სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირი

დავიწყოთ AB მონაკვეთით: ეს არის A წერტილი,

ეს კი B წერტილი.

დავუშვათ შუამართობი;

ეს წრფე, დავარქვათ მას L იქნება ამ მონაკვეთის
პერპენდიკულარული და გაყოფს მას ორად.

მისი და მონაკვეთის გადაკვეთის კუთხე
არის 90 გრადუსი

და ამ გადაკვეთით AB იყოფა ორ ტოლ ნაწილად.

ამ და ამ მონაკვეთების სიგრძე ტოლია.

აი, ამ წერტილს კი, ცენტრში
დავარქვათ M.

ამ ვიდეოში მინდა დავამტკიცო,

რომ ამ ხაზზე ნებისმიერ წერტილს თუ ავიღებთ

(ამ AB–ს შუამართობზე)

ეს წერტილი A–ს ისეთივე მანძილით
იქნება დაშორებული,

ანუ, მანძილი ამ წერტილიდან A–მდე
იქნება იგივე,

რა მანძილითაცაა დაშორებული ეს წერტილი

B წერტილს.

ავირჩიოთ ნებისმიერი წერტილი ამ შუამართობზე

დავარქვათ მას C წერტილი,

ახლა დავხატოთ სამკუთხედი:

შევაერთოთ ხაზებით C და A

და C და B.

თუკი დავამტკიცებთ, რომ CA უდრის CB–ს,

დავამტკიცებთ იმასაც, რისი დამტკიცებაც გვინდოდა:

რომ მანძილი C-დან A–მდე და B–მდე ტოლია.

აქ რამდენიმე საინტერესო რამეს ვხედავთ.

ვიცით, რომ AM უდრის MB–ს

ასევე, ვიცით, რომ CM უდრის საკუთარ თავს;

ცხადია, ნებისმიერი მონაკვეთი ტოლია
საკუთარი თავის;

დამატებით, ვიცით რომ ეს მართი კუთხეა და
ესეც მართი კუთხეა.

ეს წრფე AB მონაკვეთის შუამართობია,

ასე რომ, ორი მართკუთხა სამკუთხედი გვაქვს.

მაგრამ ის, ეს სამკუთხედები რომ მართკუთხაა, არ არის
გადამწყვეტი.

მთავარია, შევხედოთ სამკუთხედებს ასე:
AMC სამკუთხედში

ეს მხარე ტოლია შესაბამისი მხარის

BMC სამკუთხედში,

შემდეგ, ეს კუთხე შეესაბამება ამ კუთხეს

ანუ, კუთხე AMC ტოლია BMC
კუთხის,

ორივე 90 გრადუსიანი კუთხეა,
ტოლი კუთხეებია.

MC გვერდი ორივე სამკუთხედს საერთო აქვს,
ანუ ეს გვერდებიც ტოლია.

საკმკუთხედების ტოლობის პირველი ნიშნის
მიხედვით,

ვასკვნით, რომ სამკუთხედი AMC

ტოლია BMC სამკუთხედისა.

სამკუთხდების ტოლობის პირველი ნიშნის მიხედვით,

თუკი ეს სამკუთხედები ტოლია,

მაშინ ყველა შესაბამისი მხარეც ტოლია;

AC კი BC–ს შესამაბისია, ანუ, ეს ორი მხარეც
ტოლი უნდა იყოს.

ამის სიგრძე უნდა იყოს ამის სიგრძის ტოლი.

ასე დავამტკიცეთ, რაც გვინდოდა, დაგვემტკიცებინა.

ეს პირობითი C წერტილი,
რომელიც AB-ს შუამართობზეა განლაგებული

იგივე მანძილითაა დაშორებული, როგორც A-ს,
ასევე B-ს.

ვიცი, რომ ეს C აქ ან აქ რომ დამეხატა,

მაინც იგივენაირად ვიმსჯელებდით.

ამ წრფეზე ნებისმიერი C–სთვის

AC უდრის BC–ს.

ახლა უკუღმა ვცადოთ:

დავუშვათ, რომ ვიპოვეთ A და B წერტილებს
თანაბრად დაშორებული წერტილი

დავამტკიცოთ, რომ ეს წერტილი მონაკვეთის
შუამართობზე იქნება განლაგებული.

დავიწყოთ თავიდან: ისევ დავხაზავ მონაკვეთს

ეს არის A, ეს არის B

დავსვათ სადმე წერტილი და დავარქვათ მას
ისევ C

დავუშვათ, აი აქ დავსვამ C-ს.

ვიწყებთ იმ დაშვებით, რომ

C თანაბრადაა დაშორებული როგორც A-ს, ასევე
B-ს.

ანუ, CA უდრის CB–ს.

ასეთი იქნება ჩვენი დაშვება,
ამ პირობით ამოვხსნათ.

დამტკიცება კი იმის გვინდა, რომ
C განლაგებულია AB–ს შუამართობზე.

ისევ სამკუთხედი დავხატეთ, როგორც წინა ჯერ

შეგვიძლია დავუშვათ სიმაღლე ამ გვერდზე..
ჩავხაზოთ ასეთი წრფე

ანუ, დავუშვათ სიმაღლე.

ჩვენ უფრო "ავწიეთ" სიმაღლე, ვიდრე
დავუშვით..

მაგრამ
ასე რომ შეგვეტრიალებინა ეს სამკუთხედი

B რომ ყოფილიყო აქ, A აქ და C კიდევ აქ

მაშინ სიმაღლეს ნამდვილად დავუშვებდით,

მოკლედ, შეგიძლიათ ააგოთ წრფე,

ისე, რომ ის მართ კუთხეს შემქნის AB–სთან,

იმ წერთილს კი, რომელშიც წრფე გადაკვეთს AB-ს
ვუწოდოთ M.

იმისთვის, რომ დავამტკიცოთ, რომ C
შუამართობზე განლაგებული,

უნდა ვაჩვენოთ, რომ CM ამ მართობის მხოლოდ
სეგმენტია;

ჩვენ უკვე ავაგეთ ის, როგორც AB–ს პერპენდიკულარი;

ახლა უნდა დავამტკიცოთ, რომ ის AB–ს ორ
ტოლ ნაწილად ჰყოფს.

ვნახოთ, რა გვაქვს ხელთ:

გვაქვს ორი მართი კუთხე, აი ეს კუთხე

და ესეც უნდა იყოს მართი, იმიტომ რომ
ასე ავაგეთ;

ვიცით, რომ CM საკუთარი თავის ტოლი იქნება

და რადგანაც გვაქვს მართი კუთხე, ეს იქნება კათეტი

ეს კი ჰიპოტენუზა; მართკუთხა სამკუთხედების
ტოლობის მესამე ნიშნის მიხედვით

გვაქვს მართკი კუთხე;

გვაქვს ერთი კათეტი, რომელიც
შესაბამისი კათეტის ტოლია მეორე სამკუთხედში

და გვაქვს ჰიპოტენუზა, რომელიც ტოლია მეორე
სამკუთხედით ჰიპოტენუზის.

ეს ყველაფერი კი იმას ნიშნვს, რომ ჩვენი
სამკუთხედები ტოლია.

სამკუთხედი ACM ტოლია BCM სამკუთხედისა,
მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობის მე–3 ნიშნით.

თუ ეს სამკუთხედები ტოლია, მაშინ მათი
შესაბამისი მხარეებიც ტოლია;

ანუ, AM უდრის BM–ს,

იმიტომ რომ ეს ორი მხარე
ერთმანეთის შესაბამისია.

რადგანაც ეს მხარე ტოლია ამ მხარის,

გამოდის, რომ ეს წრფე მართლას ჰყოფს AB–ს
ორ ტოლ ნაწილად.

შესაბამისად, MC მონაკვეთი მართლა არის
შუამართობის ნაწილი.

ამ ყველაფერს იმისთვის ვაკეთებთ,

რომ მერე რამდენიმე საინტერესო რაღაცაში
გამოვიყენოთ ეს შუამართობები,

თანაბრად დაშორებული წერტილები

და ასეთი სამკუთხედები.

ჯერ ახალი არაფერი აგვიხსნია, გავიმეორეთ, რომ

თუ წერტილი შუამართობზე მდებარეობს,

მაშინ იგი თანაბრადაა დაშორებული მონაკვეთის
ბოლოებს;

და თუ წერტილი თანაბრადაა დაშორებული
მონაკვეთის ბოლოებს,

იგი ამ მონაკვეთის შუამართობზეა განლაგებული.

ახლა მივუსადაგოთ ეს იდეები
სამკუთხედს.

დავხატოთ რამე შემთხვევითი სამაკუთხედი,

მინდა საკმაოდ დიდი დავხატო; მოკლედ, ესაა
ჩვენი სამკუთხედი

მოდი, მივაწეროთ, რა არის რა

ესაა A წერტილი, ეს B წერტილი, ეს C;
შეგვიძლია, ამას ABC სამკუთხედი ვუწოდოთ.

დავუშვათ AB მონაკვეთზე შუამართობი,

გავყოთ AB ორ ტოლ ნაწილად

და დავუვათ მართობი..

რაღაც ასეთი უნდა გამოვიდეს...

თავიდან უნდა დავხატო,

იმიტომ რომ ეს სამკუთხედი განსაკუთრებული
შემთხვევაა

და მის განხილვას შემდეგ ვიდეოში ვაპირებ.

ამიტომ, ახლა სხვანაირი დავხაზოთ.

აი, ასე უკეთესია.

რა განსაკუთრებულ შემთხვევას ვგულისხმობდი,
მერე გავიგებთ.

ახლა კი მივაწეროთ: ეს არის A

ეს B, ეს კი C წვერო.

ახლა ავიღოთ ეს წერტილი,

რომელიც A–სა და B–ს შორის
შუაში არის განლაგებული

და დავუშვათ შუამართობი.

დაახლოებით, ასეთი შედეგი უნდა მივიღოთ..

აუცილებელი არ არის, C გადაკვეთოს,

შეიძლება ასე არ მოხდეს,

მთავარია, რომ ეს 90 გრადუსიანი კუთხეებია

და ამის სიგრძე ტოლია ამის სიგრძის.

გავაკეთოთ იგივე AC მონაკვეთისთვის.

ავიღოთ შუაწერტილი და ავაგოთ მასზე
შუამართობი.

ამის სიგრძე უდრის ამის სიგრძეს,

ეს ორი შუამართობი აქ გადაიკვეთა,

მოდი, დავარქვათ ამ წერტილს O

O წერტილს საინტერესო თვისებები აქვს:

ვიცით, რომ O AB–ს შუამართობს მიეკუთვნება,

ანუ მანძილი O–დან B–მდე იგივეა,

რაც O–დან A-მდე.

ეს უკვე დავამტკიცეთ აქ ადრე.

მოკლედ, ვიცით რომ OA უდრის OB–ს.

მაგრამ O ასევე არის ორის შუამართობის
გადაკვეთის წერტილი;

ამ ყვითელი და მწვანე შუამართობების

და რადგანაც ის AC–ს შუამართობზეცაა
განლაგებული,

მანძილები O–დან A-მდე და O-დან C-მდე
იქნება ტოლი.

ანუ, OA უდრის OC–ს,

ახლა ნახეთ: OA უდრის OB–ს

ასევე, OA უდრის OC-ს, შესაბამისად

OC და OB ტოლი უნდა იყოს.

თუკი წერტილი თანაბრადაა დაშორებული

სხვა ორ წერტილს, მონაკვეთის ბოლოებს,

მაშინ ეს წერტილი უნდა მდებარეობდეს
ამ მონაკვეთის შუამართობზე.

ესეც უკვე დავამკიცეთ, აქ.

მოკლედ, O BC–ს შუამართობზეც უნდა მდებარეობდეს.

ვცადოთ, დავხაზოთ შუამართობი..

მართლაც, O წერტილი BC–ს შუამართობზეა.

ნახეთ, რა საინტერესო რამე დავამტკიცეთ:

ამ ვიდეოში ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ

არსებობს ერთი უნიკალური წერტილი, რომელიც
თაბარადაა დაშორებული

სამკუთხედის ყველა წვეროს და განლაგებულია
სამივე გვერდის შუამართობების გადაკვეთაზე.

ან, სხვაგვარად რომ ვთქვთ, ჩვენ ვაჩვენეთ

რომ სამივე გვერდი შუამართობები გადაიკვეთება
ერთ უნიკალურ წერტილში

რომელიც თანაბრადაა დაშორებული სამკუთხედის
ყველა წვეროს.

ამ განსაკუთრებულ წერტილს აღნიშნავეთ O–თი
და ის არის შემოხაზული წრეწირის ცენტრი.

რადგანაც O თანაბრად არის დაშორებული წვეროებს

ეს მანძილი უდრის ამ მანძილსაც და ამ მანძილსაც.

თუ დავხაზავთ წრეს ცენტრით O წერტილში

და მისი რადიური ეს ნარინჟისფერი მანძილი იქნება

ჩვენ გამოგვივა წრეწირი, რომელიც

ჩვენი სამკუთხედის ყველა წვეროს გაივლის.

ანუ, დაახლოებით ასეთი გამოვა:

მეტი უკეთესს ვერ დავხატავ და იყოს ასე.

ახლა რაც ავაგეთ,

ასეთ რაღაცას ჩვენ ვეძახით შემოხაზულ წრეწირს.

ამას კი, აი ამ მანძილს – შემოხაზული
წრეწირის რადიუსს.

რადგანაც
წრეწირის ცენტრი O წერტილშია

და რადგანაც
ეს წრეწირი სამკუთხედის ყველა წვეროს გადის

ასეთ წრეწირს
სამკუთხედზე შემოხაზულს ვუწოდებთ.

გავიმეოროთ: O წრეწირი, შემოხაზული წრეწირი

შემოხაზულია ABC სამკუთხედზე,

რაც უბრალოდ იმას ნიშნავს, რომ სამივე
წვერო განლაგებულია ამ წრეწირზე

და ასევე გვაქვს შემოხაზული წრეწირის რადიუსი