-
Estaba revisando los foros de discusión en la página
-
de Facebook de Khan Academy, cuando Bud Denny colocó este problema
-
pidiendo que fuera resuelto.
-
Y al parecer es un problema de interés general.
-
Es la integral indefinida de 2 elevado al logaritmo natural de x
-
entre, todo entre x, dx.
-
Además en el panel de mensajes, Abhi Khanna colocó una solución,
-
y una que es correcta, pero como creo que esto es de
-
interés general, haré un rápido video al respecto.
-
Entonces lo primero que hay que hacer cuando veamos una integral de este tipo, es que
-
diga: "muy bien, tengo este logaritmo natural de x en el
-
numerador, ¿por dónde debo empezar?"
-
Lo primero que debería venir a la mente, es que
-
esto es equivalente a la integral de uno entre x por 2
-
elevado al logaritmo de x, dx
-
Entonces tenemos esta expresión, si bien es parte de
-
nuestra función original, y conocemos su derivada, ¿correcto?
-
Sabemos que la derivada, la voy a escribir aqui,
-
sabemos que la derivada con respecto a x del logaritmo
-
natural de x es igual a 1/x.
-
Así que tenemos una expresión, y tenemos su derivada, la cual
-
nos indica que podemos usarla como sustituto.
-
A veces lo podemos hacer en nuestra mente, pero este problema,
-
aun no es algo trivial que resolvamos en nuestra mente.
-
Así que hagamos la sustitución.
-
Sustituyamos esta parte de aquí con una "u".
-
Así que hagamos eso.
-
Así que definimos u, y no tiene que ser forzosamente u,
-
sólo es una convensión, es llamado "u sustitución"
-
pudo haber sido "s sustitución" si así lo quisieramos.
-
Digamos entonces que u es igual al logaritmo natural de x,
-
y que du dx, la derivada de u con respecto a x, que por supuesto
-
es igual a 1/x.
-
O, sólo el diferencial du, si tan sólo multiplicamos ambos lados
-
con dx sería igual a 1 sobre x dx.
-
Así que prosigamos con la sustitución.
-
Esta es nuestra integral.
-
Así que esto sería equivalente a la integral indefinida, o la
-
"antiderivada", de 2 elevado a la u, así que 2 elevado a u,
-
por 1/x dx.
-
¿Y qué es 1/x dx?
-
Simplemente du.
-
Así que este término por aquel término es nuestra du.
-
Permitanme hacerlo con otro color.
-
1/x por dx es igual a du.
-
Esto es igual a esto que tenemos aquí.
-
Bien, esto todavía no luce como una integral sencilla,
-
sin embargo se ha simplificado lo suficiente.
-
Para resolverla, sabemos , que cuando veamos la variable
-
que estamos integrando en el exponente, sabemos,
-
que no tenemos una regla sencilla para exponentes en este caso.
-
Lo único que nos es familiar, en donde tenemos nuestra x
-
o una variable que estemos integrando con un exponente,
-
es el caso de e elevado a la x.
-
Conocemos también que la integral de e elevado a la x, dx,
-
es igual a e elevado a la x más c.
-
Así que si de algún modo pudieramos transformarle en una variación de
-
e a la x, talvez, o e por la u, talvez pudieramos hacer esta integral
-
un poco más manejable.
-
Así que veamos.
-
¿Como podemos redefinir esto que tenemos aquí?
-
Bueno, 2, 2 es igual a que?
-
2 es lo mismo que e elevado al logaritmo natural de 2, ¿correcto?
-
El logaritmo natural de 2 es la potencia a la que se tiene
-
que elevar e para llegar a 2.
-
Así que si elevamos e a esa potencia, estamos,
-
en camino de obtener 2.
-
Esta es de hecho la definición, del logaritmo natural.
-
Si elevamos e al logaritmo natural de 2, vamos a obtener 2.
-
Así que vamos a reescribir esto, utilizando este... Creo que pudieramos
-
llamar a esto... o ... no es que lo quiera llamar
-
como tal una sustitución.
-
Es sólo una forma diferente de escribir el número 2.
-
Entonces esto será igual a, en vez de escribir el número 2,
-
puedo escribir e elevado al logaritmo natural de 2.
-
Y todo esto elevado a u du.
-
Y entonces ¿a qué es igual esto?
-
Bueno, si elevamos algo a un exponente, y de nuevo
-
a otro exponente, esto es lo mismo como tomar mi base
-
elevado al producto de esos exponentes.
-
ASí que esto es igual, dejenme cambiar de colores, esto es igual
-
a la integral de e, elevado a la u, e a la,
-
dejenme escribir por aquí.
-
e al logaritmo natural de 2 multiplicado por u.
-
Sólo estoy multiplicando estos dos exponentes.
-
Elevo una base a un exponente y luego de nuevo,
-
sabemos por nuestras reglas de exponentes, que es tan sólo
-
el producto de ambos exponentes.
-
du.
-
Ahora, esto es tan sólo un factor constante, aquí.
-
Esto pudiera ser, esto pudiera ser cualquier número.
-
Pudieramos usar una calculadora para determinar que es esto.
-
Podemos igualarlo a a.
-
Pero ya sabemos que en genera esta integral, es bastante
-
directa, una vez que la colocamos en esta forma.
-
La antiderivada de e a la au, du, es tan sólo
-
1 sobre a e a la au.
-
Esto viene definido aquí arriba, y por supuesto más c
-
y utilizamos la regla de al cadena.
-
Si tomamos la derivada de esto, tomamos la derivada
-
de adentro, que tan sólo va a ser a.
-
Multiplicamos eso por 1/a, se cancela
-
y nos queda tan sólo e elevado a au.
-
Así que esto definitivamente funcionará.
-
Así que la antiderivada de esto de aqui va a ser
-
igual a 1 sobre nuestra a, va a ser igual a 1 sobre nuestra constante
-
1 sobre el logaritmo natural de 2 multiplicado por
-
toda la expresión e....e.
-
Y aquí voy a hacer algo.
-
Esto es tan sólo un número por u, así que lo puedo escribir
-
como u veces cualquier número.
-
Y sólo lo estoy expresando así de forma que nos pueda
-
ayudar a simplificarlo un poco más.
-
Así que es e elevado a la u por el logaritmo natural de 2, ¿correcto?
-
Todo lo que hice, es que invertí el orden.
-
Esto pudo ser escrito como e elevado al logaritmo
-
natrual de 2 por u.
-
Si entonces a, a por u es lo mismo que a veces u.
-
Más C.
-
Así que está es nuestra respuesta, pero tenemos que de cierta
-
forma sustituir de vuelta antes de sentirnos satisfechos con
-
haber antiderivado con respecto a x.
-
Pero antes de que haga esto, veamos si podemos simplificarlo
-
aun más.
-
Que sucede, si tengo, a partir de las propiedades del logaritmo natural,
-
o logaritmos, a multiplicado por el logaritmo natural de b.
-
Sabemos que esto es lo mismo al logaritmo natural
-
de b elevado a la a.
-
Dibujaré una linea aquí.
-
¿Correcto?
-
Entonces esto convierte el exponente de lo que sea
-
en logaritmo natural del mismo.
-
Así que u, dejenme lo escribo aquí, u por el logaritmo natural de 2,
-
es lo mismo que el logaritmo natural de 2 por u.
-
Así que podemos reescribir nuestra antiderivada igual
-
a 1 sobre el logaritmo natural de 2, esta parte de aquí,
-
por e elevado, esto puede ser reescrito basado en esta
-
propiedad de los logartimos, como el logaritmo natural de 2 elevado a u,
-
y por supuesto todavía tenemos que sumarle C aquí.
-
Ahora, ¿a qué es igual e elevado al logaritmo natural de 2 elevado a u?
-
El logaritmo natural de 2 elevado a u es la potencia a la que debemos
-
elevar e para obtener 2 elevado a la u, ¿correcto?
-
¡Por definición!
-
Así que si elevamos e a esa potencia, ¿qué es lo que obtendremos?
-
Vamos a obtener 2 elevado a la u.
-
Así que esto va a ser igual a 1 sobre el logaritmo natural de 2.
-
Esto se simplifica tan sólo como 2 elevado a la u.
-
Lo dibujé aquí.
-
El logaritmo natural a, lo puedo escribir en terminos generales,
-
lo pondré por aquí.
-
Pero puedo escribir en general para cualquier número, que a
-
es igual a e elevado al logaritmo natural de a.
-
Este es el exponente al que hay que elevar e para obtener a.
-
Si elevamos e a esa potencia, vamos a obtener a.
-
Así que e elevado al logaritmo natural de 2 elevado a u, es tan sólo 2 a la u.
-
Y entonces tenemos más C, por supuesto.
-
Y ahora podemos sustituir de vuelta.
-
¿A qué igualamos u?
-
Definimos u, aquí arriba, igual al logaritmo natural de x.
-
Así que sustituyamos de vuelta aquí.
-
Así que la respuesta a nuestra ecuación original, su respuesta también
-
la escribiré aquí, por que es más satisfactorio cuando la vemos
-
especialmente con este problema de antiderivadas de
-
apariencia revuelta, 2 elevado al logaritmo natural de x sobre x dx,
-
determinamos que es igual a, reemplazando u con el
-
logaritmo natural de x, por que esa fue nuestra sustitución y 1 sobre
-
el logaritmno natural de 2 por 2 elevado al logaritmo natural de x por C.
-
Y hemos terminado.
-
Esto no está en el denominador, de la forma en que lo
-
escribí puede parecer ambiguo.
-
¡Y hemos terminado!
-
Este fue un problema bastante bueno, así que
-
gracias a Bud por subirlo a los foros.
