Universal set and absolute complement

В това видео искам да въведа идеята
за универсалното множество (U)

или множеството, което ни интересува,

а също и идеята за допълнение
или абсолютно допълнение.

Ако го направим като диаграма на Вен,
универсалното множество (U)

обикновено е изобразено като правоъгълник.

Това само по себе си е множество.

Обикновено се отбелязва с главно U –

U за универсален (universal) – не го бъркай с

обозначението за обединение

Можеш да кажеш, че универсалното множество

е всички възможни неща, които
могат да бъдат в едно множество,

включително селскостопански животни
и кухненски прибори,

и емоции, и видове италианска храна

или дори видове храна.

Но това просто става
малко налудничаво,

понеже мислиш за всички
възможни неща.

Обикновено, когато хората говорят
за универсално множество,

те говорят за множеството от неща,
които ги интересуват.

Множеството на всички хора или
множеството на всички реални числа,

или множеството на всички страни –

какъвто и да е фокусът на дискусията.

Но засега ще говорим за нея
малко по-абстрактно.

Да кажем, че имаш подмножество от това
универсално множество – множество А.

Множество А буквално съдържа всичко,

което зачертах.

Сега ще говорим за допълнение
или абсолютно допълнение на А.

Можеш да мислиш за това като за

множеството на всички неща в U,

които не са в А.

И вече разгледахме начините
за изразяване на това.

Множеството на всички неща в U,
които не са в А,

можем също да запишем
като U минус А.

Отново, това е главно U.

Това не е символът за обединението.

Или можем буквално да запишем това като U,

а после записваме тази малка наклонена черта,
U наклонена черта А.

Как представяме това в
диаграмата на Вен?

Може да е всички неща в U,
които не са в А.

Можем да мислим за това като за

относителното допълнение на А, което е в U.

Но, когато взимаме относителното допълнение

на нещо, което е в универсалното множество,

говорим за абсолютно допълнение.

Това имаме предвид в математиката, когато говорим просто за "допълнение".

Това е множеството на всички неща в U,
които не са в А.

Нека направим нещата
малко по-конкретни,

като говорим за множества от числа.

Отново, нашите множества –
можехме да говорим за множества

от телевизионни персонажи или
множества от животни,

или каквото и да е друго.

Но с числата се работи лесно и просто.

Да кажем, че нашето U, което

ни интересува тук,
е множеството на целите числа.

Нашето U е множеството на целите числа.

Просто ще запиша главно U

е равно на множеството на целите числа.

Малко отклонение –

обозначаването на множеството на целитe числа обикновено е с удебелено Z.

Z е за Zahl (Зал), от немски,
за, очевидно, цяло число.

"Удебелено" е това странно изглеждащо...

наричат го удебеляване на черна дъска.

Това използват математиците за различни видове множества от числа.

Всъщност ще направя това малко встрани.

Например те пишат R ето така

за множеството на реалните числа.

Те записват Q в този шрифт "удебелено на черна дъска",

като то изглежда подобно на това.

Когато пишат Q, то може да изглежда нещо подобно.

Това ще е множеството
на рационалните числа.

Може да се запиташ:
"Защо Q е за рационални?"

Има две причини.

Първо, R е заето. И
Q е за частно (quotient).

Едно рационално число може да бъде изразено
като частно на две цели числа.

Видяхме, че имаш Z за Zahl

или цели числа, множеството
на всички цели числа.

Универсалното ни множество, U,

коeто ни интересува сега,
е цели числа.

Нека дефинираме
подмножество от него.

Да наречем това подмножество...
не знам...

Нека използвам буква, която
не съм използвал много.

Нека го наречем подмножество С.

Да кажем, че е равно на –5, 0 и 7.

Очевидно не го рисувам в мащаб.

Множеството на всички цели числа
е безкрайно,

докато множеството С
е ограничено.

Но просто ще го нарисувам така,

това тук е нашето множество С.

Нека помислим кои са и
кои НЕ са елементи на С.

Знаем, че –5 е елемент
на нашето множество С.

Този малък символ тук означава
"е елемент".

Изглежда като
гръцката буква епсилон,

но не е гръцката буква епсилон.

Това буквално означава
"е елемент на множеството".

Знаем, че 0 е елемент
на нашето множество.

Знаем, че 7 е елемент
на нашето множество.

Знаем и някои други неща.

Знаем, че числото –8
не е елемент на нашето множество.

Знаем, че числото 53
не е елемент на нашето множество.

53 стои някъде извън това.

Знаем, че числото 42
не е елемент на нашето множество.

42 може да стои някъде извън това.

Нека сега помислим за
допълнението на С.

C', което е равно на U минус С,

което е същото като, можеш да кажеш

относителното допълнение на C в U.

Това са еквивалентни обозначения.

Първо, какво е това
в нашата диаграма на Вен?

Това са нещата извън
нашето множество С тук.

Но ние вече знаем, че –5
е елемент на С,

така че не може да е елемент
на допълнението на C.

–5 не е елемент на допълнението на С.

0 не е елемент на допълнението на С.

0 е в С, не в допълнението на С.

Можеш да кажеш, че 53
е елемент на допълнението на С.

Извън С е. Намира се в
нашето множество, но e извън С.

42 е елемент на допълнението на С.

Надявам се, че това ти помогна
да си изясниш нещата.