Circumcenter of a Triangle

Multiple proofs showing that a point is on a perpendicular bisector of a segment if and only if it is equidistant from the endpoints. Using this to establish the circumcenter, circumradius, and circumcircle for a triangle

AB doğru parçasıyla işe başlayalım. Bu A noktası.

Buradaki B noktası.

Bu doğru parçasının orta dikmesini çizelim.

Çizdiğim doğru hem bu doğru parçasına dik olacak hem de onu iki eşit parçaya ayıracak.

Orta dikme doğrusuna L diyelim.

Bu orta dikme 90 derecelik bir açıyla AB doğru parçasını kesiyor.

Ve onu ikiye ayırıyor, bu uzunlukla bu uzunluk aynı.

.

.

Buradaki noktaya M diyelim.

M orta noktanın - ingilizce midpoint - kısaltması.

Bu derste ispat etmek istediğim ilk durum orta dikme üzerinde alınan herhangi bir noktanın hem A noktasına hem B noktasına eşit uzaklıkta olduğudur.

.

.

.

.

.

.

.

Şimdi orta dikme üzerinde rastgele bir nokta seçeyim.

Bu C noktası olsun.

Burada bir nevi üçgen çiziyoruz.

C noktasından A'ya ve yine C'den B'ye.

.

CA'nın uzunluğunun CB'nin uzunluğuna eşit olduğunu ispat edebiliriz.

Bu durumda C'nin A'ya ve B'ye eşit uzaklıkta olduğunu da ispat etmiş oluruz.

.

Burada ilginç birkaç şey var.

AM'nin MB'ye eşit olduğunu biliyoruz.

CM'nin de kendisine eşit olduğunu biliyoruz.

Her doğru parçası tabiki de kendine eşittir.

Bu açının dik açı olduğunu biliyoruz, dolayısıyla bu açı da dik.

Bu doğru AB'nin orta dikmesi.

Yani elimizde iki dik üçgen var.

Aslında dik üçgen olmaları önemli bile değil.

AMC üçgenine baktığınızda bunun BMC üçgenindeki aynı kenara eş olduğunu görebilirsiniz.

.

.

Dolayısıyla bu aradaki açı da bu aradaki açıya eşittir.

.

AMC açısı BMC açısına eşittir ve ikisi de 90 derecedir.

Bu ikisi eş ve MC kenarı ikisinde de ortak olduğuna göre bu üçgenler eş üçgenler.

.

Kenar-Açı-Kenar (KAK) kuralını kullanarak bu iki üçgenin eş üçgenler olduğunu ispat etmiş olduk.

.

Yani AMC üçgeninin KAK kuralına göre BMC üçgenine eş olduğunu yazabiliriz.

.

.

Bu iki üşgen eş olduğuna göre birbirlerine tekabül eden kenarlar da birbirlerine eş olmalı.

.

Örneğin AC'ye tekabül eden doğru parçası BC, dolayısıyla bu durumda bu ikisi eşit uzunlukta olmalı.

.

Böylece istediğimiz ispatı yapmış olduk.

AB'nin orta dikmesi üzerindeki herhangi bir C noktası A'ya ve B'ye eşit uzaklıktadır.

.

Biliyorum ki C noktasını burada alsaydım yine aynı şekilde bu durumu ispat edebilirdim.

.

C noktası orta dikmenin üzerinde olduğu sürece bu durum geçerli.

.

Buraya yazayım, bu AC eşittir BC demek.

Şimdi bu yaptıklarımızı bir de tersten yapalım.

Diyelim ki A'ya ve B'ye eşit uzaklıkta bir nokta bulduk.

Bu noktanın orta dikme üzerinde olduğunu ispat edelim.