทำความเข้าใจมันได้, เพราะเราสามารถจับ i ยกกำลังค่าต่างๆ ได้, และเรารู้ว่ามันจะให้, คุณก็รู้

i^2 = -1, i^3 = -i, ไปเรื่อยๆ. แล้วเกิดอะไรขึ้นเมื่อคุณหา e^(ix)? เหมือนเดิม, มันก็เหมือน

ตอนใส่ x ตรงนี้, แต่แทนที่มันด้วย ix. แล้วทุกที่ที่เราเห็น x ในพหุนามที่

ประมาณนี้ เราสามารถเขียนมันเป็น ix ได้. งั้นลองทำดูกัน. e^(ix) ควรมีค่าประมาณเท่ากับ, มันจะ

ใกล้คำว่าเท่ากับมากขึ้นเรื่อยๆ. และนี่เป็นเรื่องของสัญชาตญาณมากกว่าเพราะผมไม่ได้พิสูจน์อย่างรัดกุมตรงนี้. แต่มันก็ยัง

น่าตื่นเต้นอยู่ได้... ผมไม่อยากอวดเกินไป, แต่ผมไม่คิดว่าผมจะอวดสิ่งที่กำลังจะปรากฏในวิดีโอนี้ได้

มันจะเท่ากับ 1+, แทนที่จะเป็น x, เราจะได้ ix, + ix +, แล้ว

(ix)^2 คืออะไร? มันจะเป็น, ขอผมเขียนนี่ลงไปนะ, (ix)^2/2 เป็นเท่าไหร่? ทีนี้ i^2 จะเป็น -1 และ

คุณจะได้ (x^2)/2!. มันจะเป็น -(x^2)/2!, และผมว่าคุณคงเห็นแล้วว่ามันจะเป็นอย่างไรต่อ. แล้วก็,

ix นี่, จำไว้, ทุกที่ที่เราเห็น x เราจะแทนที่มันด้วย ix. แล้ว (ix)^3 คืออะไร, ที่จริง

ขอผมเขียนนี่ออกมานะ, ผมจะไม่ข้ามขั้นต่อตรงนี้. นี่ก็จะเป็น ((ix)^2)/2!. ที่จริงขอผม

... ผมอยากทำแบบนี้... ได้ + ((ix)^2)/2! + ((ix)^3)/3! + (ix)^4)/4! + ((ix)^5)/5! แล้วเราก็ทำ

ไปเรื่อยๆ ได้. แต่ลองหาค่า ix ยกกำลังค่าต่างๆ ก่อนแล้วกัน. นี่ก็จะเท่ากับ 1+ix ...

(ix)^2, มันก็เหมือนกับ (i^2)(x^2), i^2 ได้ -1. แล้วนี่ก็คือ -(x^2)/2!. แล้วนี่ก็

เท่ากับ (i^3)(x^3), i^3 ก็เหมือนกับ (i^2)i, แล้วมันจะเป็น -i, มันจะเท่ากับ -i(x^3)/3!. แล้ว,

แล้วก็ +, คุณจะได้, i^4 เป็นเท่าไหร่? มันจะเป็น (i^2)^2, แล้วมันคือ (-1)^2, นั่นจะเท่ากับ 1, แล้ว i^4

ได้ 1 แล้วคุณจะได้ x^4, เป็น +(x^4)/4!. แล้วคุณก็ได้ +, ผมไม่อยากเขียน +

ตอนนี้, i^5, i^5 จะเท่ากับ 1i, มันจึงเป็น i(x^5)/5!, ผมว่าคุณคงเริ่มเห็น

รูปแบบตรงนี้แล้ว. สัมประสิทธิ์เป็น 1, i, -1, -i, 1, i แล้ว -1(x^6)/6! แล้วก็ -i(x^7)/7!. เราได้เทอมมา, บางตัวเป็น

จำนวนจินตภาพ, พวกมันมี i อยู่, มันคูณอยู่กับ i, บางตัวเป็นจำนวนจริง, ทำไมเราไม่ลอง

แยกมันจากกันล่ะ? ทำไมเราไม่ลองแยกมันดู? เหมือนเดิม, e^(ix) จะเท่ากับเจ้านี่, โดยเฉพาะ

ตอนที่เรามีเทอมเป็นจำนวนนับไม่ถ้วน. งั้นลองแยกมันออกมา, เทอมจริงกับเทอมไม่จริง, หรือเทอมจริง

กับเทอมจินตภาพ, ผมว่าอย่างนั้นดีกว่า. นี่คือจำนวนจริง. นี่คือจำนวนจริง, นี่คือจำนวนจริง, และเจ้านี่ตรงนี้เป็นจำนวนจริง, แล้วเรา

ก็ทำต่อไปเรื่อยๆ. แล้วเทอมจำนวนจริงตรงนี้คือ 1 -(x^2)/2! + (x^4)/4! แล้วคุณก็เริ่มตื่นเต้นแล้ว

ตอนนี้, -(x^6)/6! แล้วนั่นคือที่ผมทำตรงนี้, แต่มันยังมีต่อไป, เป็น +, ต่อไปเรื่อยๆ. นั่นคือเทอม

จำนวนจริงทั้งหมด. แล้วเทอมจินตภาพมีอะไรบ้างตรงนี้? ขอผมลอง, ผมจะแยก i ออกมาตรงนี้นะ. มันจะเป็น

+i คูณ, ทีนี้, นี่คือ ix, นี่จะเป็น x, แล้วตัวต่อไป... นี่ก็คือเทอมจินตภาพ, นี่คือ

เทอมจินตภาพ, เราแยก i ออกมา, แล้ว -- (x^3)/3!, แล้วเทอมจินตภาพตัวต่อไปอยู่ตรงนี้, เรา

แยก i ออกมา, +(x^5)/5!, แล้วเทอมจินตภาพตัวต่อไปอยู่ตรงนี้, เราแยก i ออกมา, มันก็คือ

-(x^7)/7! แล้วเราทำต่อไปได้อีก. ได้ บวก, ลบ, ต่อไป, ต่อไปเรื่อยๆ. ไปจนถึงอนันต์,

แล้วเราก็ได้ค่าประมาณดีเท่าที่ต้องการ. เราจึงได้ e^(ix) เท่ากับ

เจ้าพวกนี้. แต่คุณอาจจำได้จากวิดีโอก่อนๆ ว่า, ส่วนจริง, นี่คือ

พหุนาม, นี่คือการประมาณแมคลอรินของ cos(x) รอบ 0, หรือผมควรบอกว่าการประมาณ

เทย์เลอร์รอบจุด 0 มากกว่า, หรือเราเรียกมันว่าการประมาณแมคลอรินก็ได้. นี่และนี่

ก็เหมือนกัน. นี่ก็คือ cos(x), เฉพาะตอนที่เราบวกเทอมไปจนถึงอนันต์, cox(x). เจ้านี่ตรงนี้, คือ

sin(x), เหมือนกันเลย. ดูเหมือนว่าเราจะสามารถหาวิธีรวม cos(x) กับ sin(x)

เพื่อให้ได้อะไรอย่างเช่น e^x แล้ว. เจ้านี่ตรงนี้คือ sin(x) แล้ว, เรายอมรับมันเลย, ผมไม่ได้พิสูจน์ให้คุณดู

อย่างรัดกุม, ว่าถ้าคุณเอาเทอมจำนวนเป็นอนันต์มา, มันจะกลายเป็น cos(x) พอดี, และถ้าคุณเอา

เทอมพวกนี้มาเป็นอนันต์, มันจะเป็นกลายเป็นอนันต์. มันกลายเป็นสูตรที่น่าอัศจรรย์, เราบอกได้ว่า

e^(ix) ก็เหมือนกับ cos(x), แล้วคุณควรรู้สึกขนลุกแล้วตอนนี้, เท่ากับ

cos(x) + i sin(x). และนี่คือสูตรของออยเลอร์. เจ้านี่ตรงนี้คือสูตรของออยเลอร์, และถ้าสูตรนี้ไม่

น่าตื่นเต้นหรือบ้าบอพอสำหรับคุณ, คงเป็นเพราะเราได้ทำอะไรเจ๋งๆ

มาเยอะแล้ว. เราได้ยุ่งเกี่ยวกับ e, ซึ่งเราได้จากการหาดอกเบี้ยทบต้น, เราได้ cos(x) กับ

sin(x), ซึ่งก็คืออัตราของด้านสามเหลี่ยมมุมฉาก, มันมาจากวงกลมหน่วย, เราโยน (-1)^(1/2) ลงไป

แล้วมันก็เกิดความสัมพันธ์เจ๋งๆ ตรงนี้. แต่มันเจ๋งเป็นพิเศษ, แล้วเราจะสมมุติว่าเรา

กำลังคิดหน่วยเป็นเรเดียนตรงนี้, ถ้าเราสมมุติสูตรของออยเลอร์ถูกต้องแล้ว, เกิดอะไรขึ้นเมื่อ x เท่ากับ ไพ? แค่

แทนค่าเลขเพี้ยนๆ ลงไปตรงนี้, อัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวง กับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม

เกิดอะไรขึ้นเมื่อเราใส่ ไพ ลงไป? เราจะได้ e^((i)(pi)) มันเท่ากับ cos(pi), cos(pi) คืออะไร? cos(pi) คือ, ไพ คือ

ครึ่งทางของวงกลมหน่วย, ดังนั้น cos(pi) เป็น -1, แล้ว sin(pi) เป็น 0. เทอมนี้ก็หายไป. แล้วถ้าคุณ

หาค่ามันที่ ไพ, คุณจะได้สิ่งมหัศจรรรย์ขึ้นมา, นี่คือ สมการของออย์เลอร์!! สมการของออยเลอร์! ผมมีปัญหา

การอ่านชื่อออยเลอร์ตลอด. สมการของออย์เลอร์!! ซึ่งเราสามารถเขียนมันแบบนี้ได้, หรือเราจะบวก 1 ทั้งสองข้างก็ได้, แล้วเรา

เขียนมันได้อย่างนี้. ผมจะเขียนมันอีกสีเพื่อเน้นหน่อย. e^((i)(pi)) + 1 = 0 และนี่, นีเป็นการกระตุ้นความคิดจริงๆ

ผมหมายความว่า, ตรงนี้, เรามี, คุณจะเห็นว่า, ผมหมายความว่า, นี่บอกคุณว่ามันมีความเชื่อมโยง

ในจักรวาลที่เรายังไม่เข้าใจทั้งหมด, หรืออย่างน้อย ผมเองยังไม่เข้าใจทั้งหมด. i นิยามโดยวิศวกร

เพื่อให้ง่าย เวลาเขาต้องหารากของพหุนามทั้งหมด, เช่น, คุณบอกว่า, สแควร์รูทของ -1

ไพ คืออัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงของวงกลม กับเส้นผ่านศูนย์กลาง, เป็นเลขที่น่าสนใจอีกตัว

แต่ดูเหมือนว่ามันมาจากคนละที่กับ i. e มาจากหลายที่

e ถ้าคุณคิดดู, มันมาจากดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง, สำคัญมากในไฟแนนซ์,

มันยังมาจากการหาอนุพันธ์ของ e^x เท่ากับ e^x, เป็นเลขที่น่าตื่นเต้น, แต่เหมือนเดิม

ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกับวิธีที่เราได้ i มา และดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกับวิธีที่เราได้ ไพ มาเช่นกัน

และแน่นอน, คุณมีตัวเลขพื้นฐานที่สุดตรงนี้, คุณมี 1, ผมคง

ไม่ต้องอธิบายว่าทำไม 1 ถึงเป็นเลขที่เจ๋ง, และผมไม่ควรต้องอธิบายว่าทำไม 0 ถึงเป็นเลขที่เจ๋งด้วย และเจ้านี่

ตรงนี้, เชื่อมโยงจำนวนพื้นฐานเหล่านี้ทั้งหมดเข้าด้วยกัน, ในแบบที่น่าพิศวง, มันบอกเราว่า มีความเชื่อมโยง

แบบนี้ในจักรวาล, และพูดกันตามตรง, ว่ากันตรงๆ เลย, ถ้านี่ไม่ทำให้คุณสมองกระจายล่ะก็, คุณก็...

คุณไม่มีหัวใจแล้วล่ะ