(2^ln x)/x Omgekeerde afgeleide Voorbeeld

De oplossing van ∫(2^ln x)/x dx

Ik keek net op het forum op de Khan

Academy Facebook pagina en daar vond ik een vraag van Bud Denny, met een opgave

die hij vroeg op te lossen.

En het leek een opgave van algemeen belang.

Het is de onbepaalde integraal van 2 tot de macht Ln x

gedeeld door, alles gedeeld door x, dx.

En op het forum, plaatste Abhi Khanna ook een oplossing,

en het is de juiste oplossing, maar ik vond het van

algemeen belang, dus ik maak er een vlugge video over.

Dus, als je zo'n integraal ziet, is het eerste wat je

zegt, hé, weet je wat, ik heb de Ln x in

de noemer, en waar begin ik nu?

En het eerste dat je misschien op zou moeten vallen, is dat

dit hetzelfde is als de integraal van één gedeeld door x keer 2

tot de macht Ln x, dx,

En ds je heb je deze uitdrukking, en dat is een soort van deel van

onze grotere functie, en je hebt z'n afgeleide, toch?

We weten dat de afgeleide - laat ik die hier even opschrijven - we

weten dat de afgeleide naar x van

Ln x gelijk is aan 1/x.

Dus we hebben een uitdrukking, en we hebben z'n afgeleide, wat

ons vertelt dat we substitutie kunnen gebruiken.

Soms kan je het uit je hoofd doen, maar deze opgave, die is

niet eenvoudig in je hoofd te doen.

Dus laten we de substitutie doen.

Laten we dit hier vervangen door een u.

Laten we dat dus doen.

Dus als je u definieert, en het hoeft niet per se u te zijn, dat is

gewoon, dat is gebruikelijk, het heet u-substitutie, het

had ook s-substitutie kunnen zijn, maakt niet uit.

Laten we zeggen dat u gelijk is aan Ln x, en dan du

dx, de afgeleide van u naar x, is natuurlijk

gelijk aan 1/x.

Of, alleen de integrand du, als we aan beide kanten vermenigvuldigen

met dx, is gelijk aan 1 gedeeld door x, dx.

Laten we nu dus de substitutie doen.

Dit is onze integraal.

Dus dit zal gelijk zijn aan de onbepaalde integraal, of de

omgekeerde afgeleide, van 2 tot de nu u, dus 2 tot de macht u,

keer 1 gedeeld door x, dx.

Wat is dan 1 gedeeld door x dx?

Dat is gewoon du.

Dus deze term keer die term is gewoon onze du.

Laat ik dat in een andere kleur doen.

1 gedeeld door x keer dx is gewoon gelijk aan du.

Dat is gewoon gelijk aan dat ding, daar zo.

Nu ziet het er nog steeds niet als een makkelijke integraal uit, hoewel

het is wel een behoorlijk stuk versimpeld is.

En om op te lossen, weet je, altijd als ik de variabele zie

waarnaar ik integreer in de exponent, weet je,

we hebben geen enkele simpele exponent regel hier.

Het enige waar ik bekend mee ben, waar ik mijn

x of mijn variabele waarnaar ik integreer in

mijn exponent heb, is het geval van e tot de macht x.

We weten dat de integraal van e tot de macht x, dx, gelijk is

aan e tot de macht x, plus c.

Dus als ik op de een of andere manier dit kan veranderen in een variatie van e tot de macht

x, misschien, of e tot de macht u, misschien kan ik deze integraal een

beetje beter te volgen maken.

Dus laten we eens kijken.

Hoe kunnen we dit hier opnieuw definieren?

Wel, 2, 2 is gelijk aan?

2 is hetzelfde als e tot de macht Ln 2, nietwaar?

De natuurlijke logaritme van 2 is de macht waartoe je

e moet verheffen om 2 te krijgen.

Dus, als je e tot die macht verheft, dan,

natuurlijk, krijg je 2.

Dit is eigenlijk de definitie van eigenlijk, de natuurlijke logaritme.

Als je e verheft tot de macht Ln 2, dan komt daar 2 uit.

Dus laten we dit herschrijven, hiermee -- I denk dat we deze kunnen noemen

deze, deze herschrijving of --- ik wil het niet echt

helemaal een subtitutie noemen.

Het is gewoon een andere manier om het getal 2 te schrijven.

Dus dit zal gelijk zijn aan, in plaat van het getal 2 te schrijven,

zou ik e tot de macht Ln 2 kunnen schrijven.

En dat alles tot de macht u, du.

En waar is dit nu gelijk aan?

Wel, als ik iets tot een macht verhef en dan tot een andere

macht, dat is hetzelfde als mijn grondtal tot de macht van het

product van die exponenten verheffen,

Dus dit is gelijk aan, laat me kleur wisselen, dit is gelijk

aan de integraal van e, tot de macht u, e tot de, laat

ik het zo schrijven.

e tot de macht Ln 2 keer u.

Ik vermenigvuldig alleen deze twee exponenten.

Als ik iets verhef tot de macht iets, dan nog een keer, we weten

van onze exponentregels, dat het een product is van

die twee exponenten.

du.

Nu, dit is alleen maar een constante factor, hierzo.

Dit zou, weet je, dit zou zomaar een nummer kunnen zijn.

We zouden een rekenmachine kunnen gebruiken om uit te zoeken wat dit is.

We zou dit gelijk kunnen stellen aan a.

Maar we weten in het algemeen dat de integraal, dit is redelijk

rechtoe rechtaan, we we hebben het nu in deze vorm gezet.

De omgekeerde afgeleide van e tot de macht au, du, is gewoon

1 gedeeld door a, e tot de macht au.

Dit komt uit deze definitie hierboven, en natuurlijk plus

c, en de kettingregel.

Als de afgeleide hiervan nemen, nemen we de afgeleide

van de binnenkant, wat gewoon a gaat zijn.

We vermenigvuldigen dat keer de één gedeeld door a, die vallen tegen elkaar

weg, en we houden alleen e tot de macht au over.

Dus dit werkt absoluut goed.

Dus de omgekeerde afgeleide van dit ding hier wordt

gelijk aan 1 gedeeld door onze a, het wordt 1 gedeeld door onze constante

term, 1 gedeeld door Ln 2 keer onze hele

uitdrukking, e e.

En ik ga iets doen.

Dit is alleen maar een getal keer u, dus ik kan het schrijven als

u keer één of ander getal.

En ik doe dat alleen maar om het in een vorm te zetten die ons kan helpen om

het een beetje simpeler te maken.

Dus het is e tot de macht u keer Ln 2, nietwaar?

Alles wat ik deed, is ik veranderde deze volgorde.

Ik zou het hebben kunnen schrijven als e tot de

Ln 2 keer u.

Als dit een a, a keer u is hetzelfde als u keer a.

Plus c.

Dus dit is ons antwoord, maar we me moeten een soort van omgekeerd

substitueren voordat we tevreden kunnen zijn dat we de

omgekeerde afgeleide naar x hebben genomen.

Maar voordat ik dat doe, laten we kijken of ik dit een beetje

kan versimpelen.

Wat is, als ik heb, alleen van de eigenschappen van onze natuurlijke logaritme,

van logaritmen, a keer Ln b.

We weten dat dit hetzelfde is als Ln b

tot de macht a.

Laat me hier een lijn tekenen.

Toch?

Dat dit de exponent wordt van wat het ook is waar we

de natuurlijke logaritme van nemen.

Dus u, laat me dit hier schrijven, u keer de natuurlijke log van

2, is hetzelfde als Ln 2 tot de macht u.

Dus we kunnen onze omgekeerde afgeleide herschrijven als zijnde gelijk

aan 1 gedeeld door Ln 2, dat is alleen maar dat stuk hier,

keer e tot de, dit kan worden herschreven gebaseerd op deze

eigenschap van logaritmen, als de natuurlijk logaritme van 2 tot de u, en

natuurlijk hebben we nog steeds onze plus c daar.

Nu, wat is e tot de macht de Ln 2 tot de macht u?

Ln 2 tot de macht u is de macht waartoe je

e moet verheffen om 2 tot de macht u te krijgen, toch?

Per definitie!

Dus als we e tot die macht verheffen, wat krijgen we dan?

We krijgen 2 tot de macht u.

Dus dit gaat gelijk zijn aan 1 tot de macht Ln 2.

Dit versimpelt tot alleen 2 tot de macht u.

Ik tekende het hierboven.

Ln 2 kan ik gewoon in algemene termen schrijven, laat

ik dat hierboven doen, en misschien blijf ik erover doorgaan...

Maar ik kan in het algemeen ieder getal a schrijven als gelijk aan

e tot de macht Ln a.

Dit is de exponent waartoe je e moet verheffen om a te krijgen.

Als je e daartoe verheft, dan komt daar a uit.

Dus e tot de macht Ln 2 tot de macht u, dat is gewoon 2 tot de macht u.

En dan heb ik nog mijn plus c, natuurlijk.

En nu kunnen we omgekeerd substitueren.

Waaraan stelden we u gelijk?

We definieerden u, hierboven, als gelijk aan Ln x.

Dus laten we dat gewoon hier omgekeerd substitueren.

En dus het antwoord op onze oorspronkelijke vergelijking, je antwoord

op, laat ik het hier schrijven, want het is bevredigend als

je het ziet, op deze soort van behoorlijk ingewikkeld-ogende

omgekeerde afgeleide opgeve, 2 tot de macht Ln x, gedeeld door x, dx,

vinden we nu gelijk aan, we hebben alleen u vervangen met

Ln x, omdat dat onze substitutie was, en 1 gedeel door

Ln 2 keer 2 tot de macht Ln x plus c.

En we zijn klaar.

Dit zit niet in de noemer, de manier waarop ik het schreef zou

een beetje dubbelzinnig kunnen lijken.

En we zijn klaar!

En dat was een behoorlijk aardige opgave, en dus bedankt

aan Bud voor het plaatsen ervan.