삼각형의 외심

삼각형의 각 변의 수선의 접점은 끝점에서 등거리에 있을 때 외심이 된다는 것의 여러가지 증명. 이를 통해 삼각형의 외심, 외접원의 반지름, 외접원에 대해 이해함

선분 AB로 시작해봅시다
이 점이 A

이 점이 B입니다

이 변의 수직이등분선을 그립니다

변이 수직이면서 길이가 같은 두분으로 나누어지므로

이 선을 L 이라고 하면

이 선은 수직이등분선이 됩니다

이 선은 90도로 만나고

변을 반으로 나눕니다

이 길이와 이 길이는 같으므로

여기 있는 이 점을

중점이라는 의미로 M이라고 부릅니다

이 영상에서 증명하려는 것은

이 수직이등분선 위의

임의의 한 점을 고른다면(변AB에서 떨어져 있는),

점 A에서 이 임의의 점까지의 거리

또는 이 임의의 점에서 점A까지의 거리가

점B에서 이 임의의 점까지의 거리와 같은 거라는 것입니다

다시 말해서, 이 임의의 점에서부터 점 B까지의 거리와

점A까지의 거리가 같을 것이라는 것이죠

이제 수직이등분선 위의 임의의 점을
골라보겠습니다

이것을 점 C 라고 부릅시다

이제 삼각형을 생각해 볼 수 있습니다

C에서 A로 선을 긋고

C에서 B로 선을 그어서
삼각형을 그립니다

CA와 CB가 길이가 같다는 것은 증명할 수 있기 때문에

우리가 하고자 했던 증명

즉, C가 A와 B에서 같은 거리에 있다는 것은 해결되었습니다

여기에 몇가지 재밌는 사실이 있습니다

AM과 MB가 깉이가 같다는 것을 알고 있습니다

CM이 그 자신과 길이가 같다는 것도 압니다

당연히 어떤 선분은 자기 자신과 길이가 같고

만약 이 각이 직각이라면,
이것도 역시 직각이라는 것도 압니다

이 선은 AB의 수직이등분선이므로

직각이 두 개입니다

이 삼각형은 의심할 여지없이 직각삼각형입니다

삼각형 AMC에서 이 변의 길이는

삼각형 BMC에 대응하는 변과

길이가 같다는 것을 알 수 있습니다

그리고 이 끼인각을 살펴보면

각 AMC는 각 BMC 와 서로 대응하는 각으로

둘다 90도 입니다

또한, 변 MC는

두 삼각형에 공통으로 속해있으면서 대응하는 변입니다

즉, 대응하는 두 변의 길이가 같고
끼인각의 크기가 같으므로

SAS합동이 성립합니다

삼각형 AMC는

삼각형 BMC와 합동입니다

SAS합동입니다

두 삼각형이 합동이므로

모든 대응하는 변의 길이가 같고

AC와 대응하는 BC의 길이가 같고

이 길이외 이 길이가 같습니다

우리가 하려던 증명을 해냈습니다

수직이등분석 AB위 임의의 점 C는

A와 B로부터 같은 거리에 있습니다

그리고 점C를 여기에 그렸더라도

같은 설명을 할 수 있습니다

이 선 위의 어떤 C라도 맞는 말이겠죠

그것을 써보죠

AC는 BC와 같다

이번에는 다른 방법으로 해봅시다

점 A와 B에서 같은 거리에 있는
어떤 점이 있다고 합시다

그 점이 수직이등분선 위에
있다는 것을 증명해볼 것입니다

자 다시, 이렇게 A를 그립니다

여기가 B고
이 점은 C라고 합시다

여기에 C를 그립니다

이 점이 바로

가정했던 점 C입니다

C는 A와 B로부터 같은 거리에 있다고 합시다

즉, CA와 CB의 길이가 같습니다

이것이 출발점이자

미리 주어진 조건입니다

증명하고자 하는 것은

C가 AB의 수직이등분선 위에 있다는 것 입니다

전에 했던 것처럼 삼각형을 그립니다

이 변에서 삼각형의 높이도 그립니다

여기에 선이 생기겠네요

이렇게 그리면,

여기에 높이를 또 그려봅시다

사실은 내리는 게 아니라

위로 올리는 거지만

이걸 돌리면

이런식으로,

그러면 삼각형이 이렇게 보일테고

이 점은 B, 여기는 A, 그리고 여기에 C

실제로 높이를 내려 그리는 것이겠네요

이 선을 그릴 수 있습니다

이렇게 AB와 직각으로 만나고,

이 교점은 M이라고 합시다

C가 수직이등분선 위에 있다는 것을 증명하려면

CM이 수직이등분선의

일부라는 것을 보여주어야합니다

이 선을 그린 방법에서
이 선이 이미 수직이 되도록 그린 것이니까

결국 AB를 이등분한다는 것만 보여주면 되겠네요

자 여기에

두 직각이 있습니다

여기 이 각은
우리가 직각으로 그렸으니까

이미 직각이고,

CM의 길이가

그 자신과 길이가 같고

이 각은 직각입니다

직각삼각형에서 높이가 서로 같고
빗변의 길이가 같으면 합동이므로

RSH합동조건으로
합동임을 알 수 있습니다

이 높이는 공통으로

서로 대응하는 높이에 해당하는 변이고

이 삼각형의 빗변과

대응하는 빗변의 길이가 서로 같으므로

이 두 삼각형은 합동이고

삼각형 ACM과 BCM은 결국 RSH 합동입니다

이 두 삼각형이 서로 합동이면

대응하는 다른 변의 길이가 같으므로

AM과 BM의 크기가 같게 됩니다

서로 대응하는 변이니까요

즉, 여기 이 변은 이 변과 대응하는 변이고

결국에는 AB를 이등분됩니다

그러므로, MC는 수직이등분선 위에 있고

수직이등분선의 일부분이라는 것을 알게 되었습니다

이 증명을 하는 이유는

수직이등분선과 같은 거리에 있는 점들을 가지고

삼각형의 흥미로운 성질들을

살펴볼 수 있기 때문입니다

알게 된 것을 정리해보면

어떤 변의 수직이등분선 위의 있는 임의의 점은

그 변의 양끝점과 같은 거리에 있다는 것입니다

다르게 말하면

변의 양끝점으로부터 같은 거리에 있는 점이 있다면

그 점은 변의 수직이등분선 위에 있다는 것입니다

이 사실을 삼각형에 적용해 봅시다

임의의 삼각형을 그려봅시다

삼각형을 좀 크게 그릴건데요

어떤 삼각형이 있고
이 삼각형에 표시를 하자면

각각 점 A, B, C이고
이 삼각형을 삼각형 ABC라고 합시다

이제 AB의 수직이등분선을 그립니다

이등분하고, 이 거리는 이 거리와

같은거리이므로
수직이등분하는 것입니다

이런 식으로 생겼겠죠

음 이걸 약간 다르게 그려보죠

이런식으로 삼각형을 그리면

다음 동영상에서 다루게 될

특수한 상황에 가까워지게 그려지니까

이 삼각형을 다르게 그려봅시다

자 이렇게 그리면

이게 좀 더 낫겠군요

아까 언급한 특별한 경우는 나중에 살펴보죠

이것이 점A

이 점이 B, C

여기 A와 B의 중점인

이 점을 먼저 찍고

수직이등분선을 그리면

이런식으로 생겼을 것이고

굳이 C를 지나게 그리고 싶지는 않아요

왜냐하면 필요하지 않기 때문이죠

이것은 90도가 됩니다

이 길이는 이 길이와 같습니다

같은 방법으로

AC에서도 똑같이 해보겠습니다

중점을 표시합니다

대충 그려볼게요

여기쯤에 그리고

이 선의 수직이등분선을 그리면

이렇게 생겼습니다

이 길이는 이 길이와 같고

이 두 선이 어떤 점에서 교차한다는 것을
알 수 있습니다

이 점을 점 O라고 부릅시다

이제 점 O의 재미있는 성질을 알 수 있습니다

점 O가 선 AB의
수직이등분선 위에 있으므로

점 O에서 B까지의 길이가

점 O에서 A까지의 길이와 같습니다

그것이 이미 증명했던 것입니다

OA와 OB가 같습니다

신기하게도

이 초록 수직이등분선과

노란 수직이등분선의 교점이고

수직이등분선 AC 위에 있으므로

A와 C에서 같은거리에 있습니다

OA와 OC의 길이가 같습니다

이게 흥미로운 것은
OA와 OB가 같다는 것,

그리고 OA는 OC와도 같고

즉, OC, OB와 서로 같으므로

OC와 OB가 같다는 사실을

이끌어 낼 수 있습니다

어떤 점이

변의 양끝점에서 같은 거리에 있다면

그 점은 그 변의 수직이등분선 위에
있습니다

증명했던 두번째 사실이니까요

이 점은
BC의 수직이등분선 위에 있습니다

만약 여기에 수직이등분선을 그린다면

당연히 여기 BC 위에 있죠

이 동영상에서 확인한 간단한 증명은

이 삼각형의 내부에 유일한 점

즉, 삼각형의 세 꼭짓점 모두에서

같은 거리에 있는 점이 존재하고

이 점은 세 변의 수직이등분선 위에 있다는 것을
증명할 수 있도록 뒷받침해줍니다

다른 방법으로 생각하면

세 변의 수직이등분선들은

세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는

오직 한 점에서 만나는데

이 특별한 점 O를
외심이라고 부릅니다

이 점O는 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있고

이 길이는, 다른 색깔로

표시하자면

여기 이 길이는 이 길이,

이 길이,

이 길이와 모두 같습니다

만약 점 O를 중심으로 하는

원을 그린다면
그 원의 반지름은 이 주황색 선이고

여기 있는 어떤 길이라도
반지름이라고 할 수 있으며

원은 삼각형의 모든 꼭짓점을 지나게 되고

O를 중심으로 하는 원은 모든 꼭지점을 지나므로

그 원은 이렇게 생겼을 것입니다

이렇게 그려지는 원이고

이런 식으로 그릴 수 있고

이 원을 외접원이라고 합니다

그리고 이것은 외접원의 반지름입니다

이것을 그릴 수 있다는 것을 알 수 있습니다

이 점들은 점O를 향하고 있고

원은 이 삼각형의 모든 꼭짓점을 지나므로

그것을 원의 둘레 위에 있다고 할 수 있습니다

표현하기 힘들지만

이 삼각형의 둘레를 지나므로

이 원O는 여기 있습니다

그래서 이 원 O가 삼각형 ABC의 둘레를 지납니다

즉, 삼각형의 세 꼭짓점이 원 위에 있다는 것입니다

이 원은 외심으로부터 외접원의 반지름만큼

같은 거리로 떨어져있죠