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Circumcenter of a Triangle

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    让我们从弦AB讲起 那是点A
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    这是点B
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    然后画这条弦的中垂线
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    所以这两边相垂直 并且弦被分成
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    两部分 我们将这条线设为L
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    这将是一条垂线 确切说是一条中垂线
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    这就是了 它将在成90度角的地方相交
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    并且它二等分弦
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    这两段长相等
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    我们可以设那个点
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    设它为M 设中点为M
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    在此我想最先证明的是
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    如果我们在这条线上任取一点
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    AB中垂线上的一点
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    然后从点A到这一点的距离
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    或从这一点到点A的距离
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    将等同于点B到
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    这一点的距离
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    等同于这一点到点B的距离
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    那么让我在中垂线上任取一点
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    设这一点为C
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    你可以想象一下 我们画一个三角形
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    画一个三角形 连接CA
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    连接CB
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    因为我们能证明CA等于CB
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    所以我们证得我们要证的内容
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    C到A和C到B的距离相等
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    这里有些有意思的东西
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    已知AM等于MB
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    我们还知道CM等于它本身
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    明显任何弦都等于它本身
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    并且我们需要知道这是不是直角 这的确是
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    这条线是AB的中垂线
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    因此我们得到两个直角
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    甚至你不用担心它们是不是直角
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    如果你看到三角形AMC
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    你有这条边全等于相应的
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    三角形BMC的那条边
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    然后你从这两条线中得到了一个角 这个角对应那个角
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    在这里 角AMC 对应角BMC
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    并且它们都是90度
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    因此它们全等 然后你有边MC
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    同时在两个三角形上 并且全等
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    因此我们能用角边角
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    角边角全等证明法
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    因而我们可以写三角形AMC 全等于
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    三角形BMC
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    用角边角证全等法
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    如果它们全等
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    那么它们对应边全等
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    AC对应BC 所以这两边相等
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    这两边必等长
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    原题得证
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    AB中垂线上的这一点C
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    到A B 等距
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    同理 如果我把C取在这里或这里
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    我会得到相同的结论
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    所以在这条线上的任何一点C都是一样的
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    所以让我写下它 这意味着
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    AC等于BC
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    现在我们换一角度看这个问题
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    比如说我们找到到A和B距离相等的一点
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    证明它一定在中垂线上
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    所以 再做一遍 我画出这个 这是A
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    这是B 然后我们画出其它点 再次设为C
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    假如C在这里
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    比如说我在这里画一点C
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    这是C 我们从假设开始
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    C到A和 B的距离相等
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    所以CA等于CB
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    这是我们的开始
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    这将是我们的假设
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    我们要证的是 C在
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    AB的中垂线上
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    我们在这画过一个三角形
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    我们可以在这条边上作一条高线
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    因而我们在这作一条线
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    如果我们这样画
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    让它从这引一条高线
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    虽然我们不是从线外一点画线
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    在这种情况下我们是提升出一条线
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    但是如果你旋转它
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    三角形看起来就像这样了
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    三角形看起来就像这样了
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    就是这样 这是B 这是A C在上面的这里
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    你可以这样从线外引一条高
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    因此你可以构造这条线
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    它与AB成一直角
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    设交点为M
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    因此要证C在中垂线上
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    我们需要证明CM是中垂线上的一条线段
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    并且我们已经构造了它
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    它已经是垂直的了 我们只需
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    证明它等分AB
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    所以我们这里有
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    两个角 这里是一个直角
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    从我们构造它的方法来看 它很明显是直角
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    它在直角处 然后我们推出
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    CM等于
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    CM等于
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    等于它本身
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    我们可知 这是一个直角边 我们有一条直角边
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    一条斜边 从斜边 直角边公理
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    斜边直角边公理就是 存在一个直角
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    有一条直角边
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    与相应的另一直角边全等
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    在另一三角形中 存在一斜边全等于
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    另一斜边
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    这意味着两三角形全等
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    由斜直法得出三角形ACM与三角形BCM全等
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    如果它们全等 它们的相应边
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    将全等 这意味着AM
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    必等于BM
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    因为他们是彼此的对应边
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    因此这条边与那条边全等
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    所以这条线等分AB
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    线段MC在二等分线上
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    它的确是等分线的一部分
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    我们做这些的原因是
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    我们可以从中垂线中发现一些有意思的现象
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    还有那些到某些点等长的点
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    还有由他们构成三角形
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    这是新知识 来回顾一下
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    弦中垂线上的任意一点
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    到弦端点的距离相等
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    逆定理是 如果一点到
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    弦端点的距离相等
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    它在该弦的中垂线上
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    现在我们将这些定理应用到三角形中
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    让我任意画一三角形
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    我尽可能画一个大一些的
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    我们给这个三角形标一些点
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    这是点 A 点B 点C 我们称之为三角形ABC
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    现在 我构造弦AB的中垂线
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    它将等分弦 所以这段距离等于
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    这段距离 并且它是垂直于弦的
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    它看起来是这样的
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    它要被细化一下 所以我们将它画得不一样一点
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    因为我们刚才画它的方法
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    使我们接近特殊情况
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    那是我们下一讲的内容
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    让我画一个不太一样的三角形
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    让我画下它
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    等下我
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    好的 这个看起来好点了
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    我们将会学我提到的特殊情况
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    这是A
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    这是B 这是C
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    现在让我在这作一点
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    AB的中点 并画一条垂线
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    然后画一条中垂线
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    所以中垂线看起来像那样
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    就像那样
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    我并不想让它与C相交
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    因为没必要是那种情况
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    但这要是一个直角
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    并且这段长等于那段长
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    让我对AC做相同的步骤
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    在这里
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    让我取这一中点
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    粗略地画一下
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    好像在那里 然后让我画出
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    它的中垂线 它看起来像这样
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    它看起来像这样
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    所以这段长等于那段长
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    并且我们发现他们相交于某点
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    我们设那点 来点乐趣 设它为O
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    现在点O有些有意思的特性
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    因为我们知道O在AB的中垂线上
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    可知O到B的距离
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    等于O到A的距离
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    这是我们第一部分证明的
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    因此我们知道OA等于OB
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    挺不错的 但是我们还知道
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    因为它是这条绿色中垂线
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    和这条黄色中垂线的交点
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    我们也知道它在AC的中垂线上
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    它到A和C的距离相等
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    所以我们知道OA等于OC
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    现在 有趣的是 OA等于OB
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    并且OA等于OC 所以OC和OB
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    也要相等 我们也会知道 OC
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    必等于OB
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    OC必等于OB 如果一点等于 抱歉
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    如果一点到弦两端点
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    的距离相等
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    那么这一点在这条弦的中垂线上
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    这是我们的第二个证明
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    在这里 它必须在BC的中垂线上
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    所以如果我在这画一条中垂线
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    那么它将在BC的垂线上
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    中垂线
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    从我们这简单的小证明中得出的很好的一点是
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    如果我们已经证明上述理论 那么
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    在三角形中有唯一的一点
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    到三角形三顶点的距离相等
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    并且在三边的三条中垂线上
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    换种角度说 我们证明过
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    三边的中垂线
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    交于唯一一点
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    这一点到三顶点的距离相等 三角形中这一点
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    有一特殊名称 我们称O为三角形外心
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    因为O到三角形顶点等距
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    所以这个距离 让我用其它颜色标出
  • 10:54 - 10:55
    我没用过的颜色
  • 10:55 - 10:59
    这段距离 这段距离
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    等于那段距离
  • 11:01 - 11:03
    等于那段距离
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    如果我们以O为圆心作一圆
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    它的半径是这条橘黄色的距离
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    它的距离是这些距离之一
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    我们得到了一个经过所有顶点的圆
  • 11:17 - 11:19
    所有三角形的顶点对应中心是O
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    所以我们的圆是这样的
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    这是我很努力画出的 所以我们构造的圆在这里
  • 11:26 - 11:28
    我们可以构造出这样一个圆
  • 11:28 - 11:31
    但是我们称之为外接圆
  • 11:31 - 11:37
    这段距离是外接半径
  • 11:37 - 11:42
    再来一次 我们知道我们可以构造它的
  • 11:42 - 11:46
    因为有一点O为中心 并且这个圆
  • 11:46 - 11:50
    经过三角形顶点
  • 11:50 - 11:54
    我们称之为外接圆
  • 11:54 - 11:57
    外接 圆 我念它有困难 外接于
  • 11:57 - 12:01
    三角形 我们称这里的
  • 12:01 - 12:07
    圆O为外接圆O 所以这里的圆O
  • 12:07 - 12:17
    外接于三角形ABC
  • 12:17 - 12:21
    这意味着三顶点在圆上
  • 12:21 - 12:26
    并且这个圆上任意一点
  • 12:26 - 12:29
    到三角形外心的距离都是外接圆半径
Title:
Circumcenter of a Triangle
Description:

Multiple proofs showing that a point is on a perpendicular bisector of a segment if and only if it is equidistant from the endpoints. Using this to establish the circumcenter, circumradius, and circumcircle for a triangle
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Video Language:
English
Duration:
12:29
chezisu1988 edited Chinese, Simplified subtitles for Circumcenter of a Triangle
chezisu1988 added a translation

Chinese, Simplified subtitles

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