< Return to Video

A Végtelen Szálló paradoxona - Jeff Dekofsky

  • 0:07 - 0:08
    Az 1920-as években
  • 0:08 - 0:10
    David Hilbert német matematikus
  • 0:10 - 0:12
    kitalált egy híres gondolatkísérletet,
  • 0:12 - 0:14
    hogy megmutassa, milyen nehéz is
  • 0:14 - 0:18
    befogadni az agyunknak a végtelen fogalmát.
  • 0:18 - 0:22
    Képzelj el egy szállodát végtelen számú szobával
  • 0:22 - 0:24
    és egy rátermett éjszakai recepcióssal.
  • 0:24 - 0:28
    Egy éjjel éppen teltház van a Végtelen Szállóban:
  • 0:28 - 0:31
    az összes szobát kiadták végtelen számú vendégnek.
  • 0:31 - 0:32
    Egy férfi besétál a szállodába,
  • 0:32 - 0:34
    és kér egy szobát.
  • 0:34 - 0:35
    Ahelyett, hogy elküldené,
  • 0:35 - 0:38
    a recepciós elhatározza, hogy helyet szorít neki.
  • 0:38 - 0:39
    Igen, de hogy?
  • 0:39 - 0:42
    Egyszerű: megkéri az 1-es számú szoba lakóját, hogy
  • 0:42 - 0:43
    költözzön át a 2-es szobába,
  • 0:43 - 0:46
    a 2-es szoba lakóját, hogy költözzön a 3-as szobába,
  • 0:46 - 0:47
    és így tovább.
  • 0:47 - 0:50
    Minden vendég átköltözik tehát az "n"-es számú szobából
  • 0:50 - 0:52
    az "n+1"-es számú szobába.
  • 0:52 - 0:54
    Mivel végtelen számú szoba van,
  • 0:54 - 0:57
    akad új szoba minden eddigi vendég számára.
  • 0:57 - 1:00
    Így aztán az 1-es szoba felszabadul az új vendégnek.
  • 1:00 - 1:01
    Az eljárás megismételhető
  • 1:01 - 1:04
    akárhány véges számú új vendég kedvéért.
  • 1:04 - 1:05
    Ha mondjuk egy turistabusz hoz
  • 1:05 - 1:08
    40 embert, akinek szoba kell,
  • 1:08 - 1:10
    akkor minden eddigi vendég egyszerűen átköltözik
  • 1:10 - 1:11
    az "n"-es számú szobából
  • 1:11 - 1:14
    az "n+40"-es szobába,
  • 1:14 - 1:17
    és így felszabadul az első 40 szoba.
  • 1:17 - 1:19
    Csakhogy most egy végtelenül nagy busz érkezik
  • 1:19 - 1:22
    megszámlálhatóan végtelen számú utassal,
  • 1:22 - 1:24
    és mindenki külön szobát akar.
  • 1:24 - 1:26
    A megoldás kulcsa a megszámlálhatóság.
  • 1:26 - 1:28
    A végtelen busz végtelen sok utasa
  • 1:28 - 1:31
    egy pillanatra meghökkenti a recepcióst,
  • 1:31 - 1:32
    de aztán rájön, hogy volna egy mód arra,
  • 1:32 - 1:33
    hogy minden új vendég helyet kapjon.
  • 1:33 - 1:35
    Megkéri az 1-es szoba lakóját, hogy
  • 1:35 - 1:36
    költözzön át a 2-es szobába.
  • 1:36 - 1:39
    A 2-es szoba lakóját megkéri, hogy
  • 1:39 - 1:40
    költözzön a 4-es szobába,
  • 1:40 - 1:42
    a 3-as szoba vendégét, hogy
  • 1:42 - 1:43
    költözzön a 6-os szobába,
  • 1:43 - 1:44
    és így tovább.
  • 1:44 - 1:47
    Minden korábbi vendég átköltözik az "n"-edik számú szobából
  • 1:47 - 1:51
    a "2n"-es számú szobába,
  • 1:51 - 1:54
    miáltal csak a végtelen sok páros számú szoba lesz betöltve.
  • 1:54 - 1:56
    Így tehát felszabadította
  • 1:56 - 1:59
    a végtelen sok páratlan számú szoba mindegyikét,
  • 1:59 - 2:00
    amelyeket aztán elfoglalhatnak azok,
  • 2:00 - 2:03
    akik a végtelen buszról sorolnak befelé.
  • 2:03 - 2:05
    Mindenki elégedett, és a szálloda forgalma
  • 2:05 - 2:07
    jobb, mint valaha.
  • 2:07 - 2:08
    Azazhogy a forgalom
  • 2:08 - 2:10
    pontosan akkora, amekkora volt,
  • 2:10 - 2:13
    végtelen sok dollárnyi bevételt hozva éjjelente.
  • 2:14 - 2:16
    Terjed a híre a hihetetlen szállodának.
  • 2:16 - 2:19
    Emberek özönlenek oda közelről-távolról.
  • 2:19 - 2:21
    Egy éjjel aztán hihetetlen dolog történik.
  • 2:21 - 2:23
    A recepciós kinéz az a szálloda elé,
  • 2:23 - 2:25
    és látja: végtelen sorban állnak odakint
  • 2:25 - 2:28
    a végtelen nagy buszok,
  • 2:28 - 2:30
    mindegyiken megszámlálhatóan végtelen utassal.
  • 2:30 - 2:31
    Mit lehet itt tenni?
  • 2:31 - 2:33
    Ha nem talál helyet nekik,
  • 2:33 - 2:34
    a szálloda elmaradt haszna
  • 2:34 - 2:36
    végtelenül nagy lesz,
  • 2:36 - 2:38
    ami az állásába fog kerülni.
  • 2:38 - 2:39
    Szerencsére eszébe jut,
  • 2:39 - 2:42
    hogy Kr. e. 300 körül
  • 2:42 - 2:45
    Eukleidész bebizonyította, hogy végtelenül sok
  • 2:45 - 2:47
    prímszám létezik.
  • 2:47 - 2:50
    Így hát, a látszólag lehetetlen feladatnak, hogy
  • 2:50 - 2:51
    végtelen sok szobát találjon
  • 2:51 - 2:52
    végtelen sok busznyi
  • 2:52 - 2:54
    végtelen sok fáradt utasnak,
  • 2:54 - 2:57
    úgy tesz eleget a recepciós, hogy az addigi vendégeket átteszi
  • 2:57 - 2:59
    az első prímszám, azaz a 2,
  • 2:59 - 3:02
    annyiadik hatványának megfelelő számú szobába, amennyi az eredeti szobaszáma volt.
  • 3:02 - 3:05
    Tehát az a vendég, aki eddig a 7-es szobában lakott,
  • 3:05 - 3:08
    most átmegy a 2^7-es számú szobába,
  • 3:08 - 3:10
    vagyis a 128-as szobába.
  • 3:10 - 3:12
    Aztán a recepciós fogja azokat,
  • 3:12 - 3:14
    akik az első végtelen busszal jöttek,
  • 3:14 - 3:16
    és odaadja nekik azt a szobát, melynek száma
  • 3:16 - 3:18
    a következő prímszám, azaz a 3,
  • 3:18 - 3:22
    annyiadik hatványa, amennyi az utas ülésszáma volt a buszon.
  • 3:22 - 3:25
    Tehát az a vendég, aki az első busz 7-es ülésén utazott,
  • 3:25 - 3:28
    a 3^7-es számú szobát kapja,
  • 3:28 - 3:32
    más szóval a 2178-as számú szobát.
  • 3:32 - 3:34
    És így tovább, az első busz minden utasára.
  • 3:34 - 3:36
    A második busz utasai
  • 3:36 - 3:39
    a következő prímszám, az 5, hatványai szerint kapnak szobát.
  • 3:39 - 3:42
    A következő buszé a 7 hatványai szerint.
  • 3:42 - 3:43
    Aztán jön sorra a többi busz:
  • 3:43 - 3:44
    11 hatvánayi,
  • 3:44 - 3:45
    13 hatványai,
  • 3:45 - 3:47
    17 hatványai stb.
  • 3:47 - 3:48
    Mivel ezeknek a számoknak
  • 3:48 - 3:51
    a törzstényezős alakja csak az 1-et és az adott
  • 3:51 - 3:53
    prímszám természetes kitevőjű hatványait tartalmazza,
  • 3:53 - 3:55
    nincs átfedés a kiadott szobaszámokban.
  • 3:55 - 3:58
    Az összes busz utasa elindulhat hát a maga szobájába
  • 3:58 - 4:01
    az egyértelmű szoba-hozzárendelési séma szerint,
  • 4:01 - 4:04
    mely egyedi prímszámokon alapul.
  • 4:04 - 4:06
    Ily módon a recepciós elszállásolhatja
  • 4:06 - 4:08
    az összes busz összes utasát.
  • 4:08 - 4:11
    Emellett sok szoba még kihasználatlanul is marad,
  • 4:11 - 4:12
    ahogy a 6-os szoba is,
  • 4:12 - 4:15
    mivel a 6 nem hatványa egyik prímszámnak sem.
  • 4:15 - 4:18
    Szerencsére a főnökség nem túl erős matekból,
  • 4:18 - 4:19
    ezért az állás nincs veszélyben.
  • 4:19 - 4:22
    A recepciós stratégiái csak azért működnek,
  • 4:22 - 4:24
    mert a Végtelen Szálló,
  • 4:24 - 4:26
    akármilyen logisztikai rémálom is,
  • 4:26 - 4:30
    csak a legalacsonyabb szintű végtelenről kapta a nevét,
  • 4:30 - 4:32
    tudniillik a megszámlálhatóan végtelenről,
  • 4:32 - 4:34
    mely a természetes számok --
  • 4:34 - 4:37
    az 1, 2, 3, 4 és így tovább -- sajátja.
  • 4:37 - 4:41
    Georg Cantor a végtelennek ezt a szintjét alef-nullnak nevezte el.
  • 4:41 - 4:43
    A szobák számozására természetes számokat használunk,
  • 4:43 - 4:45
    ahogy a buszülések számozására is.
  • 4:46 - 4:48
    Ha magasabb rendű végtelennel akad dolgunk,
  • 4:48 - 4:50
    mint a valós számoké,
  • 4:50 - 4:51
    ezek a rendezett stratégiák
  • 4:51 - 4:53
    már nem működnek,
  • 4:53 - 4:54
    mert nem lehetséges
  • 4:54 - 4:57
    szisztematikusan sorra keríteni minden számot.
  • 4:57 - 4:59
    A Végtelen Szálló a Valós Számhoz épületében
  • 4:59 - 5:01
    negatív szobaszámok vannak az alagsorban,
  • 5:01 - 5:02
    vannak tört szobaszámok is,
  • 5:02 - 5:05
    ezért az 1/2-es szoba lakója azt gyanítja,
  • 5:05 - 5:07
    hogy fele akkora helyen szorong, mint az, aki az 1-est kapta.
  • 5:07 - 5:10
    Vannak négyzetgyökös szobák, mint a gyök 2,
  • 5:10 - 5:11
    és ott a pi szoba is,
  • 5:11 - 5:14
    melynek lakói π-rítóst kapnak reggelire.
  • 5:14 - 5:16
    Melyik magára adó recepciós
  • 5:16 - 5:17
    szeretne ilyen helyen dolgozni
  • 5:17 - 5:19
    akár végtelen nagy fizetésért is?
  • 5:19 - 5:21
    De odaát a Hilbert-féle Végtelen Szállóban,
  • 5:21 - 5:22
    ahol soha nincs üres szoba,
  • 5:22 - 5:24
    de mégis akad hely az új vendégnek,
  • 5:24 - 5:27
    azok a helyzetek, amelyeket kezelnie kell a szorgos
  • 5:27 - 5:29
    de talán túlontúl vendégszerető recepciósnak,
  • 5:29 - 5:30
    arra emlékeztetnek minket,
  • 5:30 - 5:31
    milyen nehéz is
  • 5:31 - 5:33
    viszonylag véges agyvelőnkkel
  • 5:33 - 5:37
    felfogni akkora fogalmat, mint a végtelen.
  • 5:37 - 5:39
    Segíthetnél esetleg te is a problémamegoldásban
  • 5:39 - 5:40
    egy kiadós alvás után.
  • 5:40 - 5:42
    Ha nem zavar, ha hajnali 2-kor
  • 5:42 - 5:45
    átköltöztetünk egy másik szobába.
Title:
A Végtelen Szálló paradoxona - Jeff Dekofsky
Speaker:
Jeff Dekofsky
Description:

A teljes leckét lásd: http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky

A Végtelen Szálló (egy igazi "Grand" Hotel), egy gondolatkísérlet helyszíne, melyet David Hilbert német matematikus talált ki. Olyan szálloda ez, melyben végtelen számú szoba van. Világos, nem? Nos, nem annyira. Mi van, ha teltháznál új vendég érkezik, és szobát szeretne? Mi van, ha 40-en vannak? Vagy egy végtelen nagy busz állít be, tele utassal? Jeff Dekofsky az elhelyezési gondokat Hilbert Grand Hotel-paradoxonja segítségével oldja meg.

Lecke: Jeff Dekofsky, animáció: The Moving Company Animation Studio.
more » « less
Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
06:00
Laszlo Kereszturi approved Hungarian subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Laszlo Kereszturi accepted Hungarian subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Laszlo Kereszturi commented on Hungarian subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Sándor Nagy edited Hungarian subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Sándor Nagy edited Hungarian subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Sándor Nagy edited Hungarian subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Sándor Nagy edited Hungarian subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Sándor Nagy edited Hungarian subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Show all

Hungarian subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.