2003 AIME II Problem 5

Цилиндричен дънер има диаметър
дванадесет сантиметра.

Един клин е отрязан от дънера, чрез
две равнинни сечения,

които минават през надлъжната ос
на дънера.

Първото сечение е перпендикулярно
на оста на цилиндъра,

а равнината на второто сключва ъгъл
четиридесет и пет градуса

с равнината на първото сечение.

Двете равнини се пресичат в една
точка,

която е обща за тях и за дънера.

Количеството кубични инчове
в дънера

може да се изрази като nπ, където n
е положително цяло число.

Намерете n.

Нека помислим.

Нека направим чертеж на условието.

Имаме цилиндричен дънер,

който има диаметър дванадесет
сантиметра.

Нека го начертаем.

Нека да бъде ето така.

Това е напречното сечение на дънера.

Има диаметър дванадесет сантиметра.

Ето това е дванадесет сантиметра.

Дънерът е цилиндър и затова изглежда
ето така.

Това е нашият дънер.

Това е даденият дънер.

Един клин е изрязан от дънера, чрез
две равнинни сечения,

които пресичат надлъжната ос
на дънера.

Първото сечение е перпендикулярно
на оста на цилиндъра.

Ето така. Просто го разрязва.

Разрязва го напречно.

Така може да мислиш за това.

Сечението е перпендикулярно на оста
на цилиндъра.

Оста на цилиндъра минава
през сечението.

Няма да чертая цялата,

за да не претрупвам чертежа.

Ако дънерът беше прозрачен, то
сечението щеше да изглежда така.

Първият разрез просто минава през
дънера ето така.

Наистина съвпада с напречното
сечение на дънера.

Това е първият разрез.

Първият е перпендикулярен на оста
на цилиндъра.

Равнината на втория разрез образува
ъгъл от четиридесет и пет градуса

с равнината на първия разрез.

Двата сключват ъгъл от четиридесет
и пет градуса.

Тоест разрязва дънера по подобен
на този начин.

Нещо като това тук.

Мястото на пресичане на двете
равнини,

е точно една точка, която е обща
и за дънера.

Това ще бъде тази точка ето тук.

Трябва да намерим броя кубични
инчове

в този клин, изразени като nπ,
а след това

да намерим колко е n.

Нека начертаем отделно клина,
който изрязахме от дънера.

Това тук е нашият клин.

Все едно го изваждам и завъртам.

Ще избера основата на клина

да е перпендикулярната равнина.

Тоест ето този разрез.

Това е основата на клина.

Това е основата му.

Горната част на разреза, е разрезът
в лилаво,

който сключва четиридесет и пет
градуса с първия.

Ще го начертая като нещо такова.

Може би ще изглежда ето така.

Това е най-добрият ми опит
да го начертая.

Дотук наистина беше трудната част.

Нека да начертая и четиридесет
и пет градусовото сечение.

Ще изглежда като нещо такова.

Разглеждаме този ъгъл тук.

Това е диаметърът на горната част,

която не изглежда като окръжност,

а повече като елипса.

Диаметърът на горната част,

заедно с диаметърът на основата -

който е диаметър на окръжност -

сключват ъгъл четиридесет и пет
градуса.

Когато видиш за първи път задачата,

ти идват всякакви идеи
за решение.

Чрез математически анализ,

или да използваш някакво
завъртане около дадена ос,

за да намериш обема.

Може би да намериш някаква част
от целия обем.

Вероятно ще се справиш с някой
от тези начини.

Най-важното тук обаче -

особено, когато видиш подобна

задача от състезание по математика,

а тази задача е от изпита AIM през
2003 година -

е, че трябва да има някакъв бърз
начин за решение.

А и конкретно в този изпит не се
използва

под никаква форма математически
анализ.

Ако усетиш, че правиш нещо

трудно или страшно, то най-вероятно

не виждаш най-лесния начин
за решение.

Тази задача е удивително лесна
за решение,

ако просто се досетиш за една
хитрост тук.

Вместо да се опитваш директно

да намериш обема на тази фигура,

да вземеш още една такава,
да я завъртиш

и поставиш върху първата.

Нека приемем, че го правиш

и тогава ще имаш още един клин
отгоре ето така.

Просто взех два такива клина

и ги поставих един върху друг.

Поставих ги един върху друг, така че
ще изглеждат така.

Това тук е още един клин.

Избрах техните наклонени основи

и ги поставих една върху друга.

Ако вземем два клина и обърнем
единия от тях,

за да го поставим върху първия,
то какво се получава?

Мога да начертая зеления клин ето
така.

Зеленият клин изглежда ето така.

Основата му изглежда така.

Какво образуват двата клина,
поставени по този начин?

Образуват цилиндър.

Сега това е цилиндър.

Това е цилиндър с диаметър
дванадесет сантиметра.

Диаметърът е дванадесет сантиметра.

За да намерим обема на цилиндъра,

трябва да намерим височината му.

Това е тази височина ето тук.

Трябва да намерим на какво е равна
височината му.

Трябва да намерим на какво е равна
ето тази отсечка.

Ето къде ще използваме условието
за четиридесет и пет градуса.

Тези четиридесет и пет градуса вече
ни помогнаха,

защото, когато обърнеш единия клин
върху другия,

се образува идеален цилиндър.

Ако беше различен ъгъл,

нямаше да се образува цилиндър.

Тези четиридесет и пет градуса обаче,
ни казват и колко е височината.

Нека помислим върху това.

В началото начертах тук един
триъгълник.

Нека го начертая. Вече използвахме
синьо.

Нека го начертая в жълто.

Търся диаметъра на наклоненото
сечение,

което напомням, че не е окръжност,

а като разтеглена окръжност.

Използвам и диаметъра на основата.

Двата сключват ъгъл от четиридесет
и пет градуса.

Този ъгъл е четиридесет и пет градуса.

Този тук също ще бъде четиридесет и
пет градуса.

Знаем, че дължината на тази отсечка,

е равна на дванадесет сантиметра.

Следователно този триъгълник има
ъгли 45 - 45 - 90 градуса.

Нека го начертая ето така.

Изглежда по следния начин.

Триъгълник с ъгли 45 - 45 - 90 градуса.

А как знам, че този ъгъл е четиридесет
и пет градуса?

Този ъгъл тук е деветдесет градуса,

а сумата от ъглите в триъгълник
е сто и осемдесет градуса.

Следователно, ако имаме ъгли
четиридесет и пет, и деветдесет,

то последният ъгъл е четиридесет
и пет градуса.

А в триъгълник 45 - 45 - 90 тази страна
е равна на тази.

Това е равнобедрен триъгълник.

Двата ъгъла при основата са равни.

Следователно и прилежащите
им две страни са равни.

Тогава, ако тази страна тук,
е дванадесет сантиметра,

то и тази страна ето тук,

също е дванадесет сантиметра.

Тогава височината ще бъде равна
на дванадесет сантиметра.

Нека намерим обема
на построения цилиндър,

който се състои от двата клина.

Взимаме половината от този обем
и получаваме обема на единия клин.

За да намерим обема на цилиндър,

просто трябва да намерим площта
на горната основа на цилиндъра.

За да го намерим, използваме
формулата π по r (радиус) на квадрат.

Радиусът тук е шест сантиметра,
т.е. половината от дванадесет.

Площта е π върху r квадрат.

Това е тридесет и шест π -

което е ето тази площ -

умножено по височината,
тоест по дванадесет.

Тогава какво се получава

за стойността на целия обем?

Триста и шейсет плюс седемдесет.

Нека да направя отделно умножението.

Не искам да допусна груба грешка.

Тридесет и шест по дванадесет.

Тридесет и шест по две
е седемдесет и две.

Едно по тридесет и шест
е тридесет и шест.

Две, тринадесет, четири.

Получава се четиристотин
тридесет и две.

Сега следва да сме много внимателни.

Това е обемът на двата клина.

Това е обемът на двата клина.

Тогава обемът на един клин ще бъде
една втора от този обем.

Нека го запиша с различен цвят.

Обемът на един клин ще бъде
половината от целия обем,

което е двеста и шестнадесет π.

Искаме да намерим n, защото
ни казват,

че броят кубични инчове в клина,

е изразен като nπ.

Двеста и шестнадесет π, a n е
положително цяло число.

Намерете n.

Е, току-що го намерихме. n е двеста
и шестнадесет.