Signifikante Stellen(Significant Figures)

Einführung in signifikante Stellen(Introduction to significant figures) PS:Achtet darauf, dass in Deutschland/Europa in der Praxis Punkt und Komma anders benutzt werden und, dass normalerweise kein Dezimalpunkt/komma benutzt wird sondern man eigentlich mit Zehnerpotenzen, hinten herangehängt, arbeitet sodass es einfacher wird die signifikanten Stellen herauszulesen.

Lasst uns sehen ob wir die ein oder andere Sache über signifikante Stellen, manchmal auch die Signifikanz einer Zahl genannt(im Deutschen), lernen können.

Die Idee oder der Sinn hinter signifikanten Stellen ist einfach
sicherzustellen, dass wenn man eine große Rechnung macht und man eine Menge an Zahlen da hat

nicht zuviel über die Genauigkeit mit der man gemessen hat darstellt

aber auch, dass das Ergebnis nicht genauer dargestellt wird, als unsere tatsächlichen Messungen, die man ja zum Berechnen des Ergebnisses braucht.

Bevor wir ins Detail gehen und wie man es beim rechnen nutzt

lasst uns erst ein paar Beispiele von signifikanten Stellen anschauen, danach versuchen wir uns einige Faustregel auszudenken.

Die eigentliche Frage dahinter ist immer: "Welche Zahlen geben mir wirklich Informationen darüber an wie genau meine Messung ist?"

Im ersten Beispiel hier sind unsere signifikanten Stellen Sieben-Null-Null.

Wir haben also drei signifikante Stellen.

Es mag etwas unangenehm wirken, dass wir die beiden Nullen nach dem Punkt(bei uns Komma) und vor der Sieben nicht mit einbeziehen.

Dass wir gerade diese Zahlen nicht mitnehmen, weil sie uns helfen die Nummer genauer zu definieren.

Und es ist wahr aber diese Nullen erzählen uns nicht wie genau unsere Messung ist.

Und, um das etwas besser zu verstehen

stellt euch vor das hier links war eine Messung von Kilometern(km).

Also, wenn wir Null Komma(hier Punkt) Null Null Sieben Null Null Kilometer messen

dann könnten wir dieselbe Messung in Metern durchführen und das wäre dann Sieben Komma(hier Punkt) Null Null Meter(m).

Vielleicht haben wir sogar einfach ein Metermaß benutzt und wir sagten es ist genau Sieben Komma(hier Punkt) Null Null Meter.

Also haben wir bis auf den letzten Zentimeter(cm) gemessen.

Und wollten es einfach mal als Kilometer hinschreiben.

Also nochmal: Diese zwei Zahlen sind exakt ein und dasselbe, sie haben einfach zwei unterschiedliche Einheiten(km und m). Aber ich glaube wenn ihr hier herüber schaut(rechts)

macht es wesentlich mehr Sinn warum ihr nur Drei signifikante Stellen habt.

Diese Nullen erzählen einfach- sie wechseln einfach je nachdem welche Einheiten ihr für die Messung benutzt(ob jetzt m, km oder dm verschwinden sie oder es kommen mehr dazu).

ABer die Zahlen, die euch wirklich die Genauigkeit angeben sind die Sieben, die Null und die Null(Ihr messt ja auf den cm genau!).

Der Grund warum wir die auf die Sieben folgenden Nullen mitzählen ist, dass wer auch immer diese Nullen hingeschrieben hat müsste sie ja eigentlich nicht hinschreiben.

Aber Diejenigen haben sie da hingeschrieben um deutlich zu sagen: " Hey, schaut! Ich habe so weit, so genau gemessen!"

Wenn sie nicht so genau gemessen hätten würden sie diese Nullen einfach weglassen und hätten euch einfach Sieben Meter genannt, nicht Sieben Komma(hier Punkt) Null Null Meter.

Lasst uns das nächste Beispiel angehen: Nach dem selben Prinzip haben wir hier die Fünf und die Zwei, also die nicht Nullen sind hier die signifikanten Stellen.

Ihr nehmt die Nullen hier wegen der selben Logik nicht mit, als wenn das Komma(hier Punkt) Null Fünf Zwei Kilometer wären(so wie vorher).

Das wäre dann dasselbe wie Zweiundfünfzig Meter, was logischerweise nur zwei signifikante Stellen hat.

Also könnten wir sagen, ihr wollt die Nullen links von der ersten Zahl nicht mitzählen.

Die wollt ihr nicht haben. Ihr wollt einfach Zahlen verschieden von der Null und alles dazwischen

und natürlich die nachfolgenden Nullen, rechts von der letzten Zahl sobald ein Komma(Hier Dezimalpunkt)da ist.

Ich formuliere diese Ideen mal etwas formaler um. Also hier drüben hat die Person Dreihundertsiebzig gemessen

und den Dezimalpunkt(bei uns ein Komma) gesetzt.

Wenn sie den Dezimalpunkt nicht gesetzt hätten wäre es etwas unklar wie genau das ist.

Aber, da sie ihn hingeschrieben haben heißt das, die Messung war exakt Dreihundert siebzig.

Sie haben nicht Dreihundert zweiundsiebzig gemessen und haben abgerundet und sie haben nicht nur umgefähr bis auf die Zehnerstelle gemessen.

Der Dezimalpunkt sagt dir ganz konkret, dass alle drei Stellen signifikant sind.

Also ist die Signifikanz hier Drei.

Also zum nächsten und hier sagt uns die Nachkommastelle wieder, dass wir nicht nur auf die Einerstelle genau

sondern wegen der zusätzlichen Null auch bis auf die erste Nachkommastelle genau gemessen haben.

Also haben wir auch hier Drei signifikante Stellen.

Bei der Nächsten liegt die Sieben an der Stelle der Hundert(3te links vom Punkt) aber wir gehen den ganzen weg- Die Messung geht den ganzen Weg bis zu den Tausendsteln.

Und selbst wenn hier Nullen dazwischen liegen, gehören diese zu unserer Messung.

Weil sie ja zwischen den Zahlen unterschiedlich der Null liegen.

Hier in dieser Situation ist also jede Zahl, jede Ziffer so wie es geschrieben steht eine signifikante Stelle. Also haben wir Sechs signifikante Stellen.

Also die letzte hier ist zweideutig(Das Komma grenzt die Tausend von der Hunderter-Ziffer ab, bei uns machen wir eig. einen Punkt oder gar nichts). Die Siebenunddreißig-tausend, es ist nicht klar ob ihr exakt Siebenunddreißig-tausend gemessen habt.

Vielleicht habt ihr bis zur nächste Einer-Ziffer gemessen und ne gerade Zahl bekommen - also genau

Siebenunddreißig-tausend. Oder vielleicht habt ihr nur bis zur Tausender-Ziffer gemessen.

Es gibt hier ein wenig Zweideutigkeit, es kommt also darauf an wenn ihr etwas seht, dass so geschrieben ist wie hier

würdet ihr wahrscheinlich sagen wenn ihr raten müsstet- oder ihr ratet nicht- aber ohne weitere Information würdet ihr sagen, dass da nur zwei signifikante Stellen sind.

Die Person, die weniger zweideutig sein will, würde einen Dezimalpunkt(wie gesagt bei uns wäre es wahrscheinlich ein Komma) dahin machen.

Und das würde euch wissen lassen, dass da wirklich eine Genauigkeit von Fünf Zahlen bestünde, also wir tatsächlich Fünf signifikante Stellen haben.

Falls ihr also keinen Dezimalpunkt seht geht lieber mit Zwei signifikanten Stellen.(PS: Sorry, falls die Kommas und Punkte euch durcheinanderbringen und passt mit diesem Dezimalpunkt auf, das kommt bei uns in DE nicht oft vor und viele Lehrer/Unis handhaben das anders, also achtet darauf und fragt notfalls nach!)