-
La oss starte med linjestykket AB.
-
Det her er punkt A, og det her er punkt B.
-
La oss tegne en vinkelrett halveringlinje til linjestykket.
-
Den er både vinkelrett, og den halverer linjestykket.
-
Vi kaller linjen for L.
-
Den er en vinkelrett halveringlinje.
-
Det skjærer linjestykket i en vinkel på 90 grader,
-
og den halverer den.
-
De her lengdene er like.
-
.
-
La oss kalle det her punktet M for midtpunkt.
-
I den her videoen skal vi bevise,
-
at hvis vi velger et tilfeldig punkt
-
på den her vinkelrett halveringlinjen til AB,
-
vil det være like langt borte
-
fra punkt A og punkt B.
-
Fra ethvert sted på halveringlinjen
-
er det like langt til hver ende
-
på den linjen, som den halverer.
-
La oss nå velge et tilfeldig punkt på den vinkelrette halveringlinjen.
-
La oss kalle det tilfeldige punktet for C.
-
Vi liker trekanter, så la oss tegne en.
-
Vi tegner en linje fra C til A
-
og fra C til B.
-
Hvis vi kan bevise, at CA er lik med CB,
-
har vi gjort det vi skulle.
-
Så har vi vist, at C er like langt fra A og B.
-
Vi kan nå se et par interessante ting.
-
Vi vet, at AM er lik med MB.
-
Vi vet også, at CM selvfølgelig er lik med seg selv.
-
Ethvert linjestykke er selvfølgelig lik med seg selv.
-
De t her er også en rett vinkel.
-
Den her linjen er en vinkelrett halveringlinje til AB.
-
Vi har nå altså 2 rettvinklede trekanter.
-
Vi kan faktisk være like glade med, om de er rettvinklede.
-
Hvis vi ser på trekanten AMC her,
-
vet vi, at den her siden er kongruent
-
med den tilsvarende siden i trekant BMC.
-
Vinkelen mellom de er tilsvarende med den her vinkelen her.
-
Vinkel AMC er altså lik med vinkel BMC.
-
De er begge 90 grader.
-
De er kongruente.
-
Siden MC er en del av begge trekanter. De er selvfølgelig kongruente.
-
Vi kan nå bruke side-vinkel-sidekongruens.
-
.
-
Vi kan skrive,
-
at trekant AMC er kongruent med trekant BMC.
-
Det vet vi på grunn av side-vinkel-sidekongruens.
-
Hvis trekantene er kongruente,
-
er alle de tilsvarende sidene kongruente.
-
AC svarer til BC, så det er kongruente.
-
De her 2 lengdene er lik med hverandre.
-
Vi har nå bevist, hva vi ville bevise.
-
Det tilfeldige punktet C, som er på den vinkelrette halveringlinjen til AB,
-
er like langt borte fra punktet A og B.
-
Vi vet, at hvis vi tegnet V her eller her,
-
kunne vi bruke nøyaktig samme argument.
-
Ethvert C på linjen er like langt borte.
-
La oss skrive det ned.
-
AC er lik med BC.
-
La oss nå gjøre det omvendte.
-
Vi skal finne et punkt, som er like langt borte fra A og B.
-
Vi skal bevise, at punktet nødvendigvis må være på den vinkelrette halveringlinjen.
-
Det her er A, og det her er B.
-
Vi tegner nå punktet C.
-
Vi tegner en C her,
-
og vi tegner en C her.
-
C er her. Vi starter med å gå ut fra,
-
at C er like langt borte fra A og B.
-
CA er altså lik med CB.
-
Det, går vi ut fra, er riktig.
-
Det er utgangspunktet vårt.
-
Vi skal bevise,
-
at C er på den vinkelrette halveringlinjen til linjestykket AB.
-
Her har vi tegnet en trekant. Det har vi gjort før.
-
Vi kan alltid tegne en trekanthøyde fra den her siden
-
og hit.
-
.
-
La oss tegne høyden her.
-
.
-
I det her tilfelle tegner vi høyden oppover.
-
.
-
Trekanten
-
ser sånn ut.
-
Det her er B, det her er A, og det her er C.
-
Nå kan vi se bedre, at det er snakk om en høyde.
-
Vi kan tegne den her linjen.
-
Det er på en rett vinkel fra AB.
-
La oss kalle skjæringspunktet for M.
-
La oss bevise, at C er på den vinkelrette halveringlinjen.
-
Vi skal vise, at CM er et linjestykke
-
på den vinkelrette halveringlinjen.
-
Det er allerede en vinkelrett linje.
-
Vi mangler nå å bevise, at den halverer AB.
-
Her har vi 2 vinkler,
-
og det her er den rette vinkelen.
-
Måten, vi har tegnet den på, gjør, at det må være en rett vinkel.
-
I så fall vet vi.
-
at Cm er lik med
-
seg selv.
-
Det vet vi alltid.
-
Her er en rett vinkel,
-
og så er det her et trekantben og hypotenusene.
-
Vi kjenner RSH-antagelsen.
-
Vi har et tilsvarende ben,
-
som er kongruent med det andre tilsvarende benet.
-
I den her trekanten er hypotenusen
-
kongruent med den andre hypotenusen.
-
Det betyr, at de 2 trekantene er kongruente.
-
Trekant ACM er kongruent med trekanten BCM ut fra RSH-antagelsen.
-
Hvis trekantene er kongruente,
-
er de tilsvarende sidene kongruente,
-
og så at AM er lik med BM.
-
Det er nemlig tilsvarende sider.
-
Den her siden er altså kongruent med den her siden.
-
Den halverer altså A.
-
MC befinner seg på den vinkelrette halveringlinjen.
-
MC er en del av den vinkelrette halveringlinjen.
-
Alt de, vi har gjort inntil videre,
-
kan vi bruke til å lage noen interessante ting med vinkelrette halveringlinjer.
-
Vi kan også bruke noe med punkter, som ligger like langt borte fra andre punkter,
-
når vi arbeider med trekanter.
-
La oss like godt oppsummere, hva vi har funnet ut av.
-
Vi vet nå, at ethvert punkt på en vinkelrett halveringlinje
-
til et linjestykke ligger like langt borte fra endepunktene på det linjestykket.
-
Vi har også bevist det den andre veien rundt.
-
Hvis et punkt ligger like langt borte fra et linjestykke,
-
befinner det seg på den vinkelrette halveringlinjen til det linjestykket.
-
La oss nå bruke den viten i en trekant.
-
Vi tegner nå en tilfeldig trekant.
-
Vi tegner den ganske stor.
-
Det her er en eller annen slags trekant.
-
Her er punkt A, B og C, så la oss kalle den trekant ABC.
-
La oss nå tegne en vinkelrett halveringlinje til linjestykket AB.
-
Linjen halvere altså AB. Den her avstanden er lik med den her avstanden.
-
Den står vinkelrett på AB.
-
Den er ser noenlunde ut som dette.
-
La oss tegne den litt annerledes,
-
så trekanten blir helt tilfeldig.
-
Nå kommer vi over et spesielt tilfelle.
-
Det spesielle tilfellet snakker vi om i neste video.
-
Vi tegner en annen trekant.
-
Den skal bare være litt annerledes.
-
Så er vi der.
-
Det kan være vanskelig å tegne fine trekanter.
-
.
-
Det her er A,
-
og det her er B, og det her er C.
-
La oss starte i
-
det her midtpunktet på AB
-
og tegne en vinkelrett halveringlinje.
-
Den er noenlunde ut som dette.
-
.
-
Den skal ikke nødvendigvis så gjennom C.
-
Det er ikke nødvendig i dette tilfellet.
-
Det her blir en rett vinkel.
-
De her lengdene er like hverandre.
-
Vi gjør det samme
-
for linjestykket AC her.
-
Vi finner midtpunktet.
-
.
-
Det ser ut til å være cirka her.
-
Nå tegner vi den vinkelrette halveringlinje.
-
Den er noenlunde ut som dette.
-
De her lengdene er like hverandre.
-
Vi kan se, at de krysser i et punkt.
-
La oss kalle det punktet for O.
-
Punktet O har noen interessante egenskaper.
-
Ettersom O er på AB's vinkelrette halveringlinje,
-
vet vi, at avstanden mellom O og B
-
er lik avstanden mellom O og A.
-
Det beviste vi jo i det første beviset her.
-
Vi vet altså, at OA er lik med OB.
-
Det er fint nok.
-
Vi vet også, at ettersom det er i skjæringspunktet mellom den grønne, vinkelrette halveringlinje
-
og den gule, vinkelrette halveringlinje,
-
er den altså også på den vinkelrette halveringlinjen til AC.
-
Den er altså like langt fra A og C.
-
Derfor er OA lik med OC.
-
Det er interessant. OA er lik med OB,
-
og OA er lik med OC, så OC og OB er også like hverandre.
-
.
-
OC er lik med OB.
-
.
-
Hvis punktet er like langt fra 2 andre punkter,
-
som er i hver deres ende av linjestykket,
-
må det punktet være på den vinkelrette halveringlinjen til det linjestykket.
-
Det beviste vi i vårt andre bevis i den her videoen.
-
Derfor må punktet være på den vinkelrette halveringlinjen til BC.
-
.
-
Det her er helt sikkert på BC'
-
vinkelrette halveringlinje.
-
Ved det her lille enkle beviset
-
har vi nå også vist,
-
at det er 1 bestemt punkt i den her trekanten,
-
som ligger like langt borte fra alle trekantenes vinkelspisser.
-
Det punktet befinner seg på den vinkelrette halveringlinjen til alle 3 sider.
-
Vi har også vist,
-
at de vinkelrette halveringlinjene til alle 3 sider
-
krysser hverandre i 1 bestemt punkt,
-
som ligger like langt borte fra alle vinkelspissene.
-
Det punktet har et navn.
-
O er sentrum i den omskreven sirkel.
-
O er like langt fra alle vinkelspissene.
-
.
-
Den her lengden er
-
lik med den her lengde,
-
som er lik med den her lengden.
-
Vi kan tegne en sirkel,
-
som har sentrum i O, hvor radius er den oransje lengden.
-
Radius er faktisk enhver av de her lengdene.
-
Den sirkelen går gjennom alle trekantens vinkelspisser.
-
Sentrum i den omskrevne sirkel er i O.
-
Sirkelen ser noenlunde ut som dette.
-
Vi har altså nå vist,
-
at vi kan tegne sånn en omskreven sirkel her.
-
.
-
Den her avstanden kalles radius i den omskrevne sirkel.
-
Vi kan tegne de,
-
når vi kjenner det her punktet O.
-
Sirkelen med sentrum i punkt O går gjennom alle trekantens vinkelspisser.
-
Sirkelen er omskreven.
-
Den er tegnet rundt om trekanten.
-
.
-
Vi kan kalle sirkelen for sirkel O.
-
Den er omskreven om trekant ABC.
-
Alle 3 vinkelspisser er på sirkelen.
-
Ethvert punkt på sirkelen er
-
radius i den omskrevne sirkel borte fra sentrum O.
