Circumcenter of a Triangle

Multiple proofs showing that a point is on a perpendicular bisector of a segment if and only if it is equidistant from the endpoints. Using this to establish the circumcenter, circumradius, and circumcircle for a triangle

線分ABから始めましょう。あれが点Aで、

こっちが点B、

そして、この線分の垂直二等分線を引きましょう。

つまり、垂直であると同時に、

さっきの線分を二つに分けるということです。
この直線をLとしましょう。

これが垂直二等分線です。

なので、90度の角をなして交わり、

二等分します。

この長さとこの長さは等しく、

さらにこの点を、

midpoint（中点）の略で、Mと呼びましょう。

このビデオでまず示したいのはこういうことです。

もし、この直線上に好きな一点を取れば、

「この直線」とはABの垂直二等分線のことですが、

そのときに、Aからその好きな点までの距離は、

あるいはその点からAまでの距離は、

その点からBまでの距離に等しくなります。

その点からBまでの距離に等しくなります。

その点からBまでの距離に等しくなります。

というわけで、この垂直二等分線に好きな点を一つとります。

その好きな点をCとしましょう。

それで、わかると思いますが、
皆さんも私も三角形を描くのが好きですから

三角形を描きましょう。CとAを線で結び、

次にCとBも線で結びます。

すると、CAとCBが等しいことが示せるので、

示したいことを示せたことになります。

つまり、CはAからの距離とBからの距離が等しい、
ということです。

さて、面白いことがいくつかわかります。

AMとMBが等しいことはわかっていて、

CMはそれ自身に等しいこともわかっています。

当たり前ですが、どんな線分も
それ自身に等しいですからね。

そして、この二つの角が直角なのもわかっています。

この直線はABの垂直二等分線なので、

直角三角形が二つありますね。

三角形AMCを見ると、

この辺は、三角形BMCの対応する辺に等しく、

この辺は、三角形BMCの対応する辺に等しく、

そして、はさまれた角AMCは角BMCに対応し、

そして、はさまれた角AMCは角BMCに対応し、

どちらも90度です。

なのでその２角は等しいですね。

そして辺MCはどちらの三角形にも含まれており、等しいです。

なので二辺夾角相等(SAS)が使えますね。

なので二辺夾角相等(SAS)が使えますね。

したがってこう書けます。

三角形AMCは、三角形BMCに合同である。

二辺夾角相等(SAS)からそう言えるわけです。

そして、それらが合同なら、

対応する辺はすべて等しくなります。

ACはBCに対応していますから、この二つは等しくなければいけません。

この二つの長さは等しい。

というわけで、示したいことが示せました。

ABの垂直二等分線上に好きにとった点Cは

AからもBからも距離が等しいということです。

そして、もしCをこんな所やこんな所にとったとしても

全く同じ議論ができますから、

この直線上にあるどの点Cでも、まあこれで説明としては
十分でしょう。

なので書きましょう。これはつまり、

ACはBCに等しいということです。

では、逆をやってみましょう。

AとBから等距離にある点を見つけたとしましょう。

その点が、垂直二等分線上になければならないことを
証明しましょう。

というわけでもう一度やりましょう。こんな風に書きます。

私はAとBをこの場所にとります。そしてある点をとり、
再びそれをCとします。

では、ここにCをとりましょう。

では、ここにCをとりましょう。

スタートは、「CはAとBから等距離にある」という
仮定です。

スタートは、「CはAとBから等距離にある」という
仮定です。

つまりCAはCBと等しいということです。

これがスタート地点であり、

私たちが設定した仮定です。

そして、証明したいのは、

CがABの垂直二等分線上にあるということです。

さて、ここに三角形を描きましたが、
これはさっきもやりましたね。

そして、どんな時でもこの辺に
垂線を下ろすことができますから、

ここに線を引きましょう。

このように引いたとします。

ここに垂線を下ろしましょう。

この向きだと「下ろす」というより「上げる」
という感じですが、

この向きだと「下ろす」というより「上げる」
という感じですが、

回転させれば

このようになります。

このようになります。

これがB、これがA、これがCでしたね。

これなら本当に垂線を「下ろす」と言えます。

なのでこの線を、ABと垂直になるように
引くことができます。

なのでこの線を、ABと垂直になるように
引くことができます。

その線とABが交わる点をMとしましょう。

すると、Cが垂直二等分線上にあることを示すためには、

CMがその垂直二等分線上の線分であると
示さねばなりません。

CMがその垂直二等分線上の線分であると
示さねばなりません。

そして、CMをどのように作図したかを考えれば、

CMがABを二等分することが示せればよいとわかります。

さて、ここには二つ直角があります。こちらは直角で、

さて、ここには二つ直角があります。こちらは直角で、

作図方法を考えればこちらも明らかに直角です。

さて、CMはそれ自身に等しいということが
わかっています。

さて、CMはそれ自身に等しいということが
わかっています。

さて、CMはそれ自身に等しいということが
わかっています。

さて、CMはそれ自身に等しいということが
わかっています。

そして、これは直角であり、底辺と斜辺があります。