有効数字

有効数字入門

いくつか有効数字について学びましょう．時には有効桁とも言いますが同じことです．

有効数字の考えというのは，何か大きな計算をしてたくさん桁がでてきた時に，

もともとあった精度を越えるような数を表現しないようにすることです．

計算することで，実際に測ったものよりも精度が上がることはありませんが，普通計算すると多くの桁がでてきます．

しかし，計算でこの考えをどう使うかなど，深く考える前に

有効数字をどうやって見分けるかの例をいくつも見ておきましょう．そしてある経験則をみつけましょう．

しかしこれについての一般の考えは，「測定したものについての情報を本当に与えてくれるのはどの数字ですか?」というものです．

ここに最初の例ですが，有効数字はこの 7 0 0 です．

ここには3つの有効数字があります．

小数点の後，7 の前の 2 つの 0 を含めないのはちょっと変に思うかもしれません．

これらは含めません．これらはこの数を定義するのには確かに役に立っています．

しかしこれらの数は測定した数がどれだけ正確なのかについては何も語りません．

もう少しこれを良く理解するには，そうですね．．．

これは km で測った距離だとしましょう．

つまり私達は 0 . 0 0 7 0 0 km を測りました．

これと同じ測定は，7 . 0 0 m とまったく同じです．

多分，実際に1メートルの棒を使って，正確に 7.00 m を測ったのかもしれません．

つまりセンチメートルで丸めた測定です．

そして，単にそれを km で書こうと感じただけです．

これらの2つの数はまったく同じ，単に単位が違うだけです．しかし，この上で見ると，

なぜ3桁の有効数字を持つことが意味をなすのかおわかりでしょう．

これらのゼロの役目は，ある意味，-- あなたの使っている単位を元にして位をずらしているだけです．

しかし，こちらの数は 7 の持つ精度を本当に示しています．0 と 0 です．

これらの後ろについている 0 を数える理由ですが，この数を誰が書いたにせよ，もともと書く理由はありません．

それでも書かれたということは，明示的に「見てよ，私はここまで測定したんだ」と言うためです．

もしこの精度まで測定していないのなら，このゼロを書くことはありません．そして，7.00 メートルとは言わずに，7m とだけ言うでしょう

次のものに行きましょう．同じ考えですが，5 と 2 があります．0 でない数字は有効数字になります．

同じ考えで，この前にあるゼロは含みません．たとえば，0.052 km だったら

これは 52m と同じになります．それは明らかに有効数字が2桁です．

ですから，最初の 0 でない桁については考えませんと言えると思います．

これらを含むことはありません．全ての0でない数とそして --

後ろにある 0 -- もし小数点が既にあれば，後ろにある 0 を含みます．

この考えをもう少し形式的なものにしたいと思います．ここには，370 と書かれています．

そして小数点が書かれています．

もしこの小数点が書かれていなければ，この数にどれだけの精度があるのかあまりはっきりしません．

しかし，ここに小数点が書かれたということは，正確に 370 が測られたということです．

これを書いた人は，372 を測って1の位を切り捨てたり，10 の位での丸めをしたわけではありません．

この小数点はこの3つの数が有効であることを語っています．

ですからここには3桁の有効数字があります．

次のものは，前と同じように小数点があり，これが1の位で丸めたのではないことを示しています．

しかしさらに後ろに0があるので，10分の1の位への丸めをしたことを示します．

ですからこの状況では，3桁の有効数字があります．

ここでは，7 が100の位にあります．しかし，ずっと下まであります．ここでは測定は，1000分の1の位まであります．

そして0が間にありますが，これらの0は測定にかかわっています．

なぜなら，これは0でない桁の間にあるからです．

ですからこの状況では，-- このように書かれている場合は -- 全部の桁が有効数字です．ですから6桁の有効数字があります．

さて，この最後のものはあいまいです．37000 - このように書いてある場合には正確に 37000 を測定したのかはっきりしません．

もしかしたら1の位まで測定して，精密な数になったのかもしれません．その場合には

正確に 37000 になります．または，1000 の位までしか測定しなかったのかもしれません．

ですから，これは場合によります．この書き方はあいまいです．このように書いてある数字を見たら，

そして他の情報がなにもない場合には，これは2桁の有効数字があると言うのが良いでしょう．

もしこれを書いた人があいまいさをなくしたければ，最後に小数点をここに書いたはずです．

そうすればこれはきっかり5桁の精度がある -- 5桁の有効数字があると言えます．

しかし，小数点がここにはないので，私はこれは2桁の有効数字と考えます．