Imaginary Roots of Negative Numbers

Mamy za zadanie uprościć wyrazenie pierwiastek
z -52, i ponieważ mamy pierwiastek z liczby ujemnej,

to załozymy że chodzi o gałąź główną pierwiastka jako
zespolonej funkcji,

to znaczy ze możemy brać pierwiastek z liczby ujemnej,

i otrzymac liczbę zespoloną jako wynik.

Możemy zapisać -52 jako -1 razy 52.

Zatem wyrażenie mozna przepisać jako pierwiastek z -1
razy 52.

I teraz jeśli założymy że chodzi o gałąź główną pierwiastka
zespolonego,

możemy przepisać wyrażenie jako pierwiastek z -1
pomnożony przez

pierwiastek z 52.

Chciałbym podkreślić ważną rzecz.

Można zrobić to co przed chwilą zrobiliśmy jeśli mamy
pierwiastek z iloczynu dwóch rzeczy.

Możemy to przepisać jako iloczyn pierwiastków, ale
możemy to zrobić tylko wtedy

kiedy obie te liczby są dodatnie albo gdy
tylko jedna jest ujemna.

NIE możemy tak zrobić gdy obie rozważane liczby
są ujemne.

Na przykładzie pokażemy czemu tak nie można.

Rozważmy pierwiastek z 52, nie możemy powiedzieć
że to to samo co pierwiastek z -1 razy pierwiastek z -52.

Oczywiście 52 jest równe -1 razy -52, ta część
rozumowania jest poprawna.

Ale ponieważ obie te liczby są ujemne, nie możemy
powiedzieć że to wyrażenie jest równe

pierwiastkowi z -1 razy pierwiastek z -52.

Zachęcam do policzenia tego do końca,
żeby przekonać się

że otrzymacie bezsensowny wynik.

Podkreślam po raz ostatni, tak nie można zrobić,

dlatego że ta własność nie działa gdy obie liczby są
ujemne.

Wróćmy do naszego przykładu. Mamy w nim
jedną liczbę ujemną i jedną dodatnią więc jest ok.

Pierwiastek z -1, jeśli mowimy o gałęzi głównej
zespolonego pierwiastka, wynosi i.

Zatem tę część zapisujemy po prostu jako i. Zastanówmy
się teraz czy możemy uprościć pierwiastek z 52.

Żeby to zrobić, możemy rozłożyć 52 na czynniki pierwsze.

Sprawdzimy czy w rozkładzie jest kwadrat jakiejś liczby
całkowitej. 52 to 2 razy 26, a 26 to 2 razy 13.

Mamy zatem 2 razy 2 razy 13. 2 razy 2 to 4, co oczywiście
jest kwadratem liczby całkowitej: 2.

Możemy zatem przepisać całe wyrażenie następująco:

pierwiastek kwadratowy z -1, czyli i (jeśli rozważamy
gałąź główną) pomnożony

przez pierwiastek z 4 razy 13.

Czyli całość to i razy pierwiastek z 4 razy pierwiastek z 13.

Możemy to uprościć, bo wiemy że pierwiastek
z 4 to 2.

Zmienimy kolejność mnożenia, i mamy 2 razy pierwiastek z 13 razy i.

Zmienimy kolejność mnożenia, i mamy 2 razy pierwiastek z 13 razy i.

Zapisując czynniki w takiej kolejności wyrażenie
jest nieco bardziej czytelne;

oczywiście kolejność mnożenia nie wpływa na wynik,

po prostu łatwiej się czyta to wyrażenie w takiej postaci.

I otrzymaliśmy tym sposobem najprostszą postać jaką
się da.