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Zero, Negative, and Fractional Exponents

  • 0:00 - 0:02
    几个视频之前
  • 0:02 - 0:05
    我告诉过你们任何数的0次方等于1
  • 0:05 - 0:10
    所以x的0次方等于1
  • 0:10 - 0:13
    我们讨论过为什么会这样
  • 0:13 - 0:17
    我用过这样的例子 如果3的一次方
  • 0:17 - 0:19
    那等于3
  • 0:19 - 0:22
    3的平方等于9
  • 0:22 - 0:25
    3的三次方等于27
  • 0:25 - 0:29
    所以每次指数减少1 就要除以3
  • 0:29 - 0:32
    27除以3等于9， 9除以3等于3
  • 0:32 - 0:35
    3除以3等于1
  • 0:35 - 0:38
    这就应该是3的0次方
  • 0:38 - 0:41
    这就是我的一种考虑方法
  • 0:41 - 0:43
    另一种思考方法是
  • 0:43 - 0:46
    我们需要让指数性质一直成立
  • 0:46 - 0:53
    例如 我告诉你们a的b次方乘a的c次方
  • 0:53 - 0:57
    等于a的b+c次方
  • 0:57 - 0:59
    如果c是0会怎样？
  • 0:59 - 1:05
    如果a的b次方乘a的0次方是多少？
  • 1:05 - 1:07
    根据性质 这应该等于
  • 1:07 - 1:13
    a的b+0次方 也就等于a的b次方
  • 1:13 - 1:19
    所以a的b次方乘a的0次方一定要等于a的b次方
  • 1:19 - 1:22
    如果两边都除以- 我重写一下
  • 1:22 - 1:26
    a的b次方乘a的0次方 如果用上面的性质
  • 1:26 - 1:30
    这一定等于a的b次方 对吧？b+0=b
  • 1:30 - 1:37
    如果两边都除a的b次方 得到什么？
  • 1:37 - 1:42
    左边 就剩下了a的0次方 对吧？
  • 1:42 - 1:46
    这些消掉了 a的0次方等于1
  • 1:46 - 1:48
    你们可以对所有的指数性质
  • 1:48 - 1:50
    进行相似的证明
  • 1:50 - 1:53
    我们需要所有数的0次方等于1
  • 1:53 - 1:58
    这也说得通 每当我们减小指数
  • 1:58 - 2:01
    都要除以3 继续下去 一直是成立的
  • 2:01 - 2:05
    当求3的-1次方 我们在上个视频中看到过
  • 2:05 - 2:09
    这就等于1除以3的一次方
  • 2:09 - 2:11
    或者1/3 。同样的
  • 2:11 - 2:14
    从3到1到1/3 每次除以3
  • 2:14 - 2:17
    在某种程度上 3的0次方
  • 2:17 - 2:19
    就等于1
  • 2:19 - 2:22
    但是这里留下了一个问题
  • 2:22 - 2:25
    0的0次方是多少？
  • 2:25 - 2:31
    这是个非常奇怪的问题 0乘自身0次
  • 2:31 - 2:33
    这取决于你们用什么来计算
  • 2:33 - 2:37
    有些人说这是没意义的
  • 2:37 - 2:39
    但是更多时候 至少我的经验是
  • 2:39 - 2:45
    它被定义为1 原因是...
  • 2:45 - 2:46
    即使对它完全没感觉
  • 2:46 - 2:48
    你们可以在谷歌上搜索0的0次方
  • 2:48 - 2:50
    它就会给出1
  • 2:50 - 2:52
    即使这很违背直觉
  • 2:52 - 2:55
    它这样定义的原因是
  • 2:55 - 2:57
    这样能让很多公式成立 尤其是
  • 2:57 - 3:01
    根据二项式定理求二项式系数
  • 3:01 - 3:03
    这里我就不多说了
  • 3:03 - 3:06
    当0的0次方是1时
  • 3:06 - 3:08
    当你思考这个的意思时
  • 3:08 - 3:11
    是非常有趣的。
  • 3:11 - 3:13
    我们再来讨论几个别的性质
  • 3:13 - 3:17
    然后通过几个例题把性质合到一起使用
  • 3:17 - 3:18
    我在上个视频中告诉过你们
  • 3:18 - 3:20
    负指数的意思。
  • 3:20 - 3:24
    a的-1次方 或者我应该说
  • 3:24 - 3:29
    a的-b次方等于1除以a的b次方
  • 3:29 - 3:32
    我们来做一些具体的问题
  • 3:32 - 3:38
    3的-3次方等于1除以3的3次方
  • 3:38 - 3:42
    就等于1除以3×3×3
  • 3:42 - 3:46
    就等于1/27
  • 3:46 - 3:55
    如果我要问你们1/3的-2次方是多少
  • 3:55 - 3:56
    这应该等于
  • 3:56 - 4:02
    1除以1/3的2次方
  • 4:02 - 4:04
    去掉负号然后求倒数
  • 4:04 - 4:10
    所以这就等于1除以。。 1/3乘1/3是多少？
  • 4:10 - 4:12
    1/9 这就等于
  • 4:12 - 4:16
    这就是1除以1/9 也就是1乘9
  • 4:16 - 4:18
    这就等于9
  • 4:18 - 4:22
    这非常正确 因为1/3 记住
  • 4:22 - 4:27
    1/3也就是3的-1次方 对吧？
  • 4:27 - 4:32
    3的-1次方等于1/3的一次方
  • 4:32 - 4:34
    也就是1/3
  • 4:34 - 4:37
    如果用3的-1次方代替1/3
  • 4:37 - 4:42
    这就是3的-1次方的-2次方
  • 4:42 - 4:44
    这两者是相同的
  • 4:44 - 4:47
    如果我们用第一个视频中学到的性质
  • 4:47 - 4:50
    我们可以取两个指数的乘积
  • 4:50 - 4:53
    所以这就等于3的-1乘-2次方
  • 4:53 - 4:57
    就是+2 这就等于9
  • 4:57 - 5:00
    怎么把指数的性质应用到问题中
  • 5:00 - 5:03
    是非常灵活的
  • 5:03 - 5:05
    它们互相不冲突
  • 5:05 - 5:07
    用哪个性质是无所谓的
  • 5:07 - 5:09
    到最后都能得到正确的答案
  • 5:09 - 5:11
    只要你们没有做错。
  • 5:11 - 5:12
    现在 我想要定义的最后一个问题
  • 5:12 - 5:17
    是分数的指数
  • 5:17 - 5:21
    如果有一个数的分数次方
  • 5:21 - 5:27
    设这有a的1/b次方
  • 5:27 - 5:29
    我要定义这个
  • 5:29 - 5:33
    这就等于a的b次方根
  • 5:33 - 5:36
    我们理一下思路
  • 5:36 - 5:39
    我们带入一些数
  • 5:39 - 5:43
    如果这是4的1/2次方
  • 5:43 - 5:50
    这就是说它等于4的平方根
  • 5:50 - 5:54
    这就等于 我们如果取平方根
  • 5:54 - 5:57
    就等于2
  • 5:57 - 6:03
    如果求 理一下思路 8的1/3次方
  • 6:03 - 6:07
    就是取8的立方根 在某种程度上 这有点-
  • 6:07 - 6:09
    有时这在指数运算中让人迷惑
  • 6:09 - 6:13
    这里说的是 哪个数乘以自身3次
  • 6:13 - 6:16
    等于8？
  • 6:16 - 6:23
    如果设x等于8的1/3次方
  • 6:23 - 6:28
    这就是说x的三次方
  • 6:28 - 6:30
    等于8
  • 6:30 - 6:33
    我怎么知道这些是相同的？
  • 6:33 - 6:36
    如果我将方程两边都取三次方
  • 6:36 - 6:40
    如果左边求三次方
  • 6:40 - 6:41
    右边求三次方 得到了什么？
  • 6:42 - 6:44
    左边 就有x的三次方
  • 6:44 - 6:48
    右边 就是8的1/3×3次方
  • 6:48 - 6:52
    也就是3/3 等于1
  • 6:52 - 6:59
    如果x等于8的1/3次方 x是多少？
  • 6:59 - 7:03
    2乘2乘2等于8
  • 7:03 - 7:04
    没有很简单的方法
  • 7:05 - 7:06
    尤其是一旦要求四次方
  • 7:06 - 7:08
    或五次方根 或者进行小数计算
  • 7:08 - 7:12
    大多数情况下你们需要计算器
  • 7:12 - 7:15
    但是像8的1/3次方 或16的1/4次方
  • 7:15 - 7:19
    或27的1/3次方 算起来不是很难
  • 7:19 - 7:23
    所以这个 等于2
  • 7:23 - 7:28
    我们做一些更复杂的
  • 7:28 - 7:36
    27的-1/3次方是多少？
  • 7:36 - 7:37
    不要太紧张
  • 7:37 - 7:39
    我们只要一步一步做
  • 7:39 - 7:44
    当求负幂次
  • 7:44 - 7:53
    这就等于1/27的1/3次方
  • 7:53 - 7:54
    这两个是相等的
  • 7:54 - 7:57
    去掉负号 然后1除所有的数
  • 7:57 - 8:01
    然后27的1/3次方是多少？
  • 8:01 - 8:05
    哪个数乘自身3次等于27？
  • 8:05 - 8:07
    这就等于3
  • 8:07 - 8:12
    这就等于1/3 不错吧
  • 8:12 - 8:14
    现在我要提高一个水平
  • 8:14 - 8:18
    让这更复杂 更吓人
  • 8:18 - 8:21
    什么是。。。
  • 8:21 - 8:23
    现在来做点有趣的
  • 8:23 - 8:35
    8的2/3次方是多少？这好像有点疯狂
  • 8:35 - 8:40
    你们要记住的是 这就等于
  • 8:40 - 8:47
    只要用指数规则 8的平方的1/3次方
  • 8:47 - 8:48
    我怎么知道的？
  • 8:48 - 8:51
    如果把这两个指数相乘 就是2/3
  • 8:51 - 8:54
    所以8的2/3次方就是8的平方
  • 8:54 - 8:57
    然后求三次方根
  • 8:57 - 8:58
    你们也可以用另一种思考方法
  • 8:58 - 9:04
    这也等于8的1/3次方的平方
  • 9:04 - 9:07
    因为无论哪种方法 把指数相乘
  • 9:07 - 9:11
    都会得到8的2/3次方 我们来验证一下
  • 9:11 - 9:16
    两个值确实相等 所以8的平方是64
  • 9:16 - 9:18
    我们取它的1/3次方
  • 9:18 - 9:20
    下面这个 这是8的1/3次方
  • 9:20 - 9:22
    我们已经算出了这是什么
  • 9:22 - 9:24
    这是2 因为2的3次方是8
  • 9:24 - 9:31
    这是2的平方 现在 64的1/3次方是多少？
  • 9:31 - 9:35
    哪个数乘以自身3次是64
  • 9:35 - 9:39
    哦 4×4×4=64
  • 9:39 - 9:43
    或者说4的三次方是64
  • 9:44 - 9:49
    也就是说4等于64的1/3次方
  • 9:49 - 9:51
    所以这就等于4
  • 9:51 - 9:55
    很幸运 2的平方也等于4
  • 9:56 - 9:57
    所以无论用哪种方法都行
  • 9:57 - 9:59
    你们可以求这个的平方然后求三次方根
  • 9:59 - 10:02
    或者先求三次方根然后平方
  • 10:02 - 10:05
    会得到相同的结果
  • 10:05 - 10:08
    现在 我做的都是关于具体数字的
  • 10:08 - 10:10
    我们做几个把我们学过的东西都
  • 10:12 - 10:14
    融合到一起的带变量的问题。
  • 10:14 - 10:18
    我们写几个表达式
  • 10:18 - 10:21
    确定一下答案中没有负指数
  • 10:21 - 10:28
    x的-3次方除x的-7次方 加上x
  • 10:28 - 10:30
    有很多考虑方法
  • 10:30 - 10:34
    我们可以把这看做x的-3次方
  • 10:34 - 10:38
    乘以1除x的-7次方
  • 10:38 - 10:42
    1除x的-7次方是多少？
  • 10:42 - 10:50
    这也就是x的7次方 对吧？
  • 10:50 - 10:53
    如果1除一个数 你们可以去掉1除
  • 10:53 - 10:54
    在指数前面加一个负号
  • 10:55 - 10:56
    如果在-7前面加一个负号
  • 10:56 - 10:58
    就得到x的7次方
  • 10:58 - 11:01
    所以这部分可以化简成x的-3次方
  • 11:01 - 11:04
    乘x的7次方
  • 11:04 - 11:07
    然后指数相加
  • 11:07 - 11:10
    就得到x的4次方 另一种方法
  • 11:10 - 11:13
    一种非常合理的方法就是
  • 11:13 - 11:16
    只要将指数相减即可
  • 11:16 - 11:18
    因为它们的底相同
  • 11:19 - 11:21
    这就是x的-3
  • 11:21 - 11:24
    减去-7次方
  • 11:24 - 11:28
    -3-(-7) 这就是负3+7
  • 11:28 - 11:34
    就等于x的4次方
  • 11:34 - 11:36
    最后一个方法 我的意思是
  • 11:36 - 11:38
    我的意思是不止一种方法可以解出来
  • 11:38 - 11:42
    你们可以说x的-3次方除x的-7次方
  • 11:42 - 11:47
    不好意思 不是-x 除x的-7次方
  • 11:47 - 11:50
    x的-3次方就是1除x的三次方
  • 11:50 - 11:56
    就是这部分 乘1除
  • 11:56 - 11:59
    x的-7次方 这就等于
  • 12:00 - 12:03
    1除x的三次方乘x的-7次方
  • 12:04 - 12:05
    这两个指数相加
  • 12:05 - 12:10
    这就等于1除3-7就是x的-4次方
  • 12:11 - 12:13
    然后这个 如果去掉负号
  • 12:13 - 12:14
    我们取它的倒数
  • 12:14 - 12:16
    我们可以在这个负数以前加一个负号
  • 12:16 - 12:21
    让它变成正数 这就等于x的4次方
  • 12:21 - 12:22
    所以不管怎么做
  • 12:22 - 12:24
    只要用的规则是对的
  • 12:24 - 12:30
    都能得到x的4次方。 我们再做一个更难的
  • 12:30 - 12:32
    然后我们就讲完了
  • 12:32 - 12:43
    这有3乘x方乘y的3/2次方
  • 12:44 - 12:51
    除以x乘y的1/2次方
  • 12:51 - 12:56
    同样的 这就是3乘x项
  • 12:56 - 13:00
    3乘x方除x
  • 13:00 - 13:10
    乘以y的3/2次方除y的1/2次方
  • 13:10 - 13:14
    这就等于3乘。。
  • 13:14 - 13:16
    x方除x是多少？
  • 13:16 - 13:19
    或者x方除x的一次方？
  • 13:19 - 13:24
    这就等于x的2-1次方
  • 13:24 - 13:31
    然后乘以y的3/2-1/2次方
  • 13:31 - 13:36
    上式变成了多少？变成了3乘x
  • 13:36 - 13:40
    2-1=1 只写x就行
  • 13:40 - 13:46
    乘3/2-1/2=2/2 所以这就是y的2/2次方
  • 13:46 - 13:50
    2/2 这就等于y
  • 13:50 - 13:53
    所以这等于3xy
  • 13:53 - 13:56
    不管怎样 我鼓励你们多做这样的练习题
  • 13:56 - 13:58
    但是 你们能看出来 只要用我们
  • 13:58 - 14:00
    在这几个视频中学过的规则
  • 14:00 - 14:04
    你们就可以很容易化简任何一个指数表达式
Title:
Zero, Negative, and Fractional Exponents
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
14:04

Chinese (Simplified, China) subtitles

Incomplete

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