Circumcenter of a Triangle

Multiple proofs showing that a point is on a perpendicular bisector of a segment if and only if it is equidistant from the endpoints. Using this to establish the circumcenter, circumradius, and circumcircle for a triangle

Хајде да почнемо са дужи АВ, дакле, то је тачка А,

ово је тачка В овде,

и хајде да поставимо симетралу ове дужи.

Значи, она ће бити оба, и нормала, и делиће

дуж на пола, па зато можемо да је зовемо права L,

то ће бити нормала, то је нормална симетрала,

дакле, то ће бити, она ће је пресецати под углом од 90 степени

и поделиће је.

Ова дужина и ова дужина су једнаке,

И можемо, чак и да поставимо, хајде да назовемо ову тачку овде,

хајде да то назовемо М, за средишну тачку.

Оно што прво желим да докажем у овом снимку је

да ако одаберемо произвољну тачку на правој,

која је нормална симетрала дужи АВ,

онда ће та произвољна тачка бити на једнаком растојању од А

или ће растојање од те тачке до А,

бити исто као растојање од те тачке,

исто као растојање од те тачке,

исто као растојање од те тачке до В.

Стога, дајте да одаберем произвољну тачку са симетрале,

и назовимо је, хајде да је назовемо произвољна тачка С,

и тако можете да претпоставите да хоћемо да нацртамо троугао.

Па , нацртајмо троугао, где повлачимо линију од С до А,

и још једну од С до В,

и пошто можемо да докажемо да је СА једнако СВ,

тако смо и доказали оно што смо хтели да докажемо,

да је С на једнаком растојању од А, као што је и од В.

Па, има неколико занимљивих ствари које видимо овде.

Знамо да је АМ једнако МВ.

Сада, такође знамо да је СМ једнако самој себи.

Очигледно је да ће свака дуж бити једнака самој себи,

И знамо да, ако је ово прав угао, ово је такође, прав угао.

Ова права је нормална симетрала од АВ,

и тако имамо два правоугла троугла.

И, чак и да их не посматрате као правоугле

троуглове, ако погледате троугао АМС,

имате да је ова страница подударна одговарајућој

страници троугла ВМС,

затим имате угао између који одговара овом

углу овде, угао АМС, одговара углу ВМС,

и оба су 90 степени,

значи да су подударни, и онда имате страницу МС,

која је заједничка за оба троугла, и она је подударна.

Тако да можемо да употребимо СУС, Страница Угао Страница подударност,

Страница Угао Страница подударност.

Значи, можемо да напишемо да је троугао АМС, АМС је подударан,

подударан са троуглом ВМС, троуглу ВМС,

према Страница Угао Страница подударности, Страница Угао Страница подударности

и тако да, ако су оба, ако су подударни,

онда су све одговарајуће странице подударне,

и АС је одговарајућа за ВС, па и њих две морају бити подударне,

ова дужина мора бити иста као ова дужина овде,

и тако да смо доказали оно што смо хтели.

Ова произвољна тачка С која се налази на симетрали од АВ,

је подједнако удаљена од А и В.

И знао бих то и да сам нацртао моју С овде, или овде,

употребио бих потпуно исти аргумент,

за било коју С која се налази на овој правој, па, то је довољно добро.

Па, дајте да само запишем то, дакле, ово значи да је

АС једнако са, једнако са ВС.

Сада, хајде да идемо обрнуто.

Рецимо да нађемо неку тачку која је на једнаком растојању од тачака А и В.

Хајде да докажемо да она мора да припада симетрали.

Дакле, хајде да урадимо ово поново, нацртаću овако, значи ово је моје А,

ово је моје В, и дајте да нацртам изван неку тачку, назваћемо је С опет.

Значи, рецимо да је С овде, и ја ћу, можда ћу нацртати С

управо овде доле.

Дакле, ово је С и кренућемо од претпоставке

да је С на подједнаком растојању од А и В,

тако да ће СА бити једнако СВ.

Ово је оно од чега ћемо кренути,

ово ће бити наша претпоставка,

а оно што хоћемо да докажемо је, је да С припада

нормалној симетрали од, симетрали од АВ.

Дакле, овде смо нацртали троугао, као што смо радили и раније.

И, такође, можемо да спустимо висину, на ову страницу троугла

овде, дакле можемо да поставимо праву, овде,

ако је нацртамо овако, па назовимо је,

хајде, хајде само да спустимо висину овде,

мада је заправо, не спуштамо,

ми некако подижемо висину у овом случају,

али, ако окренете ово,

тако да троугао изгледа овако,

тако да троугао изгледа овако

Тако да је ово, па ово је било В, ово је А и то С је овде горе,

могли би, ви би заиста, спуштали висину,

и тако да можете да конструишете ову праву,

па она, она има ово, она је под правим углом са АВ, и дајте да назовем

ово, тачку у којој пресеца, М.

Дакле, да би доказали да С припада симетрали,

ми заправо треба да покажемо да је СМ дуж

на симетрали, и према томе како смо је конструисали,

она је већ нормална, ми заправо, треба да

покажемо да она дели АВ.

Па, шта имамо овде?

Имамо два права угла, ово је прав угао овде,

овај очигледно мора да буде, због начина на који смо то конструисали,

то је, то је прав угао, и затим, знамо да,

знамо да ће СМ бити једнако,

знамо да ће СМ бити једнако,

биће једнако самој себи.

И дакле, знамо према... ово је прав угао, имамо катету

и имамо хипотенузу, знамо према УСС ставу,

УСС став, УСС, имамо прав угао,

имамо једну одговарајућу катету која је подударна

са другом одговарајућом катетом

на другом троуглу, имамо хипотенузу која је подударна са

другом хипотенузом,

па, то значи да су наша два троугла подударна.

Значи, троугао АСМ је подударан троуглу ВСМ према УСС ставу.

Па, ако су подударни, онда ће њихове одговарајуће странице

бити подударне, тако да то значи да је АМ...

дакле, то нам говори да АМ мора бити једнака са ВМ,

пошто су оне њихове одговарајуће странице.

Дакле, ова страница овде, ће бити подударна са овом страницом,

значи да ово заиста дели АВ на 2 једнака дела,

према томе, ова дуж МС је заиста на симетрали.

Она заиста, јесте део нормалне симетрале.

И разлог због којег смо ово радили

је да сада можемо да радимо неке интересантне ствари са симетралом

и тачкама које су на једнаком растојању од тачака

и урадимо то са троугловима.

Дакле, ово је било ново, знате, само да поновимо.

Пронашли смо, хеј, ако нека тачка припада симетрали

дужи, она је на подједнаком растојању од крајњих тачака дужи.

А ишли смо и обрнутим смером, ако је нека тачка на једнакој удаљености

од крајњих тачака дужи,

она припада симетрали те дужи.

Па, хајде да применимо ове идеје на троугао сада.

Дакле, дајте да нацртам неки произвољан троугао.

Покушавам да га нацртам задовољавајуће великим. Дакле, рецимо да је то троугао

некакав. Дајте да га некако означимо,

ово је тачка А, тачка В, и тачка С, можемо га звати троугао АВС.

Сада, дајте да једноставно, конструишем симетралу дужи АВ,

значи, она ће је делити на два једнака дела, дакле, ово растојање ће бити једнако

овом растојању, и биће нормална.

Дакле, изгледаће некако овако, и биће,

биће нормала, заправо, дајте да нацртам ово мало другачије,

јер како сам нацртао овај троугао,

то, то ће нас довести, то ће нас скоро довести до специјалног случаја

о којем ћемо, заправо, говорити у следећем снимку.

Дајте да нацртам овај троугао мало другачије,

дајте да га нацртам мало

Сваки пут, океј, и онда, дајте да нацртам, дајте...

Океј, овај би могао бити мало бољи,

и видећемо на који специјалан случај сам мислио.

Дакле, нека је ово А,

ово ће бити В, ово ће бити С.

Сада, дајте да узмем ову тачку, управо овде,

која је на средини између тачака А и В, и нацртам симетралу,

онда нацртам нормалну симетралу.

Дакле, симетрала може да изгледа

некако овако, може да изгледа некако овако,

и не желим да ми обавезно пролази кроз С,

јер то не мора да буде обавезно тако,

али, ово ће бити угао од 90 степени

и ова дужина је једнака овој дужини.

И дајте да узмем, дајте да урадим исто

за дуж АС овде.

Дајте да уземем њену средњу тачку, коју

ако само отприлике нацртам, изгледа

као да је баш овде, и онда нацртајмо

њену симетралу, па би то изгледало некако овако,

изгледало би некако овако.

Значи, ова дужина овде, је једнака овој дужини.

И видимо да се оне секу у некој тачки,

назовимо је, само забаве ради, назовимо ту тачку О.

И сада, постоји неколико интересантних својстава тачке О.

Знамо да, пошто О припада симетрали од АВ,

знамо да ће растојање, растојање од О до В

бити растојање од О до А.

То је оно што смо доказали у овом првом малом доказу овде.

Значи, знамо, знамо да ће ОА, бити једнако са ОВ.

Па, то је некако јасно. Али, такође знамо то,

јер је то пресек ове зелене симетрале

и ове жуте симетрале.

Такође знамо зато што припада симетрали

од, од, од АС, да је на једнаком растојању од А као и од С.

Значи, знамо да је ОА једнако ОС.

Сада, ово је интересантно, ОА је једнако ОВ,

и ОА је такође, једнако ОС, значи ОС и ОВ

такође морају имати нешто заједничко, па, такође знамо да ОС

мора бити једнако, мора бити једнако ОВ.

ОС мора бити једнако ОВ. Па, ако је тачка једнака, извините,

ако је тачка подједнако удаљена од друге две тачке

које припадају неком од крајева дужи,

онда та тачка мора припадати симетрали те дужи.

То је други доказ који смо урадили,

управо овде. Значи да мора припадати и симетрали од ВС.

Дакле, ако нацртам симетралу, овде, онда

изгледа, изгледа, ово дефинитивно припада симетрали од ВС,

нормалној симетрали.

И оно што је згодно код овог простог малог доказа

који смо представили у овом снимку, је да смо показали

да постоји јединствена тачка у троуглу, која је на подједнакој удаљености

од свих темена троугла,

и припада симетралама за све три странице.

Или, другачије речено, показали смо

да се симетрале за све

три странице, секу у јединственој тачки, која је подједнако удаљена

од темена, и ова јединствена тачка троугла

има посебно име. О зовемо центром описане кружнице, центар описане кружнице.

Кружница, центар кружнице, и зато што је О на једнаком растојању

од темена, дакле, ово растојање... дајте да урадим ово бојом

коју нисам користио раније...

ово растојање овде, ово растојање овде,

је једнако овом растојању овде,

што је једнако овом растојању овде.

Ако конструишемо кружницу са центром

у О, чији је полупречник ово наранџасто растојање,

чији је полупречник било које од ових растојања,

имаћемо кружницу која пролази кроз сва темена В,

ох, извините, темена нашег троугла са центром у О.

Значи, наш круг би изгледао некако овако...

мој најбољи покушај да га нацртам...тако да, ово, што смо конструисали овде,

је то што смо показали да можемо да конструишемо нешто овако,

али, ову ствар зовемо описана кружница,

описана кружница, а ово растојање овде, полупречник описане кружнице,

полупречник описане кружнице. И још једном, знамо да можемо то да конструишемо

зато што постоји тачка овде, која се налази у О, и овај круг...

зато што пролази кроз темена нашег троугла,

сва темена нашег троугла... кажемо да је описана кружница,

описана кружница, описана

око троугла. Дакле, можемо да кажемо овде, да је

круг О, кружница О, тиме и круг О, круг О овде,

описан, описан око, око троугла АВС,

што само значи да сва три темена леже на кружници,

и да је круг, свака тачка кружнице, дужином полупречника кружнице, удаљена

од овог центра описане кружнице.