Geometric series

V předchozím videu jsme viděli,
že geometrický postup,

nebo též geometrická posloupnost,
je taková posloupnost,

kde každý následující člen
je předchozí člen násobený

nějakou fixní hodnotou.

Tuto fixní hodnotu nazýváme kvocient.

Tedy například v této
posloupnosti

každý člen je dvojnásobkem předchozího.

Proto 2 je náš kvocient.

Jakékoliv nenulové číslo
může být kvocientem.

Dokonce i záporné číslo.

Například můžete mít
geometrickou posloupnost,

která vypadá takhle.

Třeba začíná číslem 1 a
kvocient je -3.

Takže 1 krát -3 je -3.

-3 krát -3 je 9.

9 krát -3 je -27.

A pak -27 krát -3 je 81.

Takhle se dá pokračovat dál a dál.

Na co se chci zaměřit v tomto videu,

je součet geometrické posloupnosti

který můžeme nazývat

geometrickou řadou.

Posunem se kousek dolů.

Nyní budeme mluvit o
geometrických řadách,

které jsou součtem
geometrické posloupnosti.

Například geometrická řada

bude součtem této posloupnosti.

Takže budeme mít
1 plus -3

plus 9 plus -27
plus 81

a tak dál a dál a dál,

to je naše geometrická řada.

A můžeme si to ukázat
tady s tímto,

aby bylo zcela jasné, co děláme.

Takže když máme 3 plus 6
plus 12 plus 24 plus 48,

toto je opět geometrická řada,

prostě součet členů
geometrické posloupnosti.

Jak bychom to vyjádřili
obecným zápisem,

možná použitím sumy?

Začneme s tímto výrazem,
ať už to je cokoliv.

Tady, pokud chceme mluvit
v obecné rovině,

je toto „a“ naším prvním členem.

Začneme tedy prvním členem, „a“

a každý následující člen,
který budeme přičítat,

bude násoben naším kvocientem.

A ten bude zván „r“.

Tedy druhý člen je „a“ krát „r“.

Potom třetí člen bude toto

krát kvocient „r“.

Takže to vyjde „a“
krát „r“ na druhou.

A potom pokračujeme,
plus „a“ krát „r“ na 3.

A řekněme, že uděláme
konečnou geometrickou řadu.

Takže nebudeme pokračovat
až do nekonečna.

Řekněme, že budeme pokračovat,

dokud nedojdeme k „a“
krát „r“ umocněno na „n“.

„a“ krát „r“ na „n“

Jak tohle zapíšeme pomocí sumy?

Navrhuji zastavit si video
a zkusit si to sami.

Můžeme na to jít takhle,

dám vám malou nápovědu.

tenhle výraz se dá brát jako
„a“ krát „r“ na 0.

Napíšu vám to.

Toto je „a“ krát „r“ na 0.

Toto je „a“ krát „r“ na 1,
„r“ na 2, „r“ na 3

a nyní už vám asi ten
vzorec bude jasný.

Můžeme to celé
napsat jako sumu,

použijeme Sigma.

Náš index začíná číslem 0.

Takže od „k“ rovno 0
až do „k“rovno „n“

kde máme „a“ krát
„r“ umocněno na „k“.

A je to, použili jsme sumu,

obecný způsob jak zapsat
geometrickou řadu,

kde „r“ je nenulový kvocient.

Může být dokonce záporný.