Le paradoxe de l'Hôtel Infini - Jeff Dekofsky

Voir la leçon complète: http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky

L'Hôtel Infini, une expérience de pensée conçue par le mathématicien allemand David Hilbert, est un hôtel avec un nombre infini de chambres. Facile à comprendre, n'est-ce pas ? Pas vraiment. Que se passe-t-il quand l'hôtel est complet mais qu'un nouveau client arrive? Et quand 40 nouveaux clients arrivent ? Ou quand un bus avec un nombre infini de passagers arrive ? Jeff Dekofsky résout ces problèmes de logement épineux en utilisant le paradoxe d'Hilbert.

Leçon par Jeff Dekofsky, animation par The Moving Company Animation Studio.

Dans les années 20,

le mathématicien allemand David Hilbert

conçut une célèbre expérience de l'esprit

pour nous montrer comme il est difficile

d'appréhender le concept d'infini.

Imaginons un hôtel
avec un nombre de chambres infini

et un réceptionniste très travailleur.

Un soir, l'Hôtel Infini est plein,

complètement réservé
par un nombre infini de clients.

Un homme arrive à l'hôtel

et demande une chambre.

Plutôt que de le renvoyer,

le réceptionniste décide
de lui faire de la place.

Comment ?

Facile : il demande au client
de la chambre 1

de passer dans la chambre 2,

au client de la chambre 2
de passer dans la chambre 3,

etc.

Chaque client passe
de la chambre numéro « n »

à la chambre numéro « n+1 ».

Comme il y a un nombre infini de chambres,

il existe une nouvelle chambre
pour chaque client déjà installé.

Cela laisse la chambre 1
disponible pour le nouveau client.

Le procédé peut être répété

pour tout nombre fini de nouveaux clients.

Si, par exemple, un bus déverse

40 personnes à la recherche de chambres,

alors chaque client existant
passe simplement

de la chambre numéro « n »

à la chambre numéro « n+40 »,

libérant ainsi les 40 premières chambres.

Mais imaginons qu'un bus infiniment grand

amène un nombre infini dénombrable
de passagers

à la recherche d'une chambre.

Infini dénombrable est le mot-clé ici.

Le bus infiniment long avec
un nombre infini de passagers

rend le réceptionniste perplexe,

puis il réalise qu'il y a un moyen

de trouver une chambre
pour chaque nouveau client.

Il demande au client de la chambre 1

de passer dans la chambre 2.

Puis il demande au client de la chambre 2

de passer dans la chambre 4,

au client de la chambre 3

de passer dans la chambre 6,

et ainsi de suite.

Chaque client existant passe
de la chambre « n »

à la chambre « 2n »,

n'occupant ainsi que les chambres infinies
de numéro pair.

Ainsi, le réceptionniste a libéré

toutes les chambres infinies
de numéro impair,

qui sont alors données aux gens

provenant du bus infiniment long.

Tout le monde est content
et le business de l'hôtel

progresse mieux que jamais.

Enfin, il progresse exactement

au même rythme que d'habitude,

encaissant un nombre infini de dollars
chaque nuit.

La rumeur se répand à propos
de cet hôtel incroyable.

Les gens affluent des
quatre coins du monde.

Un soir, l'inimaginable arrive.

Le réceptionniste de nuit regarde dehors

et voit une ligne infinie

de bus infiniment longs,

chacun contenant un nombre de passagers
infini dénombrable.

Que faire?

S'il ne leur trouve pas de chambres,

l'hôtel va perdre

un montant infini d'argent,

et lui va sûrement perdre son emploi.

Heureusement, il se souvient

que vers l'année 300 avant J.C.,

Euclide a prouvé qu'il existe
une quantité infinie

de nombres premiers.

Et donc, pour accomplir
ce qui semble impossible -

trouver une infinité de chambres

pour une infinité de bus

contenant une infinité
de voyageurs fatigués -

le réceptionniste alloue
à chaque client existant

une nouvelle chambre dont le numéro est
le premier nombre premier, 2,

à la puissance du numéro
de leur chambre existante.

Ainsi l'occupant actuel de la chambre 7

déménage dans la chambre 2 puissance 7,

soit la chambre 128.

Le réceptionniste prend
ensuite les passagers

du premier des bus infinis

et leur alloue le numéro de chambre

3, nombre premier suivant,

à la puissance du numéro
de leur siège dans le bus.

Ainsi le voyageur assis au siège 7
du premier bus

va dans la chambre 3 puissance 7,

soit la chambre 2187.

Et ainsi de suite pour l'ensemble
du premier bus.

Aux passagers du deuxième bus

sont donnés les numéros de chambre
de la puissance du nombre premier 5.

Pour le bus suivant, les puissances de 7.

Chaque bus suit :

puissances de 11,

puissances de 13,

puissances de 17, etc.

Comme chacun de ces nombres

a comme facteurs unique 1
et les puissances

de nombre entier de leur nombre premier,

il n'y a pas duplication
de numéro de chambre.

Tous les passagers des bus se répandent
dans les chambres

utilisant des méthodes uniques
d'allocation de chambres

basées sur des nombre premiers uniques.

Ainsi, le réceptionniste peut
trouver une chambre

pour chaque passager de chaque bus.

Mais de nombreuses chambres
vont rester libres,

comme la chambre 6,

puisque 6 n'est pas la puissance
d'un nombre premier.

Heureusement, ses patrons
ne sont pas très doués en maths,

donc le réceptionniste n'a rien à craindre
pour son travail !

Les stratégies du réceptionniste ne sont
possibles

que parce que l'Hôtel Infini,

un véritable cauchemar logistique,

n'a affaire qu'au plus bas niveau de l'infini,

l'infini que l'on peut compter,

celui des nombres entiers naturels,

1, 2, 3, 4 etc.

Georg Cantor appelle ce niveau d'infini
l'aleph-zéro.

Les numéros de chambre sont
des nombres entiers

comme les numéros de siège dans les bus.

Si on avait affaire à des ordres
d'infini plus élevés,

comme celui des nombres rééls,

ces stratégies structurées

ne seraient plus possibles

puisque l'on n'a aucun moyen

d'inclure systématiquement
tous les nombres.

L'Hôtel Infini des Nombres Réels possède

des chambres de numéro négatif
au sous-sol,

des chambres fractionnelles -

l'hôte de la chambre 1/2
pense toujours

qu'il a moins de place
que celui dans la chambre 1 -

et des chambres racine carrée,
comme la chambre racine de deux

et la chambre pi,

dans laquelle les clients s'attendent
à du lait gratuit.

Quel réceptionniste qui se respecte

voudrait y travailler,

même pour un salaire infini ?

Mais à l'Hôtel Infini de Hilbert,

où il n'y a jamais de chambre libre

mais toujours de la place disponible,

les scénarios auxquels est confronté
le réceptionniste,

toujours assidu et peut-être
trop accueillant,

nous rappellent

combien il est toujours difficile

pour nos esprits relativement finis

d'appréhender un concept aussi vaste
que l'infini.

Peut-être vous pourrez aider
à résoudre ce problème

après une bonne nuit de sommeil.

Mais honnêtement,
nous aurons peut-être besoin

que vous changiez de chambre
à deux heures du matin...