ภาคตัดกรวย:ไฮเปอร์โบลา 3

-

ลองดูว่าเราจะลองแก้โจทย์วาดกราฟ

ไฮเปอร์โบลาที่ยากขึ้นได้ไหม

ลองเพิ่มไฮเปอร์โบลาเข้ามา

สมมุติขึ้นมาสดๆ เลย x ลบ 1 กำลังสอง ส่วน 16 ลบ y บวก

1 กำลังสอง ส่วน 4 เท่ากับ 1

สิ่งแรกที่สังเกตได้คือว่า นี่คือไฮเปอร์โบลา และ

เรามีวิดีโอหลายอันแล้ว, เราได้ลองทำโจทย์โดย

อย่างแรกคือระบุว่าเรามีภาคตัดกรวย

แบบไหน แล้วขั้นตอนต่อไปคือการวาด

รูปภาคตัดกรวยนั้น

ผมบอกคุณไปแล้วเรากำลังจะทำโจทย์เรื่อง

ไฮเปอร์โบลา, คุณเลยรู้ว่ามันคือไฮเปอร์โบลา

แต่วิธีสังเกตคือว่า คุณมีเครื่องหมายลบ

ตรงเทอม y กำลังสอง แล้วเราก็มีเลื่อนด้วย

รูปคลาสสิค หรือรูปมาตรฐานที่ไม่เลื่อน ของไฮเปอร์โบลา

หรือไฮเปอร์โบลาที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ 0 จะมีหน้าตาแบบนี้

มันมีเส้นกำกับเหมือนเดิมด้วย แค่เลื่อนไป, แต่

ถ้าจุดศูนย์กลางอยู่ที่ 0 มันจะเป็นแบบนี้: x กำลังสอง ส่วน 16

ลบ y กำลังสอง ส่วน 4 เท่ากับ 1

และความแตกต่างระหว่างไฮเปอร์โบลานี้กับไฮเปอร์โบลานี้

คือว่า จุดศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลาอยู่ที่จุด x เท่ากับ 1

y เท่ากับลบ 1

และวิธีคิดคือว่า x เท่ากับ 1 ทำให้พจน์

ทั้งหมดนี้เป็ฯ 0, นั่นคือสาเหตุที่มันคือจุดศูนย์กลาง

และ y เท่ากับลบ 1 ทำให้เทอมทั้งหมดนี้เป็น 0

แล้วตรงนี้, แน่นอน, จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

จุดศูนย์กลางคือ 0, 0

วิธีวาดกราฟง่ายๆ คือว่าวาดกราฟเจ้านี่,

แต่คุณเลื่อนมันไป โดยใช้จุดศูนย์กลางเป็น 1 ลบ 1 แทนที่

จะเป็น 0, 0

งั้นลองทำดูกัน

ลองหาความชันของเส้นกำกับสองเส้นตรงนี้

แล้วเราก็เลื่อนเส้นความชันไปจนมันพอดี

สำหรับไฮเปอร์โบลาอันนี้ตรงนี้

ถ้าเราใช้อันนี้, ลองแก้หา y กัน

นั่นคือสิ่งที่ผมชอบทำเสมอ

ตอนผมวาดไฮเปอร์โบลา

เราก็ได้ลบ y กำลังสอง ส่วน 4

ลบ x กำลังสอง ส่วน 16 จากทั้งสองข้าง ลบ

x กำลังสองส่วน 16 บวก 1

ผมทำไฮเปอร์โบลานี่ตรงนี้, ไม่ใช่อันนี้,

ผมค่อยเลื่อนมันไปทีหลัง

แล้วลองคูณทั้งสองข้างด้วยลบ 4 ดู คุณ

จะได้ y กำลังสองเท่ากับ -- เห็นไหม ลบตัดกับตัวนั้น

แล้ว 4 ส่วน 16 คือ x กำลังสอง ส่วน 4 ลบ 4 แล้ว y

เท่ากับ บวกหรือลบ สแควร์รูทของ x กำลังสอง

ส่วน 4 ลบ 4

แล้วเวลาหาเส้นกำกับ คุณแค่ต้อง

คิดว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อ x เข้าหาบวก

หรือลบอนันต์

เมื่อ x เป็นบวกมากๆ หรือ x เป็นลบมากๆ

เราทำแบบนี้มาหลายครั้งแล้ว

ผมว่านี่มันสำคัญ

นี่สำคัญยิ่งกว่าการท่องสูตร,

เพราะมันช่วยให้คุณได้สัญชาตญาณว่าสมการ

ของเส้นกำกับพวกนี้มาจากไหนจริงๆ

เพราะนี่คือสิ่งที่กราฟนี้ หรือสมการนี้ หรือ

ฟังก์ชันนี้เข้าหา เมื่อ x เข้าใกล้บวกหรือ

ลบอนันต์

เมื่อ x เข้าหาบวกหรือลบอนันต์, y จะ

ประมาณเท่ากับอะไร, ในกรณีนี้?

เหมือนเดิม, เทอมนี้จะเป็นตัวนำ

นี่ก็แค่ 4 ตรงนี้

คุณนึกภาพได้ว่าเมื่อ x เป็นล้านล้าน หรือลบ

ล้านล้าน, นี่จะเป็นเลขมหาศาล และนี่จะ

เป็น อย่างที่รู้ คุณอาจมองว่านี่

เป็นค่าพื้นๆ

คุณถอดสแควร์รูทเจ้านั่น แล้วนี่

จะเป็นตัวนำ

แล้วเมื่อคุณเข้าหาบวกหรือลบอนันต์, y

จะประมาณเท่ากับสแควร์รูท, บวก

และลบสแควร์รูท, ของ x กำลังสอง ส่วน 4

y ก็จะมีค่าประมาณเท่ากับบวกหรือ

ลบ x ส่วน 2, หรือ 1/2 x

ลองทำดูกัน

ลองวาดเส้นกำกับดู

จำไว้, พวกนี้คือเส้นกำกับในกรณีนี้

แต่ตอนนี้, แน่นอน, เราอยู่ที่จุด 1 ลบ 1

ผมจะวาดเส้นสองเส้นที่มีความชันเท่านี้

คือความชันบวก 1/2 กับลบ 1/2, แต่พวกมัน

จะมีศูนย์กลางอยู่ตรงนี้

ผมแค่เอาตัวเลื่อนออกไป ผมจะได้หาเส้นกำกับ

ได้ แต่แน่นอนว่านี่คือของจริงที่เรา

พยายามจะวาดกราฟ, ลองวาดกันเลยดีกว่า

นี่คือแกน y ผม นี่คือแกน x ผม และจุดศูนย์กลาง

ของเจ้านี่อยู่ที่ 1 ลบ 1

-

แล้ว x เท่ากับ 1 y เท่ากับลบ 1

แล้วความชันของเส้นกำกับคือบวก

กับลบ 1/2

-

ลองทำบวก 1/2 ก่อน

นั่นก็หมายความว่า ทุกครั้งที่ก้าวไป 2 หน่วย, ถ้าคุณไป

ในทิศบวก x 2 หน่วย, คุณจะเลื่อนขึ้น 1

คุณเลยไปขวา 2 และขึ้น 1

นั่นคือเส้นแรก

ขอผมวาดเส้นกำกับนั่นนะ

-

ออกมาเป็นแบบนั้น, แล้วเราก็วาดมันจาก

จุดนี้ถึงจุดนั้น

มือนิ่งเลยแฮะ

-

แล้วเส้นกำกับอีกเส้นจะมี

ความชันเป็นลบ 1/2

จำไว้ว่านี่คือศูนย์กลางของเรา 1 ลบ 1, แล้วถ้า

ถ้าผมลงไป 1 แล้วก็ต่อไป

ถ้าผมไปยัง 2, ผมจะลงไป 1, นั่นก็คือตรงนี้

ขอผมวาดเส้นกำกับนั่นนะ

-

แล้วเพื่อต่อไปอีกทางหนึ่ง ผมอยากเส้น

สองเส้นนี้ทับกัน

มันจะออกมาเป็นแบบนั้น

เราได้วาดเส้นกำกับสำหรับฟังก์ชันนี้แล้ว, ตอนนี้เรา

จะหาว่ามันเป็นไฮเปอร์โบลา

แบบดิ่งหรือไฮเปอร์โบลาแบบราบ

และวิธีคิดง่ายๆ คือพยายาม แล้วลอง --

เราทำได้สองวิธี

ผมหมายความว่า คุณแค่ดูที่สมการนี่ตรงนี้

เวลาคุณถอดสแควร์รูท, เราจะได้

ค่าน้อยกว่าเส้นกำกับนิดหน่อยเสมอ

เส้นกำกับคือเจ้านี่, แต่เราจะ

อยู่ใต้มันลงมาหน่อย

นั่นจะบอกเราว่า มันจะ

อยู่ใต้เส้นกำกับ สำหรับรากที่เป็นบวก, และเรา

จะได้ค่ามากกว่าเส้นกำกับนิดหน่อย

สำหรับรากที่เป็นลบ

เพราะมันจะน้อยกว่าหน่อย, และมันเป็นลบ

ผมจะปล่อยให้คุณลองคิดดูแล้วกัน

สัญชาตญาณผมคือว่า มันจะอยู่ตรงนี้กับตรงนี้

มันมากกว่าสัญชาตญาณหน่อย

ผมรู้ว่าเราจะมีค่าน้อยกว่ารากที่สองที่

เป็นลบหน่อย, แต่ผมจะทำอีกวิธีนึง

ผมจะทำแบบเดียวกับในวิดีโอที่แล้ว

วิธีคิดอีกอย่างก็คือว่า เกิดอะไรขึ้นเมื่อ

เทอมนี้เป็น 0?

ถ้าจะให้เทอมนี้เป็น 0, x ต้องเท่ากับ 1

แล้วมันเป็นไปได้ไหม?

x เท่ากับ 1 ได้หรือเปล่า?

ถ้า x เท่ากับ 1 ตรงนี้ เทอมนี้จะเป็น 0

แล้วคุณจะได้กรณีที่ -- คุณจะได้

ลบ y กำลังสอง ส่วน 4 เท่ากับ 1, หรือเจ้านี่

ต้องเป็นลบ

x จึงเท่ากับ 1 ไม่ได้

y เลยเท่ากับลบ 1 ได้

ลองดูกัน

ถ้า y เท่ากับลบ 1, เทอมนี่ตรงนี้

จะหายไป

-

แล้วเมื่อ y เท่ากับลบ 1, คุณก็จะเหลือ -- x

ลบ 1 กำลังสอง ส่วน 16 เท่ากับ 1

ผมแค่ตัดเทอมนี้ออกไป, เพราะผมบอกว่ามันเกิดขึ้น

เมื่อ y เท่ากับลบ 1

คุณคูณทั้งสองข้างด้วย 16

ขอผมทำตรงนี้นะ

มันเริ่มเลอะแล้ว x ลบ 1 กำลังสอง เท่ากับ 16

หาสแควร์รูททั้งสองข้าง

x ลบ 1 เท่ากับ บวกหรือลบ 4

แล้วถ้า x เท่ากับบวก 4, ถ้าคุณบวก 1 เข้าไป

x จะเท่ากับ 5

แล้วถ้า x ลบ 1 เป็นลบ 4 คุณบวก 1 เข้าไป

คุณจะได้ x เท่ากับ 3

ดังนั้นจุด 2 จุด หรือจุด 2 จุดที่ใกล้ศูนย์กลางที่สุด

คือจุด 5 ลูกน้ำ ลบ 1 กับ 3 ลูกน้ำ ลบ 1

ลองพลอตสองตัวนั้นดู

งั้น 5, 1, 2, 3, 4, 5, ลบ 1 และ 3, ลบ 1

ใช่ไหม?

ไม่ใช่, ลบ 3, เพราะ x ลบ 1 เท่ากับลบ 4

นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นเวลาคุณทำข้ามขั้น

-

ถ้าคุณมีกรณีลบ 4, x จะเท่ากับ

ลบ 3

-

คุณก็ไป 1 2 3 ลบ 3, ลบ 1

ทั้งคู่คือจุดที่อยู่บนไฮเปอร์โบลานี้

แล้วสัญชาตญาณเราถูกต้อง, หรือมันก็คือที่ผมบอกไป

ว่า -- รากที่สองที่เป็นบวก จะอยู่ใต้

เส้นกำกับเล็กน้อย, เราเลยได้เส้นโค้งนี้มา

มันจะออกมาเป็นแบบนี้

มันจะเข้าใกล้มากขึ้นและมากขึ้น, แล้วตรงนี้

มันจะเข้าใกล้ทิศนั้นมากขึ้นและมากขึ้น

มันจะเข้าใกล้เส้นกำกับนั่นมากขึ้น และมากขึ้น

และตรงนี้, มันจะยังเข้าใกล้เส้นกำกับ

ไปเรื่อยๆ ทางด้านนั้น แล้วก็ด้านนั้น

และแน่นอน เส้นกำกับพวกนี้จะ

ยาวไปตลอดไป และตลอดไป

ถ้าคุณอยากลอง ลองแทนค่าจุด

อื่นเพื่อทดสอบดู

คุณอาจพลอตจุดนั่นดู, หรือจุดนั่นตรงนั้น

เพื่อตรวจดูว่ามันเป็นจริงไหม

ส่วนที่ยากจริงๆ คือการหาเส้นกำกับ และ

หาว่าเราอยู่ตรงซ้ายขวา หรือ

เราอยู่ตรงบนล่าง

แล้วคุณก็ทำเสร็จแล้ว

คุณวาดไฮเปอร์โบลาได้แล้ว

แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ

-