Circuncentro de un Triangulo

Múltiples demostraciones de que un punto pertenece a una mediatriz de un segmento si y solo si es equidistante a los extremos. Usando esto para establecer el circuncentro, circunradio, y la circunferencia circunscrita de un triangulo.

Comencemos con el segmento AB, así este sería el punto A,

este el punto B, justo por aquí

trazemos la mediatriz de este segmento

Así, los dos serán perpendiculares y va a dividir

al segmento en dos, podemos llamar a esta linea L

aqui va ser perpendicular, es la mediatriz

por lo que se van a intersecar en un angulo de 90° grados

y lo bisecta

Esta longitud y esta longitud son iguales,

e incluso podemos establecer, nombremos a este punto de aqui,

le vamos a llamar M, talvez M de mitad

Lo que quiero probar primero en este video,

es que si consideramos cualquier punto dentro de esta linea,

que es la mediatriz de AB

entonces ese punto cualquiera va a ser de igual distancia de A

o la distancia de ese punto a A

va a ser la misma que la distancia al punto,

la misma que la distancia al punto

igual que esa distancia desde ese punto a B

Dejenme elegir un punto culauqiera de esta mediatriz

llamemosla, llamemosle a ese punto cualquiera punto C

y como pueden imaginar, queremos dibujar un triangulo,

asi que dibujemos un traingulo, donde trazamos una linea desde C hasta A,

y despues otra de C a B,

y dado que podemos probar que CA es igual a CB,

entonces hemos demostrado lo que queriamos,

que C esta a igual distancia de A, como de B

Bueno, hay un par de cosas interesantes que podemos ver aqui,

sabemos que AM es igual a MB

Ahora, tambien sabemos que CM es igual a si mismo,

obviamente cualquier segmento va a ser igual a si mismo

y sabemos que si este angulo es recto, este tambien es recto

esta linea es mediatriz de AB

y asi tenemos dos angulos rectangulos

ni si quiera tienen que preocuparse de que sean triangulos rectangulos

si miramos al triangulos AMC,

tenemos que este lado es congruente al lado

correspondiente al triangulo BMC,

entonces tenemos un angulo en medio que corresponde a este

angulo de aqui,el angulo AMC, corresponde al angulo BMC

y los dos miden 90° grados

Por lo tanto son congruentes, y luego tenemos este lado MC

que esta en los dos triangulos, y aquellos, esos son congruentes

Asi que podemos sencillamente usar LAL, Congruencia por Lado Angulo Lado

Congruencia por Lado, Angulo, Lado.

asi, podemos decir que el triangulo AMC, AMC es congruente,

congruente al triangulo BMC, al triangulo BMC,

por congruencia de Lado Angulo Lado, congruencia de Lado Angulo Lado,

y por lo que si ambos, son congruentes,

entonces todos los lados correspondientes son congruentes,

y AC corresponde a BC, por consiguiente estos dos deben ser congruentes,

esta longitud tiene que ser la misma que la longitud de alla

y asi hemos demostrado lo que queriamos

este punto cualquiera C que pertenece a la mediatriz de AB,

es equidistante de ambos, A y B

y podría saber eso si marcaba mi C por ahí, o por aquí,

hubiese argumentado lo mismo

asi cualquier C que pertenesca a esta linea, eso es suficiente,

asi que permitanme escribirlo, entonces eso significa

AC es igual a, igual a BC

Ahora vamos al revés,

digamos que encontramos cierto punto que es equidistante de A y B

Probemos que tiene que pertencer a la mediatriz

Asi que, volvamos a hacerlo, voy a dibujar algo asi, entonces este es mi A

este es mi B, y dibujemos fuera cierto punto, lo llamaremos C de nuevo

Digamos que C justo aqui, y voy a, quizas dibuje una C

justo aqui abajo

así que esta es ''C'' y vamos a partir del supuesto

que C es equidistante de A y B

entonces CA será igual a CB,

esto es por donde vamos a empezar

esta va a ser nuestra "hipotesis"

y lo que queremos demostrar es, es que C pertenece

a la mediatriz, la mediatriz de AB

Entonces, dibujamos un triangulo aqui, ya hicimos esto antes

y siempre podemos dejar caer una altura, desde este lado del triangulo

justo por aqui, podemos trazar una linea, por aqui

si lo dibujamos asi, digamos que

vamos, vamos solo a dejar caer una altura justo aqui,

a pesar de que en realidad no lo estamos dejando caer

estamos como levantando una altura en este caso,

pero, si rotaramos esto

de manera que el triangulo se vea asi

de manera que el triangulo se vea asi,

si asi fuera, si este fuera B, este es A y que C estubiera aqui arriba

podrian, podrian en realidad estar dejando caer esta altura,

y asi se puede construir esta linea,

por lo que, se tiene que, esta en angulo recto con AB, y dejenme llamar

a esto, el punto en donde interseca M

Asi para probar que C pertence a la mediatriz,

tenemos que demostrar que CM es un segmento

en la mediatriz, y de la forma que lo construimos,

ya es perpendicular, realmente solo tenemos que

demostar que bisecta a AB

Asi que lo que tenemos justo aqui,

tenemos dos angulos rectos, este es el angulo recto,

este otro claramente tiene que serlo, por la forma en que lo construimos

esta, esta en un angulo recto, y luego sabemos que,

sabemos que CM va a ser igual a,

sabemos que CM va a ser igual a,

va a ser igual a sí mismo,

y por lo que sabemos, este es un angulo recto, tenemos una base

y tenemos una hipotenusa, sabemos por el postulado LLA

postulado LLA, LLA, tenemos un angulo recto,

tenemos un cateto correspondiente que es congruente

al otro cateto correspondiente

en el otro triangulo, tenemos una hipostenusa que es congruente

a la otra hipotenusa,

eso significa que nuestros dos triangulos son congruentes,

Entonces el triangulo ACM es congruente al triangulo BCM por el postulado LLA,

pues si son congruentes, entonces sus lados correspondientes

van a ser correspondientes, eso significa que AM,

eso nos dice que AM debe ser igual a BM,

porque son lados correspondientes,

asi este lado por aqui, va a ser congruente a ese lado,

por lo tanto esto esta bisectando AB

por lo que esta linea MC realmente pertenece a la mediatriz,

es parte de la mediatriz

y la única razón por lo que estamos haciendo esto,

es que ahora podemos hacer algunas cosas interesantes con mediatrices

y puntos que son equidistantes de otros,

y hacerlo con triangulos

así que esto fue nuevo, ya sabes, solo para revisar

descubrimos, hey, si cualquier punto pertenece a la mediatriz

de un segmento, es equidistante de sus extremos,

y nos fuimos al revez, si cualqueir punto es quidistante

de los extremos de un segmento,

pertenece a la mediatriz de ese segmento

Así que ahora vamos a aplicar esas ideas a un triángulo,

Asi que dejenme dibujar un triangulo cualquiera,

Intento dibujarlo bastante grande, así que digamos que es un triángulo

de algún tipo, dejenme darle algunas etiquetas a este triángulo,

Este es el punto A, punto B, y punto C, podemos llamarlo triangulo ABC

Ahora, solo permítanme construir la mediatriz del segmento AB,

por lo que va a bisectarlo, asi la distancia va a ser igual a

esta distancia, y va a ser perpendicular,

por lo que se ve algo así, y será,

será perpendicular, en realidad, dejenme dibujar esto un poco diferente,

porque la manera en la que dibuje este triangulo

es, se acerca mucho a un caso especial

del que vamos a hablar en el siguiente video

dejenme dibujar este triangulo un poco diferente,

dejenme dibujarlo un poco más

cada que vez que, ok , y luego...

Bien este esta un poco mejor

y veremos a que caso especial me referia,

asi que vamos, este va a ser A

este va a ser B, este va a ser C

ahora tomamos este punto, justo aqui,

que es el punto medio entre A y B, y trazamos una perp,

luego trazamos la mediatriz,

así la mediatriz se veria

algo como, algo como esto

y no quiero que sea necesariamente la intersección de C

porque no necesariamente va a ser el caso,

pero este va a ser un angulo de 90° grados

y esta longitud es igual a esa longitud

y dejenme hacer lo mismo

al segmento AC justo aqui,

dejenme tomar su punto medio, que

si aproximadamente dibujamos, se ve

como si fuera justo por ahi, y despues dejenme dibujar

su mediatriz, por lo que se veria algo asi.

se veria algo parecido a esto

asi que esta longitud de aqui, es igual a esa longitud,

y podemos ver que se intersecan en algún punto

llamemos a ese punto, solo por diversion, punto O,

y ahora hay algunas propiedades interesantes del punto O,

sabemos que desde que O pertenece a la mediatriz de AB,

sabemos que la distancia, la distancia de O a B

va a ser la distacia de O a A

eso fue lo que demostramos en esta pequeña prueba de aquí,

por lo que sabemos, sabemos que OA, va a ser igual a OB

eso es genial, pero tambien sabemos que,

porque es la intersección de esta mediatriz verde,

y esta mediatriz amarilla,

también sabemos que pertenece a la mediatriz de

de AC, que es equidistante de A como de C,

asi que sabemos que OA es igual a OC

ahora, esto es interesante, OA es igual a OB

y OA es tambien igual a OC, entonces OC y OB

tienen que ser la misma cosa, tambien sabemos que OC

tiene que ser igual, igual a OB,

OC tiene que ser igual a OB, bien si un punto es, perdon,

si un punto es equidistante a otros dos

que pertenezcan a los extremos de un segmento

entonces ese punto tiene que pertenecer a la mediatriz de ese segmento

esa es la segunda demostración que hicimos,

justo aqui, por lo que debe pertenecer a la mediatriz de BC

asi que si dibujamos la mediatriz, justo ahi, entonces

se vera, sera, esto si duda pertenece a la perpendicular de BC

la mediatriz

y lo que es genial acerca de esta simple prueba

que hemos hecho en este video, es que si demostramos

que hay un punto único, en este triangulo, que es equidistante,

de todos los vertices del triangulo

y pertenece a las mediatrices de los tres lados,

o pensando de otra forma, demostramos

que las mediatrices de

los tres lados, intersecan un punto unico, que es equidistante

a los vertices, y este unico punto, un triangulo

tiene un nombre especial, llamamos a O un circuncentro

Circun, circuncentro, y porque O es equidistante

a los vertices, entonces esta distancia, dejenme hacerlo con un color

que no haya utilizado antes,

esta distancia de aquí, esta distancia de aquí

es igual a esa distancia de allá,

es igual a esa distancia de ahí,

si contruimos un circulo que tiene un centro

en O, y cuyo radio, es esta distancia naranja,

cuyo radio es cualquiera de estas distancias de aquí,

tendremos un circulo que pasa por todos los vértices de B,

oh así que todos los vértices de nuestro triangulo con centro en O,

asi que nuetro circulo se veria algo asi,

mi mejor intento de dibujarlo, y así lo que hemos construido aquí,

es una muestra de que podemos construir algo así,

pero llamamos a esto una circunferencia circunscrita

circunscrita, y a esta distancia de aquí, circunradio,

circumradio, y una vez más, sabemos que podemos contruirlo,

porque hay un punto aqui, y tiene centro en O, y este circulo

porque pasa por los vértices de nuestro triangulo

todos los vértices de nuestro triangulo, decimos que esta circunscrito,

cirucun..., me cuesta pronunciarlo, circunscrito

sobre el triangulo, de modo que podemos decir aquí, que la

circunferencia O, la circunferencia circunscrita O, circunferencia O, de aquí,

esta circunscrita, circunscrita, sobre, sobre el triangulo ABC

lo que significa que, los tres vértices pertenecen a la circunferencia

y que la circunferencia tiene, cada punto, estan al circunradio de distancia

del circuncentro