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钓鱼打赌的期望值

  • 0:01 - 0:03
    你和你的朋友杰里米
  • 0:03 - 0:06
    在一个有10条鳟鱼和10条太阳鱼的池塘里钓鱼。
  • 0:07 - 0:10
    你们每钓到1条鱼
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    就把它放回水里。
  • 0:12 - 0:15
    杰里米让你从2种不同的打赌中选择。
  • 0:15 - 0:19
    打赌1。我们不鼓励打赌，
  • 0:19 - 0:21
    但我猜杰里米想赌。
  • 0:21 - 0:25
    如果他接下来钓到的3条鱼都是太阳鱼，
  • 0:25 - 0:30
    你会输给他100美元，否则他会输给你20美元。
  • 0:30 - 0:35
    打赌2，在接下来的3条鱼中，
  • 0:35 - 0:40
    如果你至少钓到2条太阳鱼，他会输给你50美元，
  • 0:40 - 0:45
    否则你会输给他25美元。
  • 0:45 - 0:50
    打赌1的期望值是多少？
  • 0:50 - 0:53
    你的回答要精确到美分。
  • 0:53 - 0:54
    我鼓励你暂停一下这个视频，
  • 0:54 - 0:56
    然后自己想一下。
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    我们来看一下。打赌1的期望值。
  • 1:00 - 1:06
    打赌1的期望值 --
  • 1:06 - 1:09
    我在这定义一下随机变量，
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    让它更清晰一些。
  • 1:11 - 1:18
    假设x是你输的钱，
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    或者我猜你可能会说，因为你可能会赢一些东西，
  • 1:20 - 1:28
    是你从打赌1得到的利润。
  • 1:30 - 1:31
    它是一个随机变量。
  • 1:32 - 1:40
    x的期望值等于，让我看一下。
  • 1:40 - 1:45
    概率是负100美元
  • 1:45 - 1:49
    乘以他钓到3条鱼的概率。
  • 1:49 - 1:58
    杰里米钓到3条太阳鱼，
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    接下来钓到3条太阳鱼的概率，
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    乘以100美元。
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    或者我应该，嗯，你要输的钱。
  • 2:09 - 2:12
    因为是你要输的钱，所以我们把它写为负100，
  • 2:12 - 2:14
    因为这是你的期望利润，
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    你在这会输钱。
  • 2:17 - 2:21
    然后是1减去这个概率，
  • 2:21 - 2:28
    杰瑞米钓到3条太阳鱼的概率。
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    在这种情况下，他会输给你20美元。
  • 2:32 - 2:34
    你会赢20美元。
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    重要的是要算出
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    杰里米钓到3条太阳鱼的概率。
  • 2:39 - 2:44
    嗯，20条鱼中有10条鱼是太阳鱼
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    所以任何时候他钓到太阳鱼的概率都是10/20，
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    也可以说是有1/2的概率
  • 2:53 - 2:54
    会钓到太阳鱼。
  • 2:54 - 2:57
    连续钓到3条太阳鱼的概率是
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    1/2乘以1/2乘以1/2。
  • 3:01 - 3:04
    他们会把鱼放回去，这就是为什么一直是20条鱼中有10条太阳鱼。。
  • 3:04 - 3:07
    如果他没有把鱼放回去，
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    那么你第2次钓到太阳鱼
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    的概率是9/20
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    在这种情况下，他们每次钓到鱼
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    概率都会改变。
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    杰里米有1/8的机会钓到3条太阳鱼，
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    所以这里是1/8。
  • 3:25 - 3:29
    1减1/8，等于7/8。
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    你有1/8的机会输100美元
  • 3:34 - 3:36
    而有7/8的机会
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    赢20美元，所以得出 ...
  • 3:43 - 3:46
    你的期望利润，
  • 3:46 - 3:50
    有1/8的概率，
  • 3:50 - 3:55
    你输100美元，所以乘以负100。
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    但是有7/8的概率你会得到 --
  • 4:01 - 4:04
    我在这里加个括号让它更清楚些。
  • 4:04 - 4:06
    我想计算器的运算顺序
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    可以解决这个问题
  • 4:07 - 4:09
    但我还是这样做，让它看起来是一样的。
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    7/8，
  • 4:11 - 4:14
    你赢20美元的概率是7/8。
  • 4:16 - 4:20
    你的期望收益是正5美元。
  • 4:21 - 4:27
    你在这的期望收益是5美元。
  • 4:28 - 4:30
    这是你在打赌1的期望值。
  • 4:31 - 4:32
    现在我们来思考一下打赌2
  • 4:35 - 4:39
    如果在接下来的3条鱼中你至少钓到了2条太阳鱼，
  • 4:39 - 4:44
    他会输给你50美元，否则你会输给他25美元。
  • 4:45 - 4:48
    我们来思考一下
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    在接下来的3条鱼中至少钓到2条太阳鱼的概率。
  • 4:54 - 4:56
    有很多方法来思考这个问题
  • 4:56 - 5:01
    但是因为你钓鱼的次数只有3次
  • 5:01 - 5:03
    结果只有2种
  • 5:03 - 5:06
    事实上，你可以在这里写出所有可能的结果。
  • 5:07 - 5:12
    你可以钓到太阳鱼，太阳鱼，太阳鱼。
  • 5:13 - 5:15
    你可以钓到，还有什么其他类型的鱼?
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    哦, 鳟鱼。你可以钓到太阳鱼，太阳鱼，鳟鱼。
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    你可以钓到太阳鱼，鳟鱼，太阳鱼。
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    你可以钓到太阳鱼，鳟鱼，鳟鱼。
  • 5:26 - 5:29
    你可以钓到鳟鱼，太阳鱼，太阳鱼。
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    你可以钓到鳟鱼，太阳鱼，鳟鱼。
  • 5:32 - 5:35
    你可以钓到鳟鱼，鳟鱼，太阳鱼。
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    或者都是鳟鱼。
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    你看这里的每一个，每一次都有2种可能性，
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    每次你想要钓1条鱼都有2种可能性
  • 5:51 - 5:53
    所以如果你钓了3次
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    就有2乘以2乘以2的可能性。
  • 5:56 - 5:58
    在这有1，2，3，4，5，6，7，8种可能性。
  • 5:58 - 6:01
    现在在这8种等概率的可能性中
  • 6:01 - 6:05
    有多少是你至少钓到2条太阳鱼的?
  • 6:06 - 6:10
    你至少钓到2条太阳鱼的有这个，这个，
  • 6:10 - 6:15
    这个， 还有这个。我想就这样了。
  • 6:16 - 6:18
    是的，这里只有1条太阳鱼，1条太阳鱼，
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    1条太阳鱼和没有太阳鱼。
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    在8种等可能结果中，
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    有4种结果是你至少钓了2条太阳鱼。
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    你至少钓2条太阳鱼的概率
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    等于4/8或1/2。
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    我们看一下，期望值是多少?
  • 6:46 - 6:49
    假设Y是该打赌的预期利润。
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    Y，另一个随机变量，
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    等于打赌2的期望利润。
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    随机变量Y的期望值，
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    你有1/2的机会赢。
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    你有1/2的机会赢50美元，
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    然后你有另一个1/2的机会，剩下的概率。
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    如果你有1/2的机会赢
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    那么你就有1减1/2
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    也就是1/2的机会输。
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    所以你有1/2的机会输25美元。
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    我们来看看这是什么
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    这是1/2乘以50加1/2乘以负25。
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    这是25减12.50，等于12.50。
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    打赌2的期望值是12.50。
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    你的朋友说他愿意
  • 7:56 - 8:00
    打赌50次，两种打赌都可以。
  • 8:00 - 8:03
    如果你想最大化期望值，你应该怎么做?
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    嗯，选打赌2，实际上这两个都是好的赌注，
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    我猜你的朋友没那么老练，
  • 8:10 - 8:15
    但打赌2的预期收益更高，
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    所以我会一直选是打赌2。
  • 8:18 - 8:22
    我会一直选是打赌2。
Title:
钓鱼打赌的期望值
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
08:24

Chinese, Simplified subtitles

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