Centrum i en trekants omskrevne cirkel

Videoen går gennem flere beviser for, at et punkt ligger på den vinkelrette halveringslinje til et linjestykke, hvis og kun hvis det ligger lige langt væk fra endepunkterne. Disse beviser bruges til at finde og fortælle noget om den omskrevne cirkel til en trekant og dennes centrum og radius.

Lad os starte med linjestykke AB.

Det her er punkt A, og det her er punkt B.

Lad os tegne en vinkelret halveringslinje til det linjestykke.

Den er både vinkelret, og den halverer linjestykket.

Vi kalder linjen for L.

Den er en vinkelret halveringslinje.

Det skærer linjestykket i en vinkel på 90 grader,

og den halverer den.

De her længder er ens.

.

Lad os kalde det her punkt M for midtpunkt.

I den her video skal vi bevise,

at hvis vi vælger et tilfældigt punkt

på den her vinkelrette halveringslinje til AB,

vil det være lige langt væk

fra punkt A og punkt B.

Fra ethvert sted på halveringslinje

er der lige langt til hver ende

på den linje, som den halverer.

Lad os nu vælge et tilfældigt punkt på den vinkelrette halveringslinje.

Lad os kalde det tilfældige punkt for C.

Vi kan godt lide trekanter, så lad os tegne sådan en.

Vi tegner en linje fra C til A

og fra C til B.

Hvis vi kan bevise, at CA er lig med CB,

har vi gjort vores arbejde.

Så har vi vist, at C er lige langt fra A og B.

Vi kan nu se et par interessante ting.

Vi ved, at AM er lig med MB.

Vi ved også, at CM selvfølgelig er lig med sig selv.

Ethvert linjestykke er selvfølgelig lig med sig selv.

Det her er også en ret vinkel.

Den her linje er en vinkelret halveringslinje til AB.

Vi har nu altså 2 retvinklede trekanter.

Vi kan faktisk være ligeglade med, om de er retvinklede.

Hvis vi kigger på trekant AMC her,

ved vi, at den her side er kongruent

med den ensliggende side i trekant BMC.

Vinklen imellem dem er ensliggende med den her vinkel herovre.

Vinkel AMC er altså lig med vinkel BMC.

De er begge 90 grader.

De er kongruente.

Siden MC er en del af begge trekanter. De er selvfølgelig kongruente.

Vi kan nu bruge side-vinkel-sidekongruens.

.

Vi kan skrive,

at trekant AMC er kongruent med trekant BMC.

Det ved vi på grund af side-vinkel-sidekongruens.

Hvis trekanterne er kongruente,

er alle de ensliggende sider kongruente.

AC svarer til BC, så de er kongruente.

De her 2 længder er lig med hinanden.

Vi har nu bevist, hvad vi ville bevise.

Det tilfældige punkt C, der er på den vinkelrette halveringslinje til AB,

er lige langt væk fra punkterne A og B.

Vi ved, at hvis vi tegnede C her eller her,

kunne vi bruge præcis samme argument.

Ethvert C på linjen er lige langt væk.

Lad os skrive det ned.

AC er lig med BC.

Lad os nu gøre det omvendte.

Vi skal finde et punkt, der er lige langt væk fra A og B.

Vi skal bevise, at det punkt nødvendigvis må være på den vinkelrette halveringslinje.

Det her er A, og det her er B.

Vi tegner nu punktet C.

Vi tegner et C her,

og vi tegner et C her.

Det her er C. Vi starter med at gå ud fra,

at C er lige langt væk fra A og B.

CA er altså lig med CB.

Det, går vi ud fra, er rigtigt.

Det er vores udgangspunkt.

Vi skal bevise,

at C er på den vinkelrette halveringslinje til linjestykket AB.

Her har vi tegnet en trekant. Det har vi gjort før.

Vi kan altid tegne en trekanthøjde fra den her side

og hertil.

.

Lad os tegne højden her.

.

I det her tilfælde tegner vi højden opad.

,

Trekanten

ser sådan her ud.

Det her er B, det her er A, og det her er C.

Nu kan vi bedre se, at der er tale om en højde.

Vi kan tegne den her linje.

Det er på en ret vinkel fra AB.

Lad os kalde skæringspunktet for M.

Lad os bevise, at C er på den vinkelrette halveringslinje.

Vi skal vise, at CM er et linjestykke

på den vinkelrette halveringslinje.

Det er allerede en vinkelret linje.

Vi mangler nu at vise, at den halverer AB.

Herovre har vi 2 vinkler,

og det her er den rette vinkel.

Måden, vi har tegnet den på, gør, at det må være en ret vinkel.

I så fald ved vi,

at CM er lig med

sig selv.

Det ved vi altid.

Her er en ret vinkel,

og så er det her et trekantben og hypotenusen.

Vi kender RSH-antagelsen.

Vi har et ensliggende ben,

der er kongruent med det andet ensliggende ben.

I den her trekant er hypotenusen

kongruent med den anden hypotenuse.

Det betyder, at de 2 trekanter er kongruente.

Trekant ACM er kongruent med trekant BCM ud fra RSH-antagelsen.

Hvis trekanterne er kongruente,

er de ensliggende sider kongruente,

og så er AM lig med BM.

Det er nemlig ensliggende sider.

Den her side er altså kongruent med den her side.

Den halverer altså A.

MC befinder sig på den vinkelrette halveringslinje.

MC er en del af den vinkelrette halveringslinje.

Alt det, vi har gjort indtil videre,

kan vi bruge til at lave nogle interessante ting med vinkelrette halveringslinjer.

Vi kan også bruge noget med punkter, der ligger lige langt væk fra andre punkter,

når vi arbejder med trekanter.

Lad os lige opsummere, hvad vi har fundet ud af.

Vi ved nu, at ethvert punkt på en vinkelret halveringslinje

til et linjestykker ligger lige langt fra endepunkterne på det linjestykke.

Vi har også bevist det den anden vej rundt.

Hvis et punkt ligger lige langt væk fra et linjestykke,

befinder det sig på den vinkelrette halveringslinje til det linjestykke.

Lad os nu bruge den viden i en trekant.

Vi tegner nu en tilfældigt trekant.

Vi tegner den ret stor.

Det her er en eller anden slags trekant.

Her er punkt A, B og C, så lad os kalde den trekant ABC.

Lad os nu tegne en vinkelret halveringslinje til linjestykke AB.

Linjen halverer altså AB. Den her afstand er lig med den her afstand.

Den står vinkelret på AB.

Den ser nogenlunde sådan her ud.

Lad os lige tegne den lidt anderledes,

så trekanten bliver helt tilfældig.

Lige nu er vi nemlig ved at ramle ind i et specielt tilfælde.

Det specielle tilfælde taler vi om i næste video.

Vi tegner lige en anden trekant.

Den skal bare være lidt anderledes.

Så er vi ved at være der.

Det kan være svært at tegne flotte trekanter.

.

Det her er A,

det her er B, og det her er C.

Lad os nu starte i

det her midtpunkt på AB

og tegne en vinkelret halveringslinje.

Den ser nogenlunde sådan her ud.

.

Den skal ikke nødvendigvis gå gennem C.

Det er ikke nødvendigt i det her tilfælde.

Det her bliver en ret vinkel.

De her længder er lig hinanden.

Vi gør det samme

for linjestykke AC herore.

Vi finder midtpunktet.

.

Det ser ud til at være cirka her.

Nu tegner vi den vinkelrette halveringslinje.

Den ser nogenlunde sådan her ud.

De her længder er lig med hinanden.

Vi kan se, at de krydser i et punkt.

Lad os kalde det punkt for O.

Punkt O har nogle interessante egenskaber.

Eftersom O er på AB's vinkelrette halveringslinje,

ved vi, at afstanden mellem O og B

er lig med afstanden mellem O og A.

Det beviste vi jo i det første bevis her.

Vi ved altså, at OA er lig med OB.

Det er fint nok.

Vi ved også, at eftersom det er i skæringspunktet mellem den grønne, vinkelrette halveringslinje

og den gule, vinkelrette halveringslinje,

er den altså også på den vinkelrette halveringslinje til AC.

Den er altså lige langt fra A og C.

Derfor er OA lig med OC.

Det er interessant. OA er lig med OB,

og OA er lig med OC, så OC og OB er også lig med hinanden.

.

OC er lig med OB.

.

Hvis er punkt er lige langt fra 2 andre punkter,

der er i hver deres ende af et linjestykke,

må det punkt være på den vinkelrette halveringslinje til det linjestykke.

Det beviste vi i vores andet bevis i den her video.

Derfor må punktet være på den vinkelrette halveringslinje til BC.

.

Det her er helt sikkert på BC'

vinkelrette halveringslinje.

Ved det her lille simple bevis

har vi nu også vist,

at der er 1 unikt punkt i den her trekant,

der ligger lige langt væk fra alle trekantens vinkelspidser.

Det punkt befinder sig på den vinkelrette halveringslinje til alle 3 sider.

Vi har også vist,

at de vinkelrette halveringslinjer til alle 3 sider

krydser hinanden i 1 unikt punkt,

der ligger lige langt væk fra alle vinkelspidserne.

Det punkt har et navn.

O er centrum i den omskrevne cirkel.

O er lige langt fra alle vinkelspidserne.

.

Den her længde er

lig med den her længde,

som er lig med den her længde.

Vi kan tegne en cirkel,

der har centrum i O, hvor radius er den orange længde.

Radius er faktisk enhver af de her længder.

Den cirkel går gennem alle trekantens vinkelspidser.

Centrum i den omskrevne cirkel er i O.

Cirklen ser nogenlunde sådan her ud.

Vi har altså nu vist,

at vi kan tegne sådan en omskreven cirkel her.

.

Den her afstand kaldes radius i den omskrevne cirkel.

Vi kan tegne den,

når vi kender det her punkt O.

Cirklen med centrum i punkt O går gennem alle trekantens vinkelspidser.

Cirklen er omskreven.

Den er tegnet rundt om trekanten.

.

Vi kan kalde cirklen for cirkel O.

Den er omskreven om trekant ABC.

Alle 3 vinkelspidser er på cirklen.

Ethvert punkt på cirklen er

radius i den omskrevne cirkel væk fra centrum O.