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Circumcenter of a Triangle

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    讓我們從弦AB講起 那是點A
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    這是點B
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    然後畫這條弦的中垂直線
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    所以這兩邊相垂直 並且弦被分成
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    兩部分 我們將這條線設爲L
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    這將是一條垂直線 確切說是一條中垂直線
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    這就是了 它將在成90度角的地方相交
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    並且它二等分弦
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    這兩段長相等
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    我們可以設那個點
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    設它爲M 設中間點爲M
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    在此我想最先證明的是
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    如果我們在這條線上任取一點
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    AB中垂直線上的一點
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    然後從點A到這一點的距離
  • 0:45 - 0:47
    或從這一點到點A的距離
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    將等同於點B到
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    這一點的距離
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    等同於這一點到點B的距離
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    那麽讓我在中垂直線上任取一點
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    設這一點爲C
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    你可以想象一下 我們畫一個三角形
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    畫一個三角形 連接CA
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    連接CB
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    因爲我們能證明CA等於CB
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    所以我們證得我們要證的內容
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    C到A和C到B的距離相等
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    這裡有些有意思的東西
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    已知AM等於MB
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    我們還知道CM等於它本身
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    明顯任何弦都等於它本身
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    並且我們需要知道這是不是直角 這的確是
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    這條線是AB的中垂直線
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    因此我們得到兩個直角
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    甚至你不用擔心它們是不是直角
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    如果你看到三角形AMC
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    你有這條邊全等於相應的
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    三角形BMC的那條邊
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    然後你從這兩條線中得到了一個角 這個角對應那個角
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    在這裡 角AMC 對應角BMC
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    並且它們都是90度
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    因此它們全等 然後你有邊MC
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    同時在兩個三角形上 並且全等
  • 2:03 - 2:07
    因此我們能用角邊角
  • 2:07 - 2:09
    角邊角全等證明法
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    因而我們可以寫三角形AMC 全等於
  • 2:17 - 2:23
    三角形BMC
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    用角邊角證全等法
  • 2:30 - 2:32
    如果它們全等
  • 2:32 - 2:34
    那麽它們對應邊全等
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    AC對應BC 所以這兩邊相等
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    這兩邊必等長
  • 2:42 - 2:44
    原題得證
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    AB中垂直線上的這一點C
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    到A B 等距
  • 2:53 - 2:56
    同理 如果我把C取在這裡或這裡
  • 2:56 - 2:58
    我會得到相同的結論
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    所以在這條線上的任何一點C都是一樣的
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    所以讓我寫下它 這意味著
  • 3:03 - 3:07
    AC等於BC
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    現在我們換一角度看這個問題
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    比如說我們找到到A和B距離相等的一點
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    證明它一定在中垂直線上
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    所以 再做一遍 我畫出這個 這是A
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    這是B 然後我們畫出其它點 再次設爲C
  • 3:29 - 3:33
    假如C在這裡
  • 3:33 - 3:34
    比如說我在這裡畫一點C
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    這是C 我們從假設開始
  • 3:38 - 3:41
    C到A和 B的距離相等
  • 3:41 - 3:45
    所以CA等於CB
  • 3:45 - 3:47
    這是我們的開始
  • 3:47 - 3:48
    這將是我們的假設
  • 3:48 - 3:52
    我們要證的是 C在
  • 3:52 - 3:58
    AB的中垂直線上
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    我們在這畫過一個三角形
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    我們可以在這條邊上作一條高線
  • 4:06 - 4:10
    因而我們在這作一條線
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    如果我們這樣畫
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    讓它從這引一條高線
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    雖然我們不是從線外一點畫線
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    在這種情況下我們是提升出一條線
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    但是如果你旋轉它
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    三角形看起來就像這樣了
  • 4:22 - 4:24
    三角形看起來就像這樣了
  • 4:24 - 4:30
    就是這樣 這是B 這是A C在上面的這裡
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    你可以這樣從線外引一條高
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    因此你可以構造這條線
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    它與AB成一直角
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    設交點爲M
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    因此要證C在中垂直線上
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    我們需要證明CM是中垂直線上的一條線段
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    並且我們已經構造了它
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    它已經是垂直的了 我們只需
  • 4:55 - 4:58
    證明它等分AB
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    所以我們這裡有
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    兩個角 這裡是一個直角
  • 5:03 - 5:04
    從我們構造它的方法來看 它很明顯是直角
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    它在直角處 然後我們推出
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    CM等於
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    CM等於
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    等於它本身
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    我們可知 這是一個直角邊 我們有一條直角邊
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    一條斜邊 從斜邊 直角邊公理
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    斜邊直角邊公理就是 存在一個直角
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    有一條直角邊
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    與相應的另一直角邊全等
  • 5:32 - 5:35
    在另一三角形中 存在一斜邊全等於
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    另一斜邊
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    這意味著兩三角形全等
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    由斜直法得出三角形ACM與三角形BCM全等
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    如果它們全等 它們的相應邊
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    將全等 這意味著AM
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    必等於BM
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    因爲他們是彼此的對應邊
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    因此這條邊與那條邊全等
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    所以這條線等分AB
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    線段MC在二等分線上
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    它的確是等分線的一部分
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    我們做這些的原因是
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    我們可以從中垂直線中發現一些有意思的現象
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    還有那些到某些點等長的點
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    還有由他們構成三角形
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    這是新知識 來回顧一下
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    弦中垂直線上的任意一點
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    到弦端點的距離相等
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    逆定理是 如果一點到
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    弦端點的距離相等
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    它在該弦的中垂直線上
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    現在我們將這些定理應用到三角形中
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    讓我任意畫一三角形
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    我盡可能畫一個大一些的
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    我們給這個三角形標一些點
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    這是點 A 點B 點C 我們稱之爲三角形ABC
  • 7:02 - 7:08
    現在 我構造弦AB的中垂直線
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    它將等分弦 所以這段距離等於
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    這段距離 並且它是垂直於弦的
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    它看起來是這樣的
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    它要被細化一下 所以我們將它畫得不一樣一點
  • 7:22 - 7:24
    因爲我們剛才畫它的方法
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    使我們接近特殊情況
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    那是我們下一講的內容
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    讓我畫一個不太一樣的三角形
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    讓我畫下它
  • 7:33 - 7:39
    等下我
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    好的 這個看起來好點了
  • 7:42 - 7:44
    我們將會學我提到的特殊情況
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    這是A
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    這是B 這是C
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    現在讓我在這作一點
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    AB的中間點 並畫一條垂直線
  • 7:56 - 7:57
    然後畫一條中垂直線
  • 7:57 - 7:59
    所以中垂直線看起來像那樣
  • 7:59 - 8:02
    就像那樣
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    我並不想讓它與C相交
  • 8:05 - 8:07
    因爲沒必要是那種情況
  • 8:07 - 8:10
    但這要是一個直角
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    並且這段長等於那段長
  • 8:11 - 8:14
    讓我對AC做相同的步驟
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    在這裡
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    讓我取這一中間點
  • 8:18 - 8:19
    粗略地畫一下
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    好像在那裏 然後讓我畫出
  • 8:22 - 8:26
    它的中垂直線 它看起來像這樣
  • 8:26 - 8:28
    它看起來像這樣
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    所以這段長等於那段長
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    並且我們發現他們相交於某點
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    我們設那點 來點樂趣 設它爲O
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    現在點O有些有意思的特性
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    因爲我們知道O在AB的中垂直線上
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    可知O到B的距離
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    等於O到A的距離
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    這是我們第一部分證明的
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    因此我們知道OA等於OB
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    挺不錯的 但是我們還知道
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    因爲它是這條綠色中垂直線
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    和這條黃色中垂直線的交點
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    我們也知道它在AC的中垂直線上
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    它到A和C的距離相等
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    所以我們知道OA等於OC
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    現在 有趣的是 OA等於OB
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    並且OA等於OC 所以OC和OB
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    也要相等 我們也會知道 OC
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    必等於OB
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    OC必等於OB 如果一點等於 抱歉
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    如果一點到弦兩端點
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    的距離相等
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    那麽這一點在這條弦的中垂直線上
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    這是我們的第二個證明
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    在這裡 它必須在BC的中垂直線上
  • 9:58 - 10:02
    所以如果我在這畫一條中垂直線
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    那麽它將在BC的垂直線上
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    中垂直線
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    從我們這簡單的小證明中得出的很好的一點是
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    如果我們已經證明上述理論 那麽
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    在三角形中有唯一的一點
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    到三角形三頂點的距離相等
  • 10:22 - 10:26
    並且在三邊的三條中垂直線上
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    換種角度說 我們證明過
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    三邊的中垂直線
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    交於唯一一點
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    這一點到三頂點的距離相等 三角形中這一點
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    有一特殊名稱 我們稱O爲三角形外心
  • 10:43 - 10:49
    因爲O到三角形頂點等距
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    所以這個距離 讓我用其它顏色標出
  • 10:54 - 10:55
    我沒用過的顏色
  • 10:55 - 10:59
    這段距離 這段距離
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    等於那段距離
  • 11:01 - 11:03
    等於那段距離
  • 11:03 - 11:06
    如果我們以O爲圓心作一圓
  • 11:06 - 11:10
    它的半徑是這條橘黃色的距離
  • 11:10 - 11:12
    它的距離是這些距離之一
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    我們得到了一個經過所有頂點的圓
  • 11:17 - 11:19
    所有三角形的頂點對應中心是O
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    所以我們的圓是這樣的
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    這是我很努力畫出的 所以我們構造的圓在這裡
  • 11:26 - 11:28
    我們可以構造出這樣一個圓
  • 11:28 - 11:31
    但是我們稱之爲外接圓
  • 11:31 - 11:37
    這段距離是外接半徑
  • 11:37 - 11:42
    再來一次 我們知道我們可以構造它的
  • 11:42 - 11:46
    因爲有一點O爲中心 並且這個圓
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    經過三角形頂點
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    我們稱之爲外接圓
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    外接 圓 我念它有困難 外接於
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    三角形 我們稱這裡的
  • 12:01 - 12:07
    圓O爲外接圓O 所以這裡的圓O
  • 12:07 - 12:17
    外接於三角形ABC
  • 12:17 - 12:21
    這意味著三頂點在圓上
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    並且這個圓上任意一點
  • 12:26 - 12:29
    到三角形外心的距離都是外接圓半徑
Title:
Circumcenter of a Triangle
Description:

Multiple proofs showing that a point is on a perpendicular bisector of a segment if and only if it is equidistant from the endpoints. Using this to establish the circumcenter, circumradius, and circumcircle for a triangle
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Video Language:
English
Duration:
12:29
David Chiu added a translation
mama26019894 added a translation

Chinese, Traditional subtitles

Revisions

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