Střed kružnice opsané trojúhelníku

Několik důkazů, které ukazují, že bod leží na kolmé sečně úsečky v případě, že je stejně vzdálený od jejích koncových bodů. Toto pravidlo je pak použito k určení středu a poloměru kružnice opsané trojúhelníku.

Začněme s úsečkou AB.
Takže tohle je bod A, tohle je bod B.

Sestrojme kolmici,
jež tuto úsečku přepůlí.

Bude kolmá a přepůlí úsečku
napůl, budeme jí říkat l.

Bude to kolmice, osa strany, takže bude
úsečku půlit a pod pravým úhlem.

Tato délka a tato délka jsou stejné.

Pojďme tomuto bodu říkat M,
M pro střed úsečky.

Nejprve chci v tomto videu dokázat, že
když zvolíme libovolný bod na této přímce,

na ose úsečky AB, tak ten libovolný
bod bude ve stejné vzdálenosti od A…

nebo vzdálenost toho bodu od bodu A bude
stejná jako vzdálenost toho bodu od B.

Takže vyberu libovolný bod na ose
a budeme mu říkat třeba C.

A můžete si představit,
že když nakreslíme trojúhelník,

-- Nakreslíme čáru od bodu C k bodu A,
a pak další od bodu C do bodu B. --

tak můžeme dokázat,
že strany CA a CB jsou stejné.

Teď jsme dokázali,
co jsme dokázat chtěli,

že C je ve stejné vzdálenosti
od bodu A jako od bodu B,

tak tu můžeme vidět několik zajímavostí.
Víme, že AM se rovná MB.

Nyní také víme, že CM se rovná sama sobě,
zjevně jakákoli úsečka se rovná sama sobě,

a víme, že jestli je tohle pravý úhel,
tak tohle je také pravý úhel.

Tahle přímka je osa úsečky AB,
a tak máme dva pravoúhlé trojúhelníky.

Nemusíte se bát, jestli
jsou trojúhelníky pravoúhlé,

protože když se podíváte
na trojúhelník AMC, tak vidíte,

že tato strana je shodná s
odpovídající stranou trojúhelníku BMC.

Mezi těmito stranami pak máte úhel,
který odpovídá tomuto úhlu.

Úhel AMC odpovídá úhlu BMC a oba mají 90°.

Takže jsou shodné. A pak máte stranu MC,
která je společná pro oba trojúhelníky,

a ty jsou tudíž shodné.

Takže můžeme použít větu
SUS o shodnosti trojúhelníku.

Shodnost strana-úhel-strana.

Tak můžeme napsat, že trojúhelník AMC je
shodný s trojúhelníkem BMC podle věty SUS.

A jestli jsou shodné, tak všechny
odpovídající strany jsou shodné.

AC odpovídá BC, takže musí být shodné.

Délka této strany musí
být stejná jako délka této strany.

A tak jsme dokázali,
co jsme dokázat chtěli.

Tento libovolný bod,
který leží na ose úsečky AB,

je stejně vzdálený od bodu A i B.

A vím, že kdybych
nakreslil bod C sem, nebo sem,

tak bych udělal úplně stejný argument.

Takže jakýkoli bod C,
jenž leží na této přímce…

Jenom to přepíšu. Takže to
znamená, že AC se rovná BC.

Teď na to pojďme obráceně.

Řekněme, že najdeme bod, který je
ve stejné vzdálenosti od bodu A i B

a dokažme, že musí ležet na ose úsečky AB.

Takže to uděláme znovu.
Nakreslím to takhle.

Tohle je můj bod A, tohle je můj bod B

a nakreslíme nějaký bod,
budeme mu říkat třeba zase C.

Řekněme, že C je přímo tady,
a možná nakreslím C sem dolů.

Takže tohle je C a začneme od předpokladu,

že C je stejně vzdálené
od bodu A jako od bodu B,

takže úsečka CA se bude rovnat úsečce CB.

S tím začneme, to bude náš předpoklad.

A chceme dokázat,
že C leží na ose úsečky AB.

Takže jsme si tady nakreslili
trojúhelník. Už jsme to jednou dělali.

Vždy můžeme spustit výšku
z této strany trojúhelníku sem,

takže můžeme sestrojit přímku tady,
a když ji nakreslíme takhle…

Budeme jí říkat…

Prostě tady spustíme výšku,
i když ji vlastně nespouštíme.

V tomto případě ji spíš zvedáme.

Ale kdybyste tohle otočili,
aby ten trojúhelník vypadal takto,

aby tohle byl bod B,
tohle A a tady nahoře C,

tak byste opravdu spouštěli výšku.

Tak můžete sestrojit přímku, která
protíná úsečku AB pod pravým úhlem,

a tomuto průsečíku budeme říkat M.

Abychom dokázali, že C leží na ose,

tak musíme ukázat,
že CM je úsečkou ležící na ose.

Podle toho, jak jsme to sestrojili,
je tahle přímka kolmá.

Teď jen musíme dokázat,
že půlí úsečku AB.

Takže tady máme dva pravé úhly.

Tady je pravý úhel a
tenhle evidentně musí být také.

Zkonstruovali jsme to tak,
že je ten úhel pravý, a víme,

že CM se bude rovnat samo sobě,
a z věty o…

Tady máme pravý úhel,
máme odvěsnu a máme přeponu.

Podle věty o shodnosti pravoúhlých
trojúhelníků (pravý úhel-strana-přepona)…

Máme jednu odpovídající odvěsnu, která
je shodná s druhou odpovídající odvěsnou.

U druhého trojúhelníku máme přeponu,
která je shodná s druhou přeponou,

což znamená, že jsou tyto
trojúhelníky shodné.

Tak trojúhelník ACM je shodný s BCM podle
věty o shodnosti pravoúhlých trojúhelníků.

Jestli jsou shodné, tak jejich
odpovídající si strany budou také shodné,

což znamená, že AM se rovná BM,
protože jsou to odpovídající si strany.

Tahle strana bude shodná s touto stranou,
takže tahle přímka opravdu půlí úsečku AB.

Takže úsečka MC je
opravdu částí osy strany

a důvod, proč jsme to dělali, je ten,

abychom si mohli ukázat nějaké
zajímavosti o osách stran a bodech,

jež jsou stejně vzdálené od jiných bodů,
a ukážeme si je na trojúhelnících.

Tak tohle bylo jen tak
na zopakování a zjistili jsme,

že když jakýkoli bod leží na ose úsečky,

tak je stejně vzdálený od
obou krajních bodů oné úsečky.

Šli jsme i obráceně.

Když je bod stejně vzdálený
od obou koncových bodů úsečky,

tak leží na ose dané úsečky.

Teď pojďme tato zjištění
vyzkoušet na trojúhelnících.

Nakreslím si libovolný trojúhelník.
Snažím se ho nakreslit dost velký.

Řekněme, že je to tedy nějaký trojúhelník.

Označím ho. Tohle je bod A, bod B, bod C,
takže tomu můžeme říkat trojúhelník ABC.

Teď sestrojím osu úsečky AB.

Bude půlit, tzn., že tato vzdálenost bude
stejná jako tato vzdálenost, a bude kolmá.

Vypadá to asi takto.

Vlastně to nakreslím trochu
jinak, protože způsob,

jakým jsem nakreslil tenhle trojúhelník,
nás skoro dostává ke speciálnímu případu,

o kterém si budeme mluvit v příštím videu.
Překreslím ten trojúhelník trochu jinak.

Dobře, tenhle by mohl být trochu lepší.

Uvidíme, co je ten zvláštní
případ, o kterém jsem mluvil.

Tohle bude A, tohle bude B a tohle bude C.

Teď tady nakreslím bod, což bude
střed úsečky AB, a pak nakreslím osu.

Takže ta osa by mohla vypadat nějak takto.
Nechci, aby ta přímka protínala bod C,

protože to tak nemusí nutně vždy být,
ale tohle bude úhel 90°

a délka této strana se bude
rovnat délce této strany.

A to samé udělám i s úsečkou AC.

Vezmu si její střed, což když
to nakreslím, bude zhruba tady,

a pak nakreslím osu,
která bude vypadat asi takhle.

Takže délka téhle strany je
stejná jako délka téhle strany.

A vidíme, že se v nějakém bodě protínají.

Pojďme tomu bodu říkat bod O
a bod O má nějaké zajímavé vlastnosti.

Vzhledem k tomu,
že bod O leží na ose úsečky AB,

tak víme, že vzdálenost bodu O od bodu B
bude stejná jako vzdálenost bodu O od A.

To jsme si dokázali v tomto důkazu.

Víme, že OA se bude rovnat OB,
to je docela dobrý, a také víme…

-- Protože je to průsečík
této modré osy a této žluté osy. --

Víme, protože bod O leží i
na ose úsečky AC,

že je to také stejně vzdálené od bodu
A jako od bodu C, takže OA je OC.

To je zajímavé. OA se rovná OB
a OA se také rovná OC,

takže OC a OB se taky musí rovnat.
Takže víme, že OC se musí rovnat OB.

OC se musí rovnat OB.

Když je bod stejně vzdálený od dvou bodů,
které jsou koncovými body úsečky,

tak ten bod musí ležet na ose oné úsečky.

To jsme dokázali v druhém důkazu přímo
tady. Takže musí ležet na ose strany BC.

Když tady nakreslím osu, tak bod O
bude rozhodně ležet i na ose úsečky BC.

A na tomto důkazu, jenž jsme
v tomto videu rozebrali, je bezva,

že jsme si ukázali tento
jedinečný bod trojúhelníku.

který je stejně vzdálený
od všech vrcholů trojúhelníku

a leží na osách všech tří stran.

Můžeme se na to kouknout takto:

ukázali jsme si, že se osy všech tří stran
protínají v jednom jedinečném bodě,

který je stejně vzdálený od všech vrcholů,

a tento bod trojúhelníku má
speciální jméno, říkáme mu střed kružnice.

Střed kružnice. A protože bod O
je stejně vzdálený od všech vrcholů,

tak ta vzdálenost…

-- Nakreslím to barvou,
jakou jsem nepoužil. --

Tahle vzdálenost je
stejná jako tahle vzdálenost

a ta je stejná jako tahle vzdálenost.

Když sestrojíme kružnici,
která má střed v bodě O,

jejíž poloměr je tato oranžová vzdálenost,
poloměr je jakákoli z těchto vzdáleností,

tak ta kružnice prochází všemi vrcholy.

Všechny vrcholy našeho
trojúhelníku se vystředí v bodě O.

Naše kružnice bude vypadat nějak takhle,
můj nejlepší pokus ji nakreslit.

Právě jsme sestrojili

-- A ukázali jsme si,
že to můžeme sestrojit. --

něco, čemu říkáme kružnice opsaná.

Kružnice opsaná. Tato vzdálenost
je poloměr kružnice opsané.

A znovu: víme, že to můžeme sestrojit,
jelikož je tady bod,

který je středem této kružnice a je to O.

Kružnice prochází všemi vrcholy našeho
trojúhelníku, tak jí říkáme, že je opsaná,

Opsaná okolo trojúhelníku.
Mám trochu problém to vyslovit.

Takže můžeme říct, že tahle kružnice
O je opsaná trojúhelníku ABC,

což znamená, že na té
kružnici leží všechny vrcholy,

každý bod kružnice je vzdálen od středu
opsané kružnice o poloměr téže kružnice.