Intro to 30-60-90 Triangles

기침으로 시작해서 죄송합니다

여전히 감기 기운이 좀 남아 있는 것 같군요

하지만 지금은 45-45-90 삼각형에 대해 계속해 보려고 합니다

지난번 강의 마지막에서 우리는 45-45-90 삼각형에서

빗변의 길이를 제외한 나머지 두 변은

빗변의 루트 2/2 라는 것을 배웠습니다

몇 가지 문제를 더 풀어봅시다

이 삼각형의 빗변을-

다시 한 번 말하지만 45-45-90 삼각형만 해당하는데-

하나의 각이 45 라고 하면 나머지 하나도

당연히 45라는 것을

알 수 있겠지요

여기서 빗변이

10라고 한다면

여기가 수직인 각의 맞은편이니까

빗변이라는 것을 알 수 있을 테고요

그럼 저는 이 변, x가 얼마인지 묻고 싶습니다

x가 빗변의 길이에 루트 2/2를 곱한 값이니까

10 곱하기 루트 2/2

x는 5 곱하기 루트 2

10 나누기 2니까

x는 5 곱하기 루트 2입니다

이 변과 이 변이 같다는 것을 알고

그렇죠?

이 두 각의 크기가 같으니까

결국 이등변삼각형이라는 것을 알 수 있네요

이 변은 5 루트 2 가 되는 것입니다

확실하지 않으면 직접 해보세요

피타고라스 정리를 이용하면 됩니다

피타고라스 정리에 의하면 저 5루트 2의 제곱과

이 5루트 2의 제곱의 합이 빗변의 길이의 제곱,

즉 빗변의 길이는 10이니까

제곱한 100과 같아야 합니다

아니면 이게 25 곱하기 2

50이 되니까

빗변에서 제곱하면 100이 되므로

50을 합하면 100이 됩니다

맞다는 것을 알 수 있고요

알맞게 구했습니다

피타고라스 정리를 통해 증명을 했고

또 그게 사실 이 식을 처음 얻게 된

방법이기도 하고요

이 증명 방법을 잊어버렸다면

이전 강의로 되돌아가면 합니다

다른 종류의 삼각형을

소개해 보도록 하겠습니다

같은 방법으로 여러분에게 문제를 드리고

피타고라스 정리를 통해

알아보도록 하겠습니다

이건 30-60-90 인

또 다른 삼각형입니다

이번 한 번에 끝내기 부족하다면

다음 강의에 이어서 하겠습니다

직각삼각형 하나가 있다고 합시다

예쁘진 않지만 우리에게 이것밖에 없습니다

저기가 직각입니다

여기가 30 도라고 가르쳐 드리면

삼각형의 각도의 합은 180이라는 것을 아니까

여기가 30, 여기가 90 이고 여기가 x라고 하면

x+30+90=180 이 되겠죠

삼각형 내각의 크기의 합은 180이니까

x 는 60입니다

맞죠?

이 각도는 60도입니다

그래서 30-60-90 삼각형이라는 것입니다

가운데 세 각의 이름입니다

여기서 빗변이 -이번에는 c라고 부르지 말고

h라고 합시다-

다른 변의 길이를 알고 싶으면 어떻게 할까요?

피타고라스 정리를 통해

할 수가 있습니다

그럼 저는 약간의 마술을 부려

이 삼각형을 복사해서 이번에는 뒤집은

모양을 그려보겠습니다

같은 삼각형이고 단지 다른 방향을

바라보고 있을 뿐입니다

여기가 90도라면 나머지 두 각들은

더해서 90이 될 것입니다

선을 공통으로 가지는 두 각의 합이 180이 된다는 것을

까먹었으면 각도 부분을

다시 복습하길 바랍니다

여기가 90이면 여기도 90입니다

딱 봐도 알 수 있겠지요

말이 됩니다

그리고 아까 뒤집었으니까 이 삼각형은

이 삼각형과 합동입니다

반대쪽으로 뒤집었을 뿐입니다

이 각이 30도라는 것을 알고 있고

여기가 60도라는 것도 알고 있습니다

맞죠?

여기가 30이고 저 각이 30이면

이 큰 각, 즉 여기부터 여기까지 쭉 이어지는 이 각도는

60이라는 것도 알 수 있습니다

그렇죠?

이 꼭대기를 포함한 모든 각이 각각 60이라면

45-45-90 삼각형을 공부했을 때 살펴본 바에 의하면

이 두 각도가 같다면 공유하지 않은 한 변의 길이도

서로 같아야 한다고 했습니다

공유하지 않는 변이 어느 쪽입니까?

바로 여깁니다

여기가 h라면 마찬가지로 여기도 h가 됩니다

그렇지만 여기도 60도입니다

그러니까 이 60도와 이 60도를 본다면

이 둘이 공유하지 않은 변의 길이도 서로 같다는 것을 압니다

이쪽 변은 공유하고 있으니까 공유하지 않는 두 변은

여기와 여기입니다

이 변이 h이고 여기도 h라는 것을 압니다

결국 세 각이 60,60,60 이면

모든 변의 길이가 같은

정삼각형이 된다는 말입니다

기억해 두면 좋은 것이지요

그리고 이게 말이 되는 게

정삼각형은 어느 방향에서 보나 대칭성을 갖고 있습니다

그러니까 모든 각도가 같고 모든 변의 길이가

같아지는 것입니다

아무튼

이 문제를 처음 풀기 시작했을 때

이 삼각형의 절반만 가지고 시작했었죠

이쪽 변 전체가 h가 되고

그런데 저기가 모두 h라면

여기 있는 이쪽 변, 처음 삼각형의 밑변은

-지금 일부러 정신없게 그렸는데-

다른 색깔을 써봤었죠

이것은 이 변의 절반이 될 것입니다

그렇죠?

이게 h/2 이고 여기도 h/2 이니까요

바로 여기 말입니다

원래 삼각형으로 돌아가 보면

여기가 30도라고 했고 이게 빗변이니까

직각의 반대쪽에 있으니까 빗변이 되고 결국

30도의 반대쪽에 있는 변의 길이는 빗변의 절반이 됩니다

기억을 상기시켜 드리자면 이를 어떻게 증명했었죠?

삼각형의 2배를 했고

정삼각형을 만들었습니다

이 변 전체가 빗변의 길이와 같아야 한다는 것을

알아냈습니다

이는 저 변 전체의 1/2 입니다

즉 빗변의 1/2 라는 말입니다

기억해 둡시다

30도의 반대쪽에 위치한 변의 길이는 빗변의 1/2이다

그림이 좀 지저분해질 것 같으니

다른 페이지에 새로 그려보겠습니다

원래 있었던 것으로 돌아가 볼게요

이게 직각입니다

여기 있는 이 변이 빗변입니다

여기가 30도라면 우리는 방금 30도의 맞은편은

빗변 길이의 절반이라는 것을

알아냈습니다

여기가 빗변의 절반이라면

이 변은 빗변의 얼마일까요?

다시 한 번 피타고라스 정리를 쓸 수 있는데

우리는 이 변의 길이의 제곱에 이 변

A라고 부르지요- 의 제곱을 더하면

즉 1/2h 의 제곱과 A의 제곱을 더하면 h의 제곱과 같다는 것을 압니다

이것은 1/4(h의 제곱) + A의 제곱입니다

h의 제곱과 같지요

양변에서 h를 빼주면

A의 제곱= h의 제곱 - 1/4 h의 제곱

그러면 (1-1/4) 의 h의 제곱입니다

그럼 3/4(h의 제곱) 입니다

이것은 A의 제곱과 같으니까

공간이 좀 모자라서

여기에 쓰겠습니다

양변에 루트를 씌워 주면 A는

루트 3/4, 즉

루트 3/2 가 되니까

h의 제곱의 루트는 그냥 h가 될 것이고

그리고 이 A (넓이가 아니라는 것을 주의하고)

이것이 변의 길이를 결정합니다

사실 A를 사용하지 않는게 나았을 것 같네요

어쨌든 이 값은 루트 3/2 h 가 됩니다

됐네요

우리는 30-60-90 삼각형의 변의 길이가

빗변과 무슨 관련이 있는지 모두 알아보았습니다

이 변이 60도 변이라면

빗변의 길이를 알고 30-60-90 삼각형이라는 것을 알면

30도의 반대쪽에 있는 변은

빗변의 1/2라는 것을 알 수 있습니다

그리고 60도의 반대쪽에 있는 변은

빗변의 루트 3/2 라는 것을 알았습니다

다음 번 수업에선 이 정보를 활용해서

-암기하고 싶은지 아닌지 잘 모르겠지만 기억해 두는 것이 좋을 겁니다

연습을 하면 시험에서 빨리 풀 수 있을 테니까요-

다음 전 수업에선 이 내용을 30-60-90 삼각형의

변의 길이를 굉장히 빠르게 구하는 데 어떻게 활용하는지

알아볼 것입니다

다음 수업에서 만납시다