Nghịch lý Khách sạn Vô hạn

Xem bài học đầy đủ tại đây: http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky

Khách sạn Vô hạn - một thí nghiệm được nhà toán học người Đức, David Hilbert, nghĩ ra - là một khách sạn với số phòng vô hạn. Thật dễ hiểu đúng không nào? Sai rồi. Phải làm sao nếu tất cả các phòng đều đã kín, nhưng có một người khách mới muốn thuê phòng? Hay 40 khách? Hay một chiếc xe buýt với số khách vô hạn? Jeff Dekofsky trả lời những câu hỏi như thế này, sử dụng nghịch lý của Hilbert.

Bài học của Jeff Dekofsky, minh họa bởi The Moving Company Animation Studio.

Thập niên 20 của thế kỷ XX,

một nhà toán học người Đức
David Hilbert

đã nghĩ ra một thí nghiệm nổi tiếng

cho thấy

khái niệm vô cực
khó hiểu đến mức nào.

Hãy tưởng tượng
một khách sạn với số phòng vô hạn

và một quản lý
ca đêm cần mẫn.

Một đêm nọ, khi tất cả các phòng
ở Khách sạn Vô hạn

đều đã đầy,

một người đàn ông
bước vào, hỏi thuê một phòng.

Không muốn
làm khách thất vọng,

người quản lý đã quyết định
xếp phòng cho ông ấy.

Nhưng làm thế nào?

Đơn giản thôi.
Ông ta yêu cầu khách ở phòng số 1

chuyển sang phòng số 2,

khách ở phòng số 2
chuyển sang phòng số 3, v.v....

Mỗi khách chuyển từ phòng số n

sang phòng số n+1.

Bởi khách sạn
có số phòng vô hạn,

tất cả các khách
trong khách sạn đều có phòng.

Nhờ thế, ông khách mới
có được một phòng.

Quy trình này được lặp đi lặp lại
cho bất kỳ số khách có hạn nào.

Giả sử một xe buýt

chở 40 người đến thuê phòng,

mỗi khách trong khách sạn
sẽ phải chuyển

từ phòng số n

sang phòng số n+40,

và nhờ vậy, 40 phòng đầu tiên
sẽ còn trống.

Nhưng giả sử, một xe buýt lớn vô hạn

chở một số khách vô hạn (đếm được)

đến khách sạn này để thuê phòng.

("Đếm được" là yếu tố then chốt.)

Ban đầu, chiếc xe buýt
với số khách vô hạn

làm người quản lý bối rối,

nhưng ông nhận ra có một cách
để xếp phòng cho họ.

Ông yêu cầu khách phòng số 1

chuyển sang phòng số 2.

Rồi yêu cầu khách ở phòng số 2

chuyển sang phòng số 4,

khách ở phòng số 3

chuyển sang phòng số 6, v.v....

Mỗi khách trong khách sạn
chuyển từ phòng số n

sang phòng số 2n,

và vì thế, chỉ các phòng chẵn
là có khách ở.

Bằng cách này, người quản lý đã

dọn trống các phòng lẻ,

và khách mới

có thể thuê những phòng lẻ đó.

Mọi người đều vui vẻ,
và lợi nhuận của khách sạn

tăng cao hơn bao giờ hết.

Thực ra thì, lợi nhuận của khách sạn
không thay đổi chút nào,

bởi đêm nào, khách sạn
cũng thu về số tiền vô hạn.

Mọi người bàn tán
về khách sạn phi thường này.

Họ đổ xô đến đây thuê phòng.

Một đêm, điều không tưởng
xảy đến.

Người quản lý nhìn ra bên ngoài

và thấy một hàng xe buýt

lớn vô hạn, dài vô hạn.

Mỗi xe có một số khách vô hạn.

Làm gì bây giờ? Nếu không
xếp được phòng cho tất cả bọn họ,

khách sạn sẽ thất thoát

một số tiền lớn vô hạn,

chắc chắn, ông ta sẽ mất việc.

May mắn thay, ông nhớ ra

vào khoảng năm 300 TCN,

Euclid đã chứng minh rằng
số số nguyên tố

là vô tận.

Để hoàn thành nhiệm vụ
tưởng như không thể này

tìm số giường vô hạn

cho số khách vô hạn

trên số xe buýt vô hạn này,

người quản lý
đưa cho mỗi khách trong khách sạn

số nguyên tố đầu tiên: 2

với số mũ là số phòng
mà họ đang ở.

Như vậy, người khách
ở căn phòng số 7

sẽ chuyển đến phòng số 2^7,

nghĩa là phòng số 128.

Người quản lý
đưa tất cả khách

trên chiếc xe buýt lớn
vô hạn đầu tiên

số nguyên tố tiếp theo: 3

với số mũ là số ghế của họ
trên xe buýt.

Như vậy, khách ngồi ghế số 7
trên chiếc xe đầu tiên

nhận phòng số 3^7,

nghĩa là phòng số 2.187.

Người quản lý tiếp tục
xếp phòng.

Khách trên xe thứ hai
được đưa cho

số nguyên tố tiếp theo: 5
với số mũ là số ghế của họ trên xe.

Tương tự là số 7
với khách trên xe thứ ba.

Tiếp tục với

số 11,

số 13,

số 17, v.v....

Bởi vì mỗi số này

chỉ có thể chia hết cho 1

và chính nó,

không có khách nào
phải thuê chung phòng cả.

Tất cả các khách
xuống xe buýt, vào khách sạn,

và tìm số phòng

người quản lý đã xếp cho mình.

Bằng cách này,
ông có thể xếp phòng

cho từng hành khách trên từng xe.

Tuy nhiên, khách sạn
sẽ có một số phòng trống,

ví dụ như phòng số 6,

bởi 6 không được tạo ra
bởi số nguyên tố cùng số mũ nào cả.

May mắn thay, sếp của ông ta
không giỏi Toán,

và ông không bị đuổi việc.

Phương pháp của người quản lý
chỉ thành công

khi mà, tuy rằng Khách sạn Vô hạn

là cơn ác mộng về lô-gíc,

lại chỉ ở mức độ đơn giản nhất
của khái niệm vô cực,

chủ yếu là số số tự nhiên vô cực

đếm được:

1, 2, 3, 4, v.v....

George Cantor gọi đây là
mức độ 0-apleph của vô cực.

Ta dùng số tự nhiên
để chỉ số phòng

và số ghế trên xe buýt.

Nếu phải đối mặt với
những bậc cao hơn của vô cực,

ví dụ như tập số thực,

cách sắp xếp như trên

sẽ không còn khả thi,

bởi không có cách nào

có thể bao gồm
tất cả các số theo hệ thống.

Khách sạn Vô hạn Số thực có

số phòng âm trong tầng hầm, và

số phòng là phân số,

nghĩa là khách phòng số 1/2
luôn nghi rằng

phòng của anh ta
bé hơn phòng số 1 bên cạnh.

Nếu ta lấy căn của số phòng,
ví dụ như căn 2 và phòng số pi,

nơi khách thuê phòng
mong chờ món tráng miệng miễn phí.

Quản lý ca đêm có lòng tự trọng nào
lại muốn làm ở một nơi như thế,

dù lương của anh ta là vô hạn?

Tại Khách sạn Vô hạn của Hilbert,
không bao giờ có phòng trống

và luôn còn phòng cho khách mới,

những tình huống
mà người quản lý cần mẫn

vì quá hiếu khách phải giải quyết

nhắc nhở chúng ta

rằng thật khó khăn

khi dùng trí óc có hạn
của mình

để hiểu thấu
một khái niệm rộng lớn như vô cực.

Bạn có thể giúp chúng tôi giải quyết
bài toán này, sau một giấc ngủ ngon.

Nhưng thành thực mà nói,
chúng tôi có thể sẽ cần bạn

thức dậy và chuyển phòng
vào lúc 2 giờ sáng.