Green Teoremi 1. Örnek

Green Teoremini kullanarak bir vektör alanın çizgi integralini bulmak

-

Şimdi Green Teoremini kullanarak çizgi integralleri bulalım.

-

Örnek göstermeden önce, Green teoremiyle ilgili bir açıklama yapmak istiyorum.

-

Yaptığım tüm örneklerde şöyle bir bölgem vardı, ve bölgenin içi gittiğimiz yolun solundaydı.

-

-

Örneklerin tamamında saat yönünün tersine gidiyordum ve bölgemiz hep yolumuzun solunda kalıyordu.

-

-

Green Teoremi böyle bir durum için geçerlidir.

Böyle bir iz üzerinde kapalı bir çizgi integrali aldığımızı belirtmemiz gerekir.

-

-

Ders kitaplarında bunu böyle gösterirler. c eğrisi üzerinde f iç çarpım d r'nin integrali eşittir R bölgesi üzerinde, Q'nun x'e göre kısmisi eksi P'nin y'ye göre kısmisi d A'nın çift katlı integrali.

-

-

-

Hatırlarsanız, bu P ve Q, F'nin bileşenleriydi.

-

F x y eşittir P x y çarpı i bileşeni artı Q x y çarpı j bileşeni.

-

Bu durumda, bölgenin içi iz üzerinde yol aldığımız yönün solunda yer alıyor.

-

Eğer ters yönde olsaydı, buraya bir eksi işareti koyardık.

-

Bu ok diğer yöne gitseydi, buraya eksi işareti koyardık.

Vektör alan integrali aldığımız için, yönün tersini aldığımızda integrali eksi 1 ile çarpıyoruz

-

-

4-5 video önce bunu göstermiştik.

-

-

Şimdi bir soru çözelim.

Diyelim ki bir eğri üzerinde bir çizgi integralimiz var.

-

Eğriyi birazdan tanımlayacağım.

İntegralin x kare eksi y kare d x artı 2 x y d y olduğunu varsayalım.

-

Ve eğrimiz, bize sınırı verecek.

Sınır bu bölge.

Farklı bir renkte çizeyim.

x'in büyük eşit 0 ve küçük eşit 1 ve y'nin büyük eşit 2 x kare küçük eşit 2 x olduğu x, y noktalarının oluşturduğu bölgenin sınırı, bizim eğrimiz.

-

-

-

-

Şimdi bu bölgeyi çizelim.

-

y ekseni ve x ekseni.

x, 0'dan 1'e gidiyor.

Bu, 0.

x eşittir 1 diyelim, x değerleri böyle.

-

y de 2 x karenin üstünde ve 2 x'in altında.

Genelde, büyük sayılar için 2 x kare büyüktür ama 1'den küçük sayılar için 2 x kare 2 x'ten küçük olacak.

-

-

Yani üst sınır 2 x, noktası da 1 virgül 2.

Bu, y eşittir 2 x doğrusu..

-

y eşittir 2 x doğrusu şöyle bir şey.

Bu, y eşittir 2 x.

-

Şu alttaki eğri ise, y büyüktür 2 x kare.

-

Şöyle bir şeye benzer.

Bahsettiğimiz bölge, bu, ama eğrinin bu bölgenin sınırı olduğunu varsayıyoruz, ve saat yönünün tersine hareket ediyoruz.

-

-

Bunu belirtmem gerekiyor.

-

Eğrimin üzerinde herhangi bir noktadan başlayabilirim ve bu şekilde gidiyorum.

-

Bu noktaya ulaşırım ve üstteki eğriden aşağı inerim.

-

Bölgemizin her zaman için solumuzda kalması koşulunu sağlamış olduk, o nedenle Green Teoremi'ni doğrudan kullanabilirim.

-

-

Bölgemizi tanımlayalım.

-

Bu integralde y, y eşittir 2 x kareden y eşittir 2 x'e gidecek.

-

-

O yüzden önce y'ye göre integral alalım. Şimdi x limitlerini yazayım.

-

-

x, 0'dan 1'e gidiyor.

-

Buraya ne geleceğini bulmamız lazım. Green Teoremi.

-

-

f bu durumda şöyle olur.

f x y eşittir x kare eksi y kare i artı 2 x y j.

-

Bunu birçok videoda görmüştük.

Bunun d r ile iç çarpımını alınca şunu elde ederiz.

-

Buradaki ifade, P x y.

Bu ifade Q x y.

-

Burada Green Teoremi'ni uygulayacağız.

-

Q'nun x'e göre kısmisi- bunun x'e göre türevini alıyorum.

-

2 y elde ederim.

-

Bundan P'nin y'ye göre kısmisini çıkarırız.

-

Bunun y'ye göre türevini alırsanız, burası 0 olur. Bunun y'ye göre türevi ise, eksi 2 y.

-

-

-

Böyle.

Bu, 2 y eksi eksi 2 y olur. Yani 2 y artı artı 2 y.

-

Eksi bir sayıyı çıkarıyorum. Yani bu 4 y.

-

-

Sınırları baştan yazmak istemiyorum.

-

Burası 4 y.

Q'nun x'e göre kısmisi, 2 y, eksi P'nin y'ye göre kısmisi.

-

Bu da eksi 2 y.

Eksili sayıyı çıkarırsak artı elde ederiz.

4 y.

İçteki ifadenin y'ye göre terstürevini alırsak 2 y kare elde ederiz.

-

-

2 y karenin y'ye göre kısmisi 4 y.

-

Bunun y eşittir 2 x kareden y eşittir 2 x'e değerini buluyoruz.

-

Daha dıştaki integral duruyor.

-

x 0'dan 1'e d x.

Bu integral 0'dan 1'e gidecek ve önce 2 x için değerini bulacağız.

-

Buraya 2 x koyunca, 2 x, kare eşittir 4 x kare.

2 kare, x kare, yani 4 x kare çarpı 2 eşittir 8 x kare.

-

Eksi - bunu buraya koyalım.

2 x kare kare eşittir 4 x üzeri 4.

4 x üzeri 4 çarpı 2 eşittir 8 x üzeri 4.

Bunu doğru yaptım mı?

2 x kare - y yerine koyuyorum.

-

Bunun karesi, 4 x üzeri 4. Çarpı 2 eşittir 8 x üzeri 4.

-

Çok iyi.

Tamam.

Şimdi d x.

Bu, gayet basit.bir integral.

-

-

8 x karenin terstürevi eşittir 8 bölü 3 x küp.

-

-

8 x üzeri 4'ün terstürevi de 8 bölü 5 x üzeri 5.

-

Bunun 0'dan 1'e değerini bulmam gerekiyor.

-

1 koyduğumuzda, 8 bölü 5 çarpı 1 küp, yani 8 bölü 5 eksi 8 bölü 5.

-

-

-

Buraya 0 koyduğumuzda ise, 0'lar elde edeceğiz.

-

Pardon, bir hata yaptım.

-

Bu, 8 bölü 3.

-

8 bölü 3 çarpı 1 küp eksi 8 bölü 5 çarpı 1 üzeri 5, yani bu eksi 8 bölü 5.

-

0 koyduğumuzda çıkaracağımız terimlerin hepsi 0, onun için başka bir şey yapmamız gerekmiyor.

-

-

Sadece şu iki kesrin farkını bulmam lazım.

Ortak payda olarak 15'i alalım.

8 bölü 3'ü 5'le genişletelim.

-

40 bölü 15.

Bu pay ve paydayı 3'le çarparsak da 24 bölü 15 elde ederiz.

-

Eksi 24 bölü 15 eşittir 16 bölü 15.

Green Teoremini kullanarak bu integralin cevabını bulmuş olduk.

-

16 bölü 15'e eşit.

Umarım bu örneği faydalı buldunuz.

Bir sonraki videoda bir örnek daha yaparım.

-