Circumcenter of a Triangle

Multiple proofs showing that a point is on a perpendicular bisector of a segment if and only if it is equidistant from the endpoints. Using this to establish the circumcenter, circumradius, and circumcircle for a triangle

Нека започнем с отсечката АВ. Това е точка А,

това там е точка В,

и сега да сложим симетрала на тази отсечка

Та, симетралата е както перпендикулярна така и разделя

отсечката на две равни части. Нека наречем тази права L

която е перпендикулярна и е симетрала,

така че в пресечната точка се получава 90 градусов ъгъл

и я пресича.

Тази и тази дължини са еднакви.

Дори можем да кажем, че ето тази точка тук,

да я наречем М, е средната точка.

Това, което искам да докажа в този урок е,

че ако вземем една произволна точка на тази права,

която е симетрала на АВ,

то тогава тази произволна точка ще е на еднакво разстояние от А

или, разстоянието между тази точка и А

ще бъде същото като разстоянието до точката,

същото като разстоянието до точката,

същото като разстоянието от точката до В.

Та нека си изберем произволна точка от симетралата

и нека наречем тази произволна точка С,

и за да си го представим добре, ще начертаем триъгълник.

Та чертаем си триъгълник, където имаме права от А до С

и друга от С до В,

и тъй като можем да докажем, че СА е равно на СВ,

то тогава доказваме каквото искаме да докажем,

че С е на еднакво разстояние от А и от В.

Така, има някои интересни неща, които виждаме тук.

Знаем, че АМ е равна на МВ.

Знаем също, че СМ е равна себе си.

Очевидно, всяка отсечка е равна на себе си

и знаем, че ако това е прав ъгъл, това също е прав ъгъл.

Тази права е симетрала на АВ,

тъй че имаме два прави триъгълника.

Всъщност, дори не трябва да се притесняваме дали това са правоъгълни

триъгълници. Ако разгледаме триъгълник АМС,

имаме тази страна, която е еднаква със съответната

страна на триъгълник ВМС.

После имаме ъгъла между тези две прави, който е еднакъв с

този ъгъл, ъгъл АМС е еднакъв с ъгъл ВМС,

и двата ъгъла са по 90 градуса.

Значи те са еднакви. Имаме и страната МС,

която е обща за двата триъгълника и също е еднаква за тях.

Така че можем да използваме признака за еднаквост на триъгълници с две съответни страни и ъгъл между тях.

Две страни и ъгъл между тях.

Така че можем да напишем, че триъгълник АМС, АМС е еднакъв

с триъгълник ВМС

по признака за еднаквост с две страни и ъгъл между тях.

Ако триъгълниците са еднакви,

то всичките им съответни страни са еднакви.

АС е съответна на ВС, така че тези двете трябва да са еднакви.

Тази дължина трябва да е същата като тази дължина тук.

И така, доказахме, каквото искахме да докажем.

Произволната точка С, която лежи на симетралата на АВ,

е еднакво отдалечена от А и В.

Можех да разбера това, ако бях нарисувал С тук или тук,

щях да разсъждавам по същия начин,

за всяка точка С, която лежи на тази линия. Така,

нека да го запиша, това означава, че

АС е равна на ВС.

Нека сега направим обратното.

Да кажем, че сме намерили някаква точка, която е еднакво отдалечена от А и В.

Нека докажем, че тази точка лежи на симетралата.

Да го направим отново, ще го нарисувам така, това е А,

това е В и нека нарисуваме някаква точка и да я наречем отново С.

Нека С е от тази страна и може би, ще нарисувам С

тук долу.

Така, това е С и ще започнем като допуснем,

че С е еднакво отдалечена от А и В.

Така че СА е равна на СВ.

Ще започнем с това,

с това допускане,

и искаме да докажем, че С лежи

на семитралата на отсечката АВ.

Така, нарисувахме триъгълник тук и сме правили това и преди.

Винаги можем да построим височина към тази страна на триъгълника,

така че построяваме линия тук,

нека я нарисувам така, нека кажем,

нека, нека спуснем височина тук,

макар че всъщност не я спускаме,

в този случай я издигаме,

но ако завъртим триъгълника,

така че той да изглежда така,

така че триъгълникът да изглежда така,

така че това е В, това е А, а това тук горе е С,

в този случай наистина спускаме височината.

И така, можем да построим тази линия,

така че тя да сключва прав ъгъл с АВ. Нека наречем

точката, в която тя пресича АВ, М.

За да докажем, че С лежи на симетралата,

трябва да покажем, че СМ е част от

симетралата. Така, както сме я построили,

тя вече е перпендикулярна, така че това, което трябва

да докажем, е че тя разполовява АВ.

Какво имаме тук?

Имаме два прави ъгъла, това е прав ъгъл,

така че този също трябва да е, заради начина, по който сме го построили,

това е прав ъгъл. После, ние знаем,

знаем, че СМ ще е равна,

значем, че СМ ще е равна,

ще е равна на себе си.

Знаем, че това е правоъгълен триъгълник, имаме рамо

и хипотенуза, така че знаем от признака за прав триъгълник,

признака за прав триъгълник, имаме прав ъгъл,

имаме едно рамо, което е равно на

съответното рамо

от другия триъгълник, имаме хипотенуза, която

е еднаква с другата хипотенуза,

и това означава, че нашите два триъгълника са еднакви.

Така че триъгълник АСМ е еднакъв с триъгълник ВСМ по признак за еднаквост на правоъгълен триъгълник.

Добре, но ако те са еднакви, то техните съответни стени

ще са равни, което означава, че АМ,

АМ трябва да е равна на ВМ,

защото те са съответни страни.

Тази страна ще е равна на тази страна тук.

Така че това наистина разполовява АВ.

Тази линия, МС, наистина лежи на симетралата,

наистина е част от симетралата.

Причината, поради която направихме това,

е, че сега можем да направим няколко интересни неща със симетрали

и точки, които са равноотдалечени от други точки,

и да ги решаваме с триъгълници.

Това е ново, само да обобщим,

открихме, че ако някоя точка лежи на симетралата

на дадена отсечка, то тя е равноотдалечена от краищата на отсечката.

После направихме обратното, ако някоя точка е еднакво отдалечена от

краищата да дадена отсечка,

то тя лежи на симетралата на отсечката.

Нека приложим тези идеи за триъгълник сега.

Нека начертаем произволен триъгълник,

опитвам се да го нарисувам сравнително голям, така че нека кажем, че това е триъгълник

от някакъв вид. Нека именуваме триъгълника,

това е точка А, точка В и точка С, това е триъгълник АВС.

Така, нека построим симетралата към отсечка АВ.

Симетралата ще я разполови, така че това разстояние ще е равно

на това разтояние. Симетралата е перпендикулярна,

така че ще изглежда така, и ще бъде,

ще бъде перпен..., всъщност, нека го нарисуваме малко по-различно,

понеже начинът, по който нарисувах този триъгълник,

ни приближава към един специфичен случай,

за който ще говорим в следващото видео.

Нека нарисуваме триъгълника по малко по-различен начин.

Нека го нарисуваме малко...

Всеки път... добре, нека го нарисувам, нека...

добре, този може би ще е по-добре.

и ще видим за кой специален случай говорех,

така, нека това е А,

това е В, това е С.

Така, нека вземем тази точка,

която е средата на АВ, и начертаем сим...

и нека начертаем симетрала.

Така, симетралата ще изглежда

ето така, може да изглежда така,

и не искам задължително да пресича С,

понеже случаят не е винаги такъв,

но това ще е прав ъгъл,

а тази дължина е равна на тази дължина.

Нека направим същото нещо

за отсечка АС тук.

Взимаме точката в средата,

грубо казано

се намира тук, и после нека начертаем

симетралата, която ще изглежда така.

която ще изглежда така.

Така, тази дължина тук е равна на тази тук,

и виждаме, че те се пресичат в една точка.

нека наречем тази точка, за по-забавно, О.

Точка О има няколко интересни свойства.

Знаем, че след като О лежи на симетралата на АВ,

значи разстоянието, разстоянието от О до В

ще е равно на разстоянието от О до А.

Това доказахме в това малко доказателство тук.

Знаем, че ОВ ще е равна на ОА.

Дотук добре, но също така знаем, че

понеже е точката на пресичане на зелената симетрала

и тази жълта симетрала,

знаем, че точката също лежи на симетралата

на АС, че О е равноотдалечена от А и С.

Така че АО е равна на ОС.

Сега, това е интересно, АО е равна на ОВ,

АО също така е равна на ОС, така че ОС и ОВ

трябва също да са равни, така че знаем, че ОС

трябва да бъде равна на ОВ.

ОС трябва да бъде равна на ОВ. Ако точка е равн... извинете,

ако точка е равноотдалечена от две други точки,

които лежат на двата края на една отсечка,

тогава тази точка трябва да лежи на симетралата на тази отсечка.

Това е това второ доказателство, което направихме

тук, така че трябва да лежи на симетралата на ВС,

Така, ако начертая симетралата тук,

тя определено ще лежи на симетралата,

симетралата на ВС.

Хубавото на това малко доказателство,

което показвам в този урок, е че, както видяхме,

съществува уникална точка в даден триъгълник, която е равноотдалечена от

трите страни на триъгълника

и лежи на симетралите на трите страни,

или друг начин да се мисли за това е, както показахме,

трите симетрали на

трите страни на триъгълника се пресичат в една уникална точна, която

е равноотдалечена от трите страни, и тази специална точка в триъгълника

си има специално име, наричаме я О пресечна точка на симетралите в триъгълник.

Пресечна точка на симетралите, и понеже О е равноотдалечена

от страните, така че това разстояние, нека го направя в цвят,

който не съм използвал преди,

това разстояние тук,

е равно на това разстояние тук

и е равно на това разстояние тук.

Ако построим окръжност, чийто център съвпада

с точка О и чийто радиус е това оранжево разстояние,

чийто радиус е което и да е разстояние от тези тук,

ще се получи кръг, който минава през всичките ъгли В, о, съжалявам,

о, съжалявам, през всичките ъгли на триъгълника, чийто център е О,

така че окръжността ще изглежда ето така,

ще се опитам да го нарисувам възможно по-добре, така че това, което построихме тук,

и което можем да построим тук,

това се нарича описан триъгълник.

Описан триъгълник, а това разстояние тук - радиус на описан триъгълник,

радиус на описан триъгълник, и още веднъж, ние знаем, че можем да го построим,

заради тази точка тук, центърът на кръга, който

минава през върховете на триъгълника,

през всичките върхове на триъгълника, затова окръжността е

описа, опис... имам проблем с произнасянето на думата, описана окръжност.

около триъгълника, така че можем да кажем,

че окръжността О, описаната окръжносто О, та, окръжност О тук

е описана около триъгълник АВС.

Което означава, че и трите върха на триъгълника лежат на окръжността,

и разстоянието от всеки връх до центъра е

равно.