Circumcenter of a Triangle

Multiple proofs showing that a point is on a perpendicular bisector of a segment if and only if it is equidistant from the endpoints. Using this to establish the circumcenter, circumradius, and circumcircle for a triangle

Kezdjük szegmens AB, így ez az A pont,

Ez a B pont jobb felső itt,

és lehetővé teszi, hogy hozzanak létre egy merőleges szögfelező ebben a szegmensben

Így, ez lesz mind merőleges, és split

a két szegmens, így mi tudjuk hívni, hogy a vonal L,

hogy lesz egy merőleges, a ', merőleges szögfelező,

Tehát ez lesz, azt majd metszik egymást, egy 90 fokos szögben

és ez peremét középpontját metszi

Ehhez hossza és ehhez hossza egyenlők,

és mi is beállítani, mondjuk ezt pont jobb itt, mint

hívjuk be felezőpontja M, talán M

Mit akarok bizonyítani ezt a videót, első

az, hogy ha mi csákány egy tetszőleges pont ebben a sorban

Ez a merőleges szögfelező, AB, ki

hogy tetszőleges pont, akkor lesz távoli-ból egy egyenlő

vagy a távolság, hogy mutasson A,

lesz ugyanaz, mint ez a távolság, hogy az a pont,

ugyanaz, mint ez a távolság az a pont,

ugyanaz, mint ez a távolság ettől a ponttól a B

Hadd vegye meg egy tetszőleges pontot a merőleges szögfelező

úgyhogy hívják hívjuk az önkényes C pont,

tehát el lehet képzelni, azt szeretném felhívni egy háromszög, és

Tehát hadd dolgozzon egy háromszög, ahol azt rajzoljon egy vonalat c-A,

és akkor egy másik C, b

és azóta tudjuk bizonyítani, hogy a CA, CB, megegyezik

akkor mi már bizonyított, amit mi szeretnénk bizonyítani,

C, hogy egyenlő távolságra A, mint a ', b

Nos, van egy pár érdekes dolgot látunk itt,

tudjuk, hogy AM megegyezik MB

Most azt is tudjuk, hogy CM megegyezik-e a maga,

Természetesen minden szegmens lesz egyenlő magát,

és tudjuk, hogy ha ez a megfelelő szögben, ez is jobb könyök,

Ebben a sorban egy merőleges szögfelező AB

és így már két jobb háromszög

És ha nem is kell aggódnia, hogy igazuk van

Háromszögek, ha megnézzük az AMC, háromszög

ezt oldalán, kongruens a megfelelő

oldalán a háromszög BMC,

akkor van egy szög között, megfelel-e

felső itt, szög AMC, szög megfelel szög BMC,

és ők mindkettő 90 fokkal

Így ők fedi, és a side MC, akkor

Ez a háromszög, mind azok, azokat is egybevágó

Tehát mi tud csak használ SAS, egymás szögben egyezőségét,

Side szög oldalán egyezőségét

Így tudunk írni a háromszög AMC, AMC a kongruens,

egybevágó háromszög BMC, BMC, háromszög

által egymás szögben egyezőségét, egymás szögben egyezőségét,

és így, ha mindkét, ha ezek egybeesnek,

Majd a megfelelő oldal összes egybevágó,

és AC megfelel BC, így ez a két dolog kell kongruens,

e hosszon azonosnak kell lennie ehhez hossza jobb ott,

és így mi már bizonyított, amit mi szeretnénk bizonyítani

Ez önkényes C pont, amit sits-ra AB, merőleges szögfelező

az egyenlő távolságra, mind A és B,

és lehet már ismert, hogy ha én felhívta az én C át itt, vagy itt,

Amit tett pontosan ugyanezt az érvet,

így bármilyen C, amit sits-ra ezt a sort, így ez elég szép,

Engedjék meg, csak írni, így ez azt jelenti, hogy

AC egyenlő, BC egyenlő

Most menjünk a más út körül,

Tegyük fel, hogy találunk néhány pont, amely ekvidisztáns a és B

Nézzük bizonyítani, hogy üljön a merőleges szögfelező

Így csináljuk ezt újra, így fogom felhívni, mint ez, tehát ez az én-m A,

Ez az én-m B, és hadd dolgozzon ki néhány pont, is hívják C újra,

Azt mondják, hogy C jobb felső itt, és én majd, úgyhogy talán majd rajzoljon egy C

Itt jobbra lent

Tehát ez a C, és mi lesz abból a feltevésből indul

hogy a C egyenlő távolságra A és B,

így CA lesz egyenlő CB,

Ez az, amit mi fogunk kezdeni a,

Ez lesz a feltételezés

és mi azt szeretnénk bizonyítani, hogy C ül az

A merőleges szögfelező, AB merőleges szögfelező

Szóval mi már készült egy háromszög ide, és tettünk ez előtt,

És mindig betérhetünk egy magasságban, ezen az oldalon a háromszög

jobb felső itt így tudjuk állítani egy sor, jobb itt, mint

Ha a mi húz, mint ez, így hívjuk,

Nézzük nézzük csak csepp egy jobb felső itt,

Bár mi igazán te nem csökken,

milyen te emelési magasság ebben az esetben

de ha Ön forgatni, ez körül,

úgy, hogy a háromszög néz ki, mint ez,

úgy, hogy a háromszög néz ki, mint ez,

Szóval ez volt, így ez volt a B, ez az A és C volt itt,

Ön tudna, akkor lenne igazán csökken ezen a magasságon,

és így lehet építeni ezt a vonalat,

Tehát, hogy az AB derékszögben, és hadd hívjam fel

Ez az a pont, ahol azt metszi M

Így is bizonyítani, hogy C rejlik a merőleges szögfelező

Mi igazán kell mutatni, hogy a CM a szegmens

a merőleges szögfelező, és így általunk épített

már merőleges, tényleg csak van, hogy

mutatják, hogy ez peremét középpontját metszi AB

Tehát mi van jobb mint itt,

Mi van a két merőleges, ez itt a derékszög

Ez egy egyértelműen birtokol-hoz lenni, annak is épített

azt, hogy derékszögben, és majd mi tudjuk, hogy

tudjuk, hogy CM lesz egyenlő,

tudjuk, hogy CM lesz egyenlő,

lesz egyenlő magát,

és így tudjuk, hogy, ez egy derékszög, van egy láb

és mi van a átfogója, tudjuk, hogy az RSH posztulátum,

RSH posztulátum, RSH, van egy derékszög

van egy megfelelő lábát, hogy kongruens

a megfelelő lábát,

A háromszög van egy átfogó, hogy kongruens

az átfogó,

Tehát ez azt jelenti, hogy a két háromszög egybevágó,

Tehát háromszög ACM, egybevágó háromszög BCM az RSH posztulátum

Hát ha ők egybevágó, majd a megfelelő oldalai

mennek a kongruens, így ez azt jelenti, hogy vagyok,

hogy megmondja nekünk, hogy vagyok meg kell egyeznie a BM,

ok ők saját megfelelő oldalán,

Tehát jobb, mint itt, ezen az oldalon fog azon az oldalon, hogy kongruens

Szóval ez tényleg van bisecting AB,

Ez a sor MC igazán van tehát a merőleges szögfelező

Ez igazán egy része merőleges szögfelező

és az egész oka, miért csinálunk

Most mi tud csinál néhány érdekes dolgot a merőleges bisectors,

és a pontokat, amelyek egyenlő távolságra pontok,

és csinál őket-val háromszögek

Szóval ez volt egy új, tudod, csak azért, hogy vizsgálja felül,

találtunk, hé ha bármely pontján ül egy merőleges szögfelező

egy szegmens egyenlő távolságra a végpontok egy szegmens,

És elment a másik irányba, ha bármely pont egyenlő távolságra

a a végpontok egy szegmens,

ül a szelvényre merőleges szögfelező

Úgyhogy ilyen ötletek egy háromszög most alkalmazza,

Szóval, hadd hívjam magam egy tetszőleges háromszög

Én kipróbálás-hoz húz ez elég nagy, úgyhogy azt mondják, hogy egy háromszög

valamilyen Hadd adjak magunkat bizonyos címkéket a háromszög

Ez pont, pont B és C pont, mi tudjuk hívni, ez a háromszög ABC

Nos hadd csak építeni szegmens AB, merőleges szögfelező

így megy, hogy bisect, így ez a távolság lesz egyenlő

Ez a távolság, és ez lesz merőleges,

tehát úgy néz ki, valami ilyesmi, és ez lesz,

Ez lesz a mögötte levő falra, Igazából, hadd dolgozzon, ez egy kicsit más,

coz a módja, már készült a háromszög

azt, hogy kap, így a számunkra, hogy közel egy különleges eset

Melyik akarat valójában beszélünk a következő videóinak

Hadd hívjam a háromszög egy kicsit másképp

Hadd dolgozzon, hogy egy kicsit

Minden alkalommal, én, rendben van, és aztán hadd hívjam, hadd

Oké, ez lehet egy kicsit jobb,

és meglátjuk, mi voltam utalva, különleges esetben

hát akkor ez lesz A,

Ez lesz B, ez lesz C

Most engedjék meg, hogy ezen a ponton, jobb itt, mint

Ez a középpontja A és a B és a draw egy tolvaj,

Ezután rajzolja meg a merőleges szögfelező

így a merőleges szögfelező tűnhet

valami ilyesmi, lehet kinézni valami,

és nem akarom, hogy feltétlenül metsző C,

öcsém, hogy nem feltétlenül fog a helyzet,

de ez lesz 90 fokos szögben

és ehhez hossza megegyezik, hogy hosszúságúra

És hadd vegye, enged én csinál ugyanaz a dolog

AC szegmens jobb felső itt,

Engedjék meg, hogy ez a középpont,

Ha csak nagyjából rajzolni, úgy néz ki

Ez jobb, mint ott, és aztán hadd hívjam

az merőleges szögfelező, így nézne ki valamit, mint ez,

valahogy így nézne ki

Tehát ez jobb mint itt, hossza egyenlő, hogy hosszúságúra,

és azt látjuk, hogy azok metszik egymást, egy bizonyos ponton,

hívjuk a pont, csak a móka kedvéért, mondjuk hogy pont O, hívja

és most van néhány érdekes tulajdonságai O pont

tudjuk, hogy mivel O ül AB merőleges szögfelező,

tudjuk, hogy a távoli, a B O távolság

lesz a távolság O a

Ez az, amit bebizonyítottuk a első kevés bizonyíték ide,

így tudjuk, tudjuk, hogy OA, OB, egyenlő

Hát ez elég ügyes, de azt is tudjuk, hogy

mert ez a zöld merőleges szögfelező metszéspontja

és a sárga merőleges szögfelező

azt is tudjuk, mert ül a merőleges szögfelező

AC, ez egyenlő a C, mint

így tudjuk, hogy OA megegyezik OC

Nos ez érdekes, OA OB, egyenlő

és OA is egyenlő, OB, OC és így OC

van, hogy ugyanaz a dolog is, így azt is tudjuk, hogy OC

meg kell egyeznie, OB, egyenlőnek kell lennie

OC meg kell egyeznie OB, Nos, ha egy pont egyenlő, sajnálom,

Ha egy pont egyenlő távolságra két másik pont

hogy ülni mindkét végén egy szegmens,

akkor ez a pont merőleges szögfelező szegmensben, kell ülni

Ez a második bizonyíték arra, hogy mi volt,

Jobb felső itt így azt kell ülni a BC, merőleges szögfelező

Tehát ha én húz a merőleges szögfelező, jobb ott, akkor

Fog kinézni, ez akarat, ez minden bizonnyal abban rejlik, a BC merőleges,

merőleges szögfelező

És mi szép körülbelül ez az egyszerű kis igazolás

hogy az általunk létrehozott ezt a videót,, ha mi már látható,

van egy egyedülálló pont, ez a háromszög, amely ekvidisztáns,

minden a háromszög csúcsai

abban az esetben, és ül a három oldalról, merőleges bisectors

vagy egy másik módja annak, hogy gondol rá, azért jelenítettük

Ez a merőleges bisectors a

három oldalról, egy egyedülálló pont, amely ekvidisztáns metszik egymást

a csúcsokat, és egyedi ponttól, egy háromszög

van egy különleges neve, hívjuk a circumcenter, O circumcenter,

Körül, circumcenter, és mert O ekvidisztáns

a csúcspontok így ez a távolság, hadd ezt a színt

Még nem használt, előtt,

Ez a távolság, jobb felső itt, ez a távolság éppen ide,

ott van, hogy ez a távolság megegyezik

megegyezik ez a távolság oda,

Ha építünk egy kör, amely a központ

O, melynek sugara, és ez a narancssárga távolság,

melynek sugara olyan, hogy ez a távolság felső itt,

lesz egy kört, hogy megy át az összes B csúcsokat

Oh az a középre, o, háromszög csúcsai

Tehát mi kör lenne kinézni,

az én-m legjobb próbálja felhívni, és így a mi általunk épített itt,

az egyik már megmutatták, hogy tudjuk építeni valamit, mint ez,

de mi hív ez a dolog egy circumcircle,

circumcircle, és ez a távolság éppen itt, circumradius,

circumradius, és még egyszer, tudjuk, hogy meg tudjuk építeni

Coz van egy pont itt, és középre, Ó, és ez a kör

Mert megy keresztül a háromszög csúcsai

mind azt mondják, hogy-e a körülíró, a háromszög csúcsai

circumspri, körül, van baj mondás ez behatárolt

arról, hogy a háromszög, így azt mondhatjuk jobb felső itt, hogy a

kör O circumcircle O, így kör O, kör O jobb felső itt,

körülhatárolt, behatárolt, az ABC, háromszög

ami csak azt jelenti, hogy minden három csúcspontok feküdjön a kör,

és hogy a kör van, minden pont a circumradius

Ez a circumcenter a