Zero, Negative, and Fractional Exponents

자막제공: SNOW.or.kr (본 자막은 SNOW 자원활동가들에 의해서 제작되었습니다)
그러니까 몇 강의 전에 제가 여러분에게 말씀드렸던 것처럼 어떤 수든 간에 0 거듭 제곱을 하면 1이 됩니다.

그러니까 x의 0 거듭 제곱은 1 입니다.

그리고 제가 여러분에게 한 주장을 제시했었는데, 왜 이런 경우처럼 되는 지 말이지요.

제가 전에 사용했던 예제를 사용해 봅시다. 만약 우리가 3에 1 거듭 제곱을 하면

3과 같습니다.

3에 2 거듭 제곱을 하면 9와 같습니다.

3에 3 거듭 제곱을 하면 27과 같습니다.

그러니까 우리가 거듭 제곱으로 줄일 때마다, 우리는 3으로 나누게 될 것입니다.

27 나누기 3은 9 입니다.

9 나누기 3은 3 입니다.

그러면 3 나누기 3은 1 입니다.

그리고 바로 그것이 3의 거듭 제곱이어야만 합니다.

그러니까 이것이 생각할 수 있는 한 방법 입니다.

생각할 수 있는 다른 방법은 지수 성질이 필요한 데

그것을 이용하는 것입니다.

예를 들면 내가 여러분께 말씀 드렸던 것처럼 a의 b 제곱 곱하기 a의 c 제곱은

a의 b + c 의 제곱과 같습니다.

자, 이제 c가 0이라고 한다면 어떻게 될 까요?

만약 우리가 a의 b 제곱 곱하기 a의 0 제곱을 곱해야 한다면 어떻게 될 까요?

음, 이 성질에 의하면, 이것은 a의 b + 0,

즉, a의 b 제곱과 같아야 할 필요가 있습니다.

그러므로 a의 b 제곱 곱하기 a의 0 제곱은 반드시 a의 b 제곱이 되어야 만 합니다.

만약 여러분이 양 변을 곱하기 a로 나눈다면, 제가 여기에

다시 써 볼 게요. a의 b 제곱 곱하기 a의 0 제곱은, 만약 우리가 이 위에 있는 이런 성질을

생각해 본다면, 반드시 a의 b 제곱이 되어야만 합니다, 맞지요? b 더하기 0 은 b 입니다.

만약 여러분이 양 변을 a의 b 제곱으로 나눈다면, 무엇이 될 까요?

왼 쪽 변의 경우에는 그냥

a의 0 제곱만 남습니다, 맞지요?

이것들은 상쇄되어 없어집니다.

a의 0 제곱은 1과 같습니다.

그리고 여러분은 이 지수 성질과 꽤 상당이 유사한 논거를 이용

할 수 있습니다. 그것은 우리가 어떤 수에 0 제곱을 하면

1과 같아야만 한다는 것이지요.

그리고 또 우리가 3으로 나눌 때 말이 됩니다. 각각의 단계가

지수를 감소시킴으로서요.

이런 식으로 계속 합니다.

여러분이 3의 -1 제곱에 도달하면, 우리가 지난 강의에서

배웠던 것처럼 그것은 1을 3의 1승으로 나눈 것과 같습니다.

혹은 1/3과 같습니다.

그러므로 다시 한 번, 3의 0 승을 3으로 다시 나누면

1/3이 됩니다.

그러니까 이것은 어느 정도 말이 됩니다. 3의 0 승이

1과 같다는 것이요.

그러나 사실 이것은 약간의 공백이 있습니다.

0의 0 제곱은 무엇일까요?

이것은 매우 이상한 개념입니다.

0을 그 자신으로 0 번 곱하는 것입니다.

그리고 이것은 여러분이 어떤 맥락으로 사용하느냐에 달려 있습니다.

때때로 사람들은 이것은 정의되지 않았다고 이야기 합니다. 그러나 더 많은

경우에는, 적어도 제 경험상으론요. 이것은 1로서

정의 됩니다.

그리고 왜 그런가 하면.. 심지어 이것은 완전히 이해가지 않는 일이지만,

여러분은 구글에 0의 0 제곱을 검색해볼 수 있습니다.

그러면 1이라는 해답을 얻게 될 것입니다.

심지어 이것이 완전히 이해가지 않다 하더라도 왜

이것이 이런 식으로 정의되는가의 이유가 많은 공식을

성립하게 만들어 줍니다.

한 특별한 경우에는, 2 항식 (The binomial formula) 이

2 항 계수 (Binomial coefficients) 를 지지해주려면, 이걸 여기에서

알아보지는 않을 겁니다만, 0의 0 제곱이 1과 같을 때만 성립합니다.

그러니까 여러분이 생각해 볼 만한 흥미로운 일이지요.

이것이 심지어 무엇을 의미하는 지 말이지요.

그러므로 다른 성질 몇 가지에 대해서 이야기해 봅시다.

그러고 나서 우리가 그 모든 것을 함께 두, 세 개의 예제로

넣을 수 있을 것입니다. 제가 지난 번 강의에서 음수 배율(Negative power)을 증가시키는 것이

무슨 의미인 지 말씀드렸습니다.

a의 -1 은 혹은 어쩌면 a의 -b 제곱이

a의 b 제곱 분의 1과 같다고 말씀드려야 할 것 같네요.

그러니까 이걸 두, 세 개의 구체적인 예제로 해 봅시다.

3의 -3 제곱은 3의 3 제곱 분의 1과 같습니다.

그 말은 3 곱하기 3 곱하기 3 분의 1은

27분의 1과 같다는 것입니다.

만약 제가 여러분께 1/3의 -2 제곱이 뭐냐고 물어 본다면..

음, 이것은 1/3 의 2 제곱 분의 1과 같을

것입니다.

-를 없애고 그것을 뒤집으면 됩니다.

그러므로 이것은 1나누기..

1/3 곱하기 1/3이 무엇이지요?

1/9 입니다.

그러니까 뭐와 같냐면.. 1을 1/9로 나눈 것은

1 곱하기 9와 같은 것입니다. 그러므로 이것은 9와 같습니다.

그리고 이렇게 하면 완벽하게 말이 됩니다. 왜냐하면 1/3은, 기억하세요, 1/3은

3의 -1 제곱과 같기 때문입니다, 그렇죠?

3의 -1 제곱은 3의 1 제곱 분의 1과 같습니다.

그러니까 1/3과 같게 됩니다.

그러므로 만약 우리가 1/3를 3의 -1 제곱으로 치환한다면, 이것은 3의

-1 제곱의 -2 제곱이 됩니다.

이 두 가지는 등식 (Equivalent statements) 입니다.

그리고 만약 우리가 첫번 째 강의에서 배웠던 성질 중의 하나를

사용한다면, 우리는 이 두 지수의 곱을

구할 수 있을 것입니다.

그러므로 이것은 3의 -1 곱하기 -2의 제곱, 그러니까

+2의 제곱으로 9와 같습니다.

그러므로 어떻게 이 모든 지수 성질이 멋지고 깔끔한 퍼즐 속에서

서로 충돌을 일으키지 않고 맞아 떨어지는 지는

매우 훌륭한 일입니다.

그리고 여러분이 어떤 성질을 이용하든지 간에, 여러분은

결국 맞는 정답을 얻게 될 것입니다. 여러분이 뭔가

미친 짓을 하지 않는 한요.

자, 이제 제가 마지막으로 정의 내리고 싶은 것은

분수 지수의 개념입니다.

그러니까 만약 제가 어떤 것의 분수 제곱을 가지고 있다면.. 그러니까

제가 a의 b분의 1 제곱을 가지고 있다고 해 봅시다.

제가 이걸 정의 내릴 것입니다.

이것은 b제곱근 a와 같을 것입니다.

그러므로 제가 여기서 매우 명확히 해두겠습니다.

여기에 몇 가지 숫자를 써 보겠습니다.

만약 제가 4의 1/2 제곱이 바로 여기에 있다면, 그 말은 즉

이것이 2 제곱근 4와 같은 것입니다.

그리고 이것은 만약 우리가 루트의 원리를 적용한다면,

2와 같을 것입니다.

그러니까 만약 제가, 확실히 해봅시다. 제가 8의 1/3 제곱을 가지고 있다면,

이것은 세 제곱근 8과 같은 것입니다.

그리고 이것은 어떤 면에서는 지수에서

가장 헷갈리는 것 중의 하나 입니다.

여기에서 제가 물어보려는 것은, 어떤 수에 그 자신을 세 번 곱하면

8과 같게 될 까요?

그러니까 만약 x가 8의 1/3 제곱과 같다면, 이것은

x의 세 제곱이 8과 같다고 말하는 것과

정확히 같은 이야기 입니다.

그리고 제가 어떻게 이것들이 등식인지 아느냐고요?

음, 제가 이 방정식의 양 변을 세 제곱 하면

될 것 같습니다.

만약 제가 왼 쪽 변을 세 제곱 하고 그리고

오른 쪽 변을 세 제곱 하면, 무엇을 얻게 될 까요?

왼 쪽 변에서는 x의 3 승을 얻게 될 것입니다.

오른 쪽 변에서는 8의 1/3 곱하기 3 승을, 그 말은 즉

그냥 3분의 3이니까, 단지 1 승을 얻게 될 것입니다.

그러니까 만약 x가 8의 1/3 승과 같다면, x는 무엇이 될 까요?

음, 2 곱하기 2 곱하기 2는 8과 같습니다.

그리고 여기에는 쉬운 방법이 없습니다. 특히 여러분이 네 제곱근으로

혹은 다섯 제곱근으로 넘어가게 되면요. 그리고 소수의 이 계산으로

넘어가게 되면요.

여러분은 아마 대다수의 경우 이 계산을 위해 계산기를 필요로 할 것입니다.

그러나 8의 1/3 승과 같은 경우, 혹은 16의 1/4 승과 같은 경우, 혹은 27의

1/3 승과 같은 경우, 이런 경우는 계산하기 그다지 어렵지 않습니다.

그러므로 바로 여기의 이것을 제가 계산해보면 2가 됩니다.

자, 이제 좀 더 복잡하게 만들어 봅시다.

27의 - 1/3 승은 무엇이 될 까요?

음, 너무 걱정하시지 마세요.

우리는 한 단계 한 단계씩 그냥 밟아나갈 겁니다.

여러분이 음의 배율을 가지고 있다면, 이것은 완벽하게

27의 1/3 승 분의 1과 같습니다.

이 두 가지는 똑같은 것입니다.

여러분은 음수를 없애고 1에 모든 것을

나눌 수 있습니다.

그러고 나서 27의 1/3 승은 무엇이 될 까요?

음, 어떤 수에 자기 자신을 세 번 곱하면 27이 될 까요?

음, 3이겠지요.

그러니까 이것은 3분의 1과 같게 될 것입니다.

나쁘지 않네요.

자, 이제 저는 이걸 심지어 다른 수준으로 끌어올리려고 합니다. 좀 더

복잡하고, 심지어 좀 더 벅차게요.

자, 이제 좀 더 흥미롭게 만들어 봅시다.

8의 2/3 승은 무엇일까요?

자, 좀 무서워 보입니다.

그리고 여러분 모두가 기억해야 할 점이 있는 데 이것은,

우리의 지수 법칙을 실제로 사용해보면, 8의

제곱의 1/3 제곱과 같다는 점입니다.

제가 이걸 어떻게 아느냐고요?

음, 만약 제가 이 두 지수를 곱하면 2/3이 될 것입니다.

그러니까 8의 2/3 승은 세 제곱근 8의 제곱과

같은 것입니다.

그러나 여러분은 이것을 다른 식으로도 생각해 볼 수 있습니다.

이것은 또한 8의 1/3 승의 제곱과 같아야만 합니다.

왜냐하면 어느 방법이든 간에 내가 이 지수들을 곱할 때,

8의 2/3 승이 나오기 때문입니다.

우리가 정말로 같은 값을 얻을 수 있는지 한 번

증명해 봅시다.

그러니까 8의 제곱은 64 입니다.

그리고 우리는 여기에 1/3 승을 할 것입니다.

여기 아래에서는 8의 1/3 승이 있습니다.

우리는 이미 그게 뭔 지 알아보았었죠.

2 입니다. 왜냐하면 2의 3 제곱은 8이기 때문입니다.

그러므로 이것은 2의 제곱입니다.

자, 이제 65의 1/3 승은 무엇 일까요?

무엇에 그 자신을 세 제곱하면 64가 나올 까요?

음, 4 곱하기 4 곱하기 4는 64와 같습니다. 혹은 4의 세 제곱은

64 입니다. 그 말은 즉 4는

64의 1/3 승과 같다는 것입니다.

그러니까 이것은 4와 같습니다.

그리고 우리에게 다행스럽게도 2의 제곱 또한 4 입니다.

그러니까 여러분이 어떤 방법으로 계산하든 상관이 없습니다.

여러분은 제곱을 먼저 하고 그러고 나서 세제곱근을 구할 수 있습니다. 혹은 여러분은

세 제곱근을 먼저 하고 나서 그러고 나서 그것을 제곱할 수도 있습니다.

여러분은 정확히 같은 값을 얻게 될 것입니다.

자, 이제 제가 지금까지 해왔던 것은

실제의 숫자를 가지고 계산한 것입니다.

이 모든 것을 우리가 변수를 함께 이용해서 풀 수 있는

문제를 두, 세 개 더 가져와 봅시다.

그러니까 몇 개의 수식을 말입니다. 그리고 그 수식에서

정답에는 음수 지수가

없어야 한다는 것을 명심하도록 하세요.

그러니까 x의 -7승 분의 x의 - 3 승을 가지고 해 봅시다.

이것을 보는 시각은 여러 개가 있을 수 있습니다.

우리는 이것을 x의 -3 승 곱하기 x의 -7 승 분의 1로

볼 수도 있을 것입니다.

그리고 x의 -7 분의 1이란 무엇 일까요?

이것은 x의 7 제곱과 같은 것입니다, 맞나요?

만약 여러분이 어떤 수 분의 1이라는 숫자를 갖고 있다면, 여러분은 ~ 분의 1을 없앨 수 있습니다.

그리고 지수 앞에 - 를 붙이면 됩니다.

그러나 만약 여러분이 a의 -7 승의 앞에 -를

붙인다면, 여러분은 x의 7승을 얻게 될 것입니다.

그러니까 이것들은 x의 - 3 승 곱하기 x의 7 승으로

단순화 될 수 있습니다.

그러고 나서 우리는 지수를 더 할 수 있습니다. 그러면 x의

4 승이 됩니다.

자, 이제 다른 방법을 해 봅시다. 우리가 완전히 적법한 방법으로

문제를 풀 수 있는데 그 방법은 그냥 지수를 빼는 것입니다.

우리는 "음, 이런, 이건 둘 다 x로 같군" 이라고 말할 수도 있습니다.

이건 x의 -3 빼기 -7 승이

될 것입니다.

음, -3 빼기 -7은 -3 더하기 -7입니다.

즉, x의 4 승이 되겠네요.

그러고 나서 마지막 방법으로, 내 말은 사실 우리가 할 수 있는

마지막 방법 외에도 많은 방법이 있긴 합니다.

x의 -7 승 분의 x의 -3 승을..

죄송합니다, -x가 아닙니다.

x의 -7 승 입니다.

음, x의 -3 승은 x의 3 승 분의 1과 같습니다.

그것은 바로 저기에 있는 항 입니다. 곱하기 x의 -7 승 분의

1 입니다. 그러니까 이것은 x의 3 승 곱하기

x의 -7 승 분의 1과 같을 것입니다.

여러분은 지수끼리 더할 수 있습니다. 그러니까 저것은 3 - 7 은

-4 이고, -4 승 분의 1입니다.

그러고 나서 이것을.. 만약 우리가 역수를 없애 주려면, 우리가 이것을

뒤집어 주면 되는데 이 - 앞에 -를 붙여주면 됩니다.

그러면 양수가 되겠지요. 이것은

x의 4 승과 같습니다.

그러니까 우리가 어떻게 하던 지, 우리가 법칙을

준수하기만 한다면 x의 4승을 얻을 수 있을 것입니다.

조금 더 흥미로운 문제 하나를 더 풀어 봅시다.

그러고 나서 우리가 지금으로선 끝내야 할 것 같군요.

3x의 제곱 곱하기 y의 3/2 승이 있다고 해 봅시다.

그리고 이것을 x 곱하기 y의 1/2 승으로 나눈다고 해 봅시다.

음, 다시 한 번, 이 식은 3 곱하기.. x라는 바로 이 항을 공통으로

가지고 있네요. 그러므로 x 분의 3 곱하기 y의 1/3 승 분의

y의 3/2 승이 됩니다.

그럼 이 식이 뭐랑 같냐면 3 곱하기.. x 분의 x의 제곱이

뭐가 되지요?

혹은 x의 1승 분의 x의 2승은 몇 이지요?

x의 2 - 1 승이 될 것입니다.

그러고 나서 곱하기 y의 3/2 - 1/2 승을 해 줍니다.

그러니까 이 모든 것이 몇이 되나요?

3 곱하기 x가 됩니다.

2 빼기 1은 그냥 1이 됩니다. 여기에 그냥 x라고 쓸 수 있겠네요. 여기에 3/2

빼기 1/2는 2/2를 곱해 줍시다.

그러니까 y의 2/2승이 됩니다.

2/2 혹은 2분의 2 승은 그냥 y와 같은 것입니다.

그러니까 이 식은 3xy가 됩니다.

어쨌든 저는 여러분이 아주 더 많이 이런 예제를

풀어 보기를 바랍니다.

그러나 여러분이 지난 번 강의에서 배운 법칙을

단순히 이용하여 어떤 지수 수식도

꽤 상당히 단순화 해 보세요.

꽤 상당히 단순화 해 보세요.

꽤 상당히 단순화 해 보세요.