-
-
-
ทุกอย่างที่เราได้ทำในพีชคณิตเชิงเส้นถึงตอนนี้, คุณ
-
อาจคิดว่า, มันก็แค่การทำ
-
สิ่งที่คุณรู้ว่าทำยังไงอยู่แล้ว ให้ยากขึ้น
-
คุณรู้วิธีทำเวกเตอร์แล้ว
-
ผมเดาว่าพวกคุณบางคนรู้เรื่องเวกเตอร์
-
ในวิชาแคลคูลัส หรือพรีแคลคูลัส
-
หรือวิชาฟิสิกส์มาแล้ว
-
แต่ในวิดีโอนี้ ผมหวังว่าจะแสดงให้คุณเห็นว่า
-
คุณจะทำพีชคณิตเชิงเส้นที่คุณไม่เคยทำมาก่อน
-
และมันอาจยากมาก หากคุณไม่เห็น
-
เห็นวิดีโอพวกนี้มาก่อน
-
เอาล่ะ ผมจะเริ่มด้วย, เหมือนเดิม, วิธี
-
ที่คุณอาจรู้วิธีทำอยู่แล้ว
-
งั้นขอผมนิยามเวกเตอร์ตรงนี้หน่อย, แทนที่จะ
-
เขียนตัวหนา, ผมจะวาดลูกศรข้างบนมัน
-
ผมจะนิยามเวกเตอร์ผมเป็น -- ผมจะเขียน
-
ลูกศรข้างบน หรือผมจะเขียนเป็นตัวหนามากก็ได้
-
ผมจะนิยามเวกเตอร์ผม,
-
เป็นเวกเตอร์ใน R2
-
งั้นสมมุติว่าเวกเตอร์ผมคือเวกเตอร์ 2,1
-
หากผมวาดมันในตำแหน่งมาตรฐาน,
-
มันออกมาเป็นแบบนี้
-
คุณก็ไปสองทางขวา, ขึ้นหนึ่ง, แบบนี้
-
นั่นคือ, ตรงนี้, นั่นคือเวกเตอร์ v
-
ทีนี้, หากผมถามคุณ, ว่าผมสามารถ
-
สร้างเวกเตอร์อะไรได้บ้าง?
-
ขอผมนิยามเซตขึ้นมา
-
ขอผมนิยามเซต, s, เท่ากับ -- เวกเตอร์ทั้งหมด
-
ที่ผมต้องสร้าง, หากผมคูณ v ด้วยค่าคงที่
-
ผม, ผมคูณค่าคงที่เข้าไป, สเกลาร์สักค่านึง,
-
คูณเวกเตอร์ v ของผม, มันอาจดูเป็นทางการหน่อย, แต่ผมจะ
-
บอกว่า c เป็นสมาชิกของจำนวนจริง
-
-
-
แล้วเซตนี้จะออกมาเป็นกราฟอย่างไร?
-
ทีนี้, หากผมวาดมันทั้งหมดในตำแหน่งมาตรฐาน, c เป็น
-
จำนวนจริงใด ๆ
-
งั้นหากผมคูณมัน, c อาจเป็น 2
-
หาก c เป็น 2, ขอผมทำแบบนี้นะ
-
หากผมเอา 2 คูณเวกเตอร์เรา, ผมจะได้
-
เวกเตอร์ 4, 2
-
ขอผมวาดมันในตำแหน่งมาตรฐานนะ, 4, 2
-
มันอยู่ตรงนี้
-
มันคือเวกเตอร์นี่ตรงนี้
-
มัน colinear กับเวกเตอร์แรก
-
มันอยู่ในบนเส้นตรงเดียวกัน, แต่มันไกลออกไป 2
-
ทีนี้ผมทำอีกอันได้
-
ผมอาจเอา 1.5 คูณเวกเตอร์ v
-
ขอผมใช้อีกสีนึงนะ
-
แล้วนั่นก็คือ, แล้วมันคืออะไร?
-
มันก็คือ 1.5 คูณ 2, ซึ่งก็คือ 3, 1.5
-
แล้วเวกเตอร์นั้นออกมาเป็นอะไร?
-
ผมก็ไป 1.5 แล้วก็ไป 3, แล้วก็ 1.5,
-
ผมจะได้ตรงนี้
-
แล้วผมก็คูณมันด้วยอะไรก็ได้
-
ผมคูณ 1.4999 กับเวกเตอร์ v, แล้ว
-
ได้ตรงนี้
-
ผมอาจเอา ลบ 0.0001 คูณเวกเตอร์ v
-
ขอผมเขียนลงไปนะ
-
ผมสามารถเอา 0.001 คูณเวกเตอร์ v ก็ได้
-
แล้วผมจะไปตรงไหน?
-
มันจะให้เวกเตอร์เล็กจิ๋วตรงนี้
-
หากผมใช้ ลบ 0.01, มันจะได้เวกเตอร์ที่เล็กมาก
-
ตรงนี้ชี้ไปในทิศนั้น
-
หากผมใช้ ลบ 10, มันจะได้เวกเตอร์ไปใน
-
ทิศนี้ ไปแบบนั้น
-
แต่ผมคงนึกภาพได้ว่าหากผมพลอต
-
เวกเตอร์ทุกตัวในตำแหน่งมาตรฐาน, ทุกอันสามารถ
-
เขียนได้ในรูป c เป็นจำนวนจริงใด ๆ, ที่สุดแล้วผมจะ
-
ได้ -- ผมก็จะวาดเวกเตอร์หลาย ๆ อันที่
-
ลูกศรทั้งหมดเรียงตัวตามเส้นตรงตรงนี้, แล้วมัน
-
ก็เรียงกันไปในทิศลบด้วย -- ขอผมดูให้แน่ใจ
-
ว่าผมวาดตรงหรือเปล่า -- ตามเส้นนั้น, แบบนั้น
-
ผมว่าคุณคงเข้าใจ
-
มันก็เซตของเวกเตอร์ที่ colinear กัน
-
ขอผมเขียนมันลงไปนะ
-
-
-
และหากเรามองเวกเตอร์พวกนี้เป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง, เวกเตอร์
-
นั่นก็จะแทนจุดในสเปซ R2 -- R2 นี่ก็
-
แค่ระนาบพิกัดคาร์ทีเชียนตรงนี้ ไปใน
-
ทุกทิศ -- หากเรามองเวกเตอร์นี่เป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง --
-
ขอผมเขียนมันลงไปนะ -- หากผมมองมันเป็น
-
พิกัดใน R2, แล้วเซตนี้, หากเราแสดงมันเป็นภาพ
-
ด้วยเวกเตอร์ตำแหน่งหลาย ๆ อัน, มันก็สามารถ
-
แทนได้ด้วยเส้นตรงทั้งเส้นตรงนี้
-
-
-
ผมอยากพูดให้ชัด เพราะที่สุดแล้ว
-
มันคือเส้นตรง, ความชันเป็น 2
-
จริงไหม?
-
โทษที, ความชัน 1/2
-
คุณขึ้น 1
-
คุณขึ้น 1 แล้วไปทางขวา 2
-
แต่ผมอยากกลับไปพูดสัญลักษณ์
-
ในพีชคณิต 1 มากนัก
-
แต่ผมอยากพูดถึงประเด็นนี้ว่า เส้นตรงนี้มีความชันเป็น 2
-
ผ่านจุดกำเนิด, นี่คือสิ่งที่เราวาดจากเวกเตอร์
-
ทั้งหมดในเซตนี้ ในรูปมาตรฐาน, หรือหากเรา
-
วาดมันเป็นเวกเตอร์ตำแหน่งนั่นเอง
-
หากผมไม่แสดงให้ชัดเจน หรืออธิบาย
-
อย่างนั้น, ผมอาจวาดเวกเตอร์พวกนี้ตรงไหนก็ได้
-
จริงไหม?
-
เพราะเวกเตอร์ 4, 2 นี่, ผมวาดตรงนี้ก็ได้
-
แล้วก็, ถ้าบอกว่ามัน colinear เฉย ๆ อาจ
-
ไม่ช่วยให้คุณเห็นภาพเท่าไหร่
-
แต่ผมว่าเรื่อง colinear นี้น่าจะเข้าใจได้ง่ายขึ้น
-
หากคุณบอกว่า, ลองวาดมันในรูปมาตรฐานดูสิ
-
พวกมันเริ่มที่จุดกำเนิด, แล้วหางมัน
-
อยู่ที่จุดกำเนิด, หัวมันก็จะอยู่ที่
-
พิกัดที่มันระบุ
-
นั่นคือสิ่งที่ผมเรียกว่า เวกเตอร์ตำแหน่ง
-
พวกมันไม่จำเป็นต้องเป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง, แต่
-
เพื่อให้เห็นภาพในวิดีโอนี้, กำหนดให้เป็นอย่างนั้นแล้วกัน
-
ทีนี้, ผมสามารถแสดงอะไรก็ตามที่
-
ผ่านจุดกำเนิด และมีความชันแบบนี้เท่านั้น
-
คุณอาจมองว่าเวกเตอร์นี่
-
เป็นการแสดงความชัน
-
คุณอาจอยากมองมันเป็นเวกเตอร์ความชันก็ได้, หากคุณอยาก
-
ผูกมันกับสิ่งที่เรียนไปในพีชคณิต
-
แล้วถ้าเราอยากแสดงเส้นตรงอื่น ๆ
-
ที่มีความชันเท่านั้นบ้างล่ะ?
-
หากเราอยากแสดงเส้นตรงเดียวกัน, หรือพูดอีกอย่าง
-
คือเส้นขนาน -- ที่ผ่านจุดนั่นตรงนั้น
-
จุด 2 ลูกน้ำ 4?
-
หรือหากเราคิดในแง่ของเวกเตอร์ตำแหน่ง, เราอาจบอก
-
ว่าจุดนั้นแสดงได้โดยเวกเตอร์, และเรา
-
จะเรียกมันว่า x
-
มันแทนได้ด้วยเวกเตอร์ x
-
และเวกเตอร์ x เท่ากับ 2, 4
-
จุดนั่นตรงนั้น
-
จะเป็นยังไงหากผมอยากแทนเส้นตรงที่ขนาน
-
กับเส้นนี้ โดยผ่านจุด 2,4 นั่น?
-
ผมอยากแสดงเส้นตรงนี่ตรงนี้
-
-
-
ผมจะวาดมันให้ขนานเท่าที่ผมจะทำได้นะ
-
ผมว่าคุณคงเข้าใจ, และมันเป็นแบบนี้
-
ไปในทุกทิศ
-
เส้นตรงสองเส้นนี้ขนานกัน
-
ผมจะแสดงเซตของเวกเตอร์ทุกตัว, ที่วาด
-
ในรูปมาตรฐาน, หรือเวกเตอร์ทั้งหมด, ที่
-
ผมวาดในรูปมาตรฐาน, ที่อยู่บนเส้นนี้อย่างไร?
-
ทีนี้, คุณอาจคิดแบบนี้ก็ได้
-
หากเวกเตอร์ทุกอย่างที่แทนเส้นตรงเส้นนี้, หาก
-
ผมเริ่มด้วยเวกเตอร์ใด ๆ ที่อยู่บนเส้นนี้, แล้วผมบวก
-
x เข้าไป, ผมจะไปอยู่บนจุดที่ตรงกันบน
-
เส้นตรงเส้นนี่ที่ผมอยากไป
-
จริงไหม?
-
-
-
สมมุติว่าผมเอา ลบ 2 คูณกับอันเดิม, งั้น ลบ 2
-
คูณเวกเตอร์ v, นั่นเท่ากับอะไร?
-
ลบ 4, ลบ 2, นั่นก็คือเวกเตอร์นั่นตรงนั้น
-
แต่หากผมบวก x เข้าไป, หากผมบวกเวกเตอร์ x ของผมเข้าไป
-
หากผมเอา ลบ 2 คูณเวกเตอร์ v ของผม, แต่ผม
-
บวก x เข้าไปด้วย, งั้นบวก x
-
ผมจะบวกเวกเตอร์ 2 ลูกน้ำ 4 เข้าไป, ดังนั้นจากตรงนี้ ผมจะไป
-
ทางขวา 2 แล้วขึ้น 4, ผมเลยไปตรงนี้
-
หรือมองเป็นภาพคุณอาจบอกว่า, หัวต่อหาง, ผมเลย
-
ไปตรงนี้
-
ผมก็จะได้
-
จุดที่ตรงกันตรงนี้
-
-
-
ดังนั้นหากผมนิยามเซตของผม, s, ว่าเป็นเซตของจุดทุกจุด
-
ที่ผมเอา v คูณสเกลาร์, ผมจะได้สิ่งนี่ตรงนี้
-
ที่ลากผ่านจุดกำเนิด
-
แต่ตอนนี้ หากผมนิยามอีกเซตนึง
-
ขอผมนิยามเซต l, l แทนเส้นตรง, นั่นเท่ากับ
-
เซตของเวกเตอร์ทุกตัวโดยที่เวกเตอร์ x, ผมทำตัวหนา
-
หรือจะวาดลูกศรก็ได้, บวก
-
สเกลาร์ -- ผมใช้ c ก็ได้, แต่ขอผมใช้ t แล้วกัน, เพราะผม
-
จะเรียกมันว่าการตั้งพาราเมทริกของเส้น --
-
แล้วบวกสเกลาร์, t คูณเวกเตอร์ v ของผม โดยที่ t
-
เป็นสมาชิกใด ๆ ของจำนวนจริง
-
แล้วนี่คืออะไร?
-
นี่จะเป็นเส้นตรงสีฟ้านี่
-
หากผมวาดเวกเตอร์ทั้งหมดนี่ในตำแหน่งมาตรฐาน
-
ผมจะได้เส้นตรงสีฟ้า
-
ตัวอย่างเช่น, หากผมทำ ลบ 2, นี่คือลบ 2, คูณ
-
เวกเตอร์ v, ผมได้ตรงนี้
-
แล้วหากผมบวก x, ผมไปตรงนี้
-
ดังนั้นเวกเตอร์นี่ตรงนี้มีจุดปลายตรงนี้ --
-
จุดปลายของมันอยู่บนเส้นนั้น
-
ผมทำกับอะไรก็ได้
-
ถ้าผมเอาเวกเตอร์นี้มา, นี่คือสเกลาร์คูณเวกเตอร์ v ผม,
-
แล้วผมบวก x เข้าไป, ผมจะได้เวกเตอร์นี้, ซึ่ง
-
จุดปลาย, หากผมมองมันเป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง, มันคือจุดปลาย
-
ที่บอกพิกัดในระนาบ xy
-
มันก็จะได้
-
จุดนั้น
-
ผมก็หาเวกเตอร์พวกนี้อันไหนก็ได้
-
นี่คือเซตของเวกเตอร์ตรงนี้, และเวกเตอร์พวกนี้ทั้งหมด
-
จะเป็นจุด -- ที่สุดแล้วพวกมันจะชี้
-
ไปยังอะไรสักอย่าง -- หากผมวาดมันในรูปมาตรฐาน, หากผม
-
วาดมันในรูปมาตรฐาน -- พวกมันจะชี้ไปยัง
-
จุดบนเส้นสีฟ้านั่น
-
ทีนี้คุณอาจบอกว่า, เฮ้ ซาล, นี่มันเป็นวิธีบรรยาย
-
เส้นตรงที่ไม่เจ๋งเลย
-
ผมหมายถึง ตอนเราทำในพีชคณิต 1, ผมแค่บอกว่า, เฮ้
-
รู้ไหม, y เท่ากับ mx บวก b
-
เราหาความชันโดยการหาผลต่าง
-
ระหว่างจุดสองจุด, แล้วเราก็ทำการแทนค่านิดหน่อย
-
นี่คือสิ่งที่คุณเรียนตอนมอสองมอสาม
-
มันตรงไปตรงมาดี
-
ทำไมผมต้องมานิยามเซตโง่ ๆ นี่ แล้วบังคับคุณ
-
ให้คิดในรูปของเซตกับเวกเตอร์ แล้วก็การบวกเวกเตอร์ด้วย?
-
สาเหตุก็คือ, เพราะนี่เป็นรูปทั่วไปกว่ามาก
-
-
-
นี่ใช้ได้ดีใน R2
-
ดังนั้นใน R2, นี่ดีมาก
-
ผมหมายถึง, เราแค่ต้องคิดถึง x กับ y
-
แล้วถ้าเกิดในกรณี, ผมหมายถึง, ลองดู, ในวิชา
-
พีชคณิต, คุณครูคุณไม่เคยบอกคุณขนาดนี้, อย่างน้อย
-
ก็ครูของผม, ว่าเราจะแสดงเส้นตรงใน
-
สามมิติยังไง?
-
บางทีบางชั้นเรียนไปถึงตรงนี้, แต่เขาไม่มีทาง
-
บอกคุณว่าจะแสดงเส้นตรงในสี่มิติยังไง, หรือ
-
ในหนึ่งร้อยมิติ
-
และนั่นคือสิ่งที่นี่จะช่วยคุณได้
-
ตรงนี้, ผมนิยาม x กับ v เป็นเวกเตอร์ใน R2
-
พวกมันคือเวกเตอร์ในสองมิติ, แต่เราสามารถขยาย
-
มันไปยังมิติจำนวนเท่าไหร่ก็ได้
-
เพื่อให้คุณเข้าใจจริง ๆ, ลองดู
-
ตัวอย่างอีกอันใน R2, นี่เป็นโจทย์พีชคณิตคลาสสิค
-
โดยคุณต้องหาสมการของเส้นตรง
-
แต่ตอนนี้, เราจะเรียกมันว่าการนิยาม
-
เซตสำหรับเส้นตรง
-
สมมุติว่าเรามีเวกเตอร์สองตัว
-
สมมุติว่าเรามีเวกเตอร์ a, ซึ่งผมกำหนดว่า --
-
ผมสมมุติแล้วกันว่ามันคือ 2,1
-
งั้นหากผมวาดมันในรูปมาตรฐาน มันคือ 2, 1
-
นั่นคือเวกเตอร์ a ของผม, ตรงนี้
-
และสมมุติว่าผมมีเวกเตอร์ b, ขอผมกำหนดเวกเตอร์ b หน่อย
-
ผมจะกำหนดให้มันเป็น, ไม่รู้สิ, ขอผม
-
กำหนดมันเป็น 0,3 แล้วกัน
-
ดังนั้นเวกเตอร์ b ผม, 0 -- ผมไม่ต้องไปทางขวาเลย
-
แล้วผมก็ขึ้น
-
ดังนั้นเวกเตอร์ b จะหน้าตาแบบนี้
-
ทีนี้, ผมจะบอกว่าพวกนี้คือเวกเตอร์ตำแหน่ง
-
ที่เราวาดในรูปมาตรฐาน
-
ตอนคุณวาดมันในรูปมาตรฐาน, จุดปลาย
-
แทนตำแหน่งต่า งๆ
-
คุณอาจมองนี่เป็นจุดพิกัดใน R2 ก็ได้
-
นี่คือ R2
-
แกนพิกัดพวกนี้ทั้งหมดที่ผมวาด ก็คือ R2
-
ทีนี้ จะเกิดอะไรขึ้นหากผมถามคุณ ให้คุณบอกการตั้งพาราเมทริก
-
ของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดนี้
-
ที่สุดแล้ว, ผมอยากได้สมการ -- หากคุณคิด
-
ในแง่ของพีชคณิต 1 -- ผมอยากได้สมการของเส้นตรง
-
ที่ลากผ่านจุดทั้งสองนี้
-
-
-
ในวิธีดั้งเดิม, คุณอาจหาความชันอะไร
-
พวกนั้น, แล้วคุณก็
-
แทนมันกลับลงไป
-
แต่แทนที่จะทำอย่างนั้น สิ่งที่เราทำได้คือ บอกว่า ดูสิ
-
เส้นตรงนี้ผ่านจุดทั้งสองนี่ -- คุณอาจ
-
บอกได้ว่าเวกเตอร์ทั้งหมดนี่อยู่บน -- ผมเดา
-
ว่านั่นดีกว่า -- เวกเตอร์ทั้งสอง
-
อยู่บนเส้นตรงนี้
-
ทีนี้, เวกเตอร์ใดใช้แทนเส้นตรงนั่นได้?
-
หรือพูดอีกอย่าง, เวกเตอร์ใด, หากผมแทนสเกลาร์
-
ใด ๆ แล้ว -- สามารถแสดงเวกเตอร์ใด ๆ บนเส้นตรงนั้นได้?
-
ขอผมทำแบบนี้แล้วกัน
-
เกิดอะไรขึ้นหากผมเอา -- นี่คือเวกเตอร์ b ตรงนี้ -- เกิดอะไร
-
ขึ้นหากผมเอา b ลบ a?
-
เราเรียนไป, ผมว่าในวิดีโอที่แล้ว, ว่า b
-
ลบ a, คุณจะได้เวกเตอร์นี่ตรงนี้
-
คุณจะได้ผลต่างระหว่างเวกเตอร์สองตัว
-
นี่คือเวกเตอร์ b ลบเวกเตอร์ a
-
คุณแค่ลองคิดดู
-
ผมต้องบวกอะไรให้ a เพื่อให้ได้ b?
-
ผมต้องบวก b ลบ a
-
งั้นหากผมได้เวกเตอร์ b ลบ a -- ใช่, เรารู้วิธี
-
หามันแล้ว
-
เราก็แค่ลบเวกเตอร์, แล้วคูณมันด้วยสเกลาร์
-
ใด ๆ, แล้วเราจะได้เวกเตอร์ใด ๆ ตามเส้นตรงนั่น
-
เราต้องระวังหน่อย
-
ทีนี้, เกิดอะไรขึ้นหากเราเอา t, สเกลาร์อะไรสักตัว, คูณเวกเตอร์
-
เรา, คูณเวกเตอร์ b ลบ a?
-
-
-
เราจะได้อะไร?
-
ทีนี้ b ลบ a เป็นแบบนั้น
-
หากเราวาดมันในรูปมาตรฐาน -- จำไว้
-
ในรูปมาตรฐาน b ลบ a จะเป็นอะไรแบบนี้
-
-
-
จริงไหม?
-
มันจะเริ่มที่ 0, มันจะขนานกับอันนี้, แล้วจาก
-
0 เราก็วาดจุดปลาย
-
ดังนั้นหากเราคูณสเกลาร์สักตัวกับ b ลบ a, เรา
-
จะได้จุด หรือเวกเตอร์
-
ที่อยู่ตามเส้นตรงนี้
-
เวกเตอร์ที่เรียงตัวบนเส้นนั่นตรงนั้น
-
ทีนี้, นั่นไม่ใช่สิ่งที่เราอยากได้
-
เราได้หาสมการ, หรือการตั้งพาราเมทริก
-
ของเส้นตรงนี้, หรือเซตนี้
-
เรียนนี่ว่าเซต l แล้วกัน
-
เราก็อยากรู้ว่าเซตนั่นเท่ากับอะไร
-
ในการหามัน, เราต้องเริ่มจากนี่
-
คือเส้นนี่ตรงนี้, แล้วเราต้องเลื่อนมัน
-
เราก็เลื่อนมันขึ้นตรง ๆ
-
เราก็บวกเวกเตอร์ b เข้าไป
-
เราก็เอาเส้นตรงนี่ตรงนี้ มา
-
บวกเวกเตอร์ b เข้าไป
-
ดังนั้นจุดใด ๆ บนนี้ จะมี
-
จุดตรงกันตรงนี้ด้วย
-
แล้วตอนคุณบวกเวกเตอร์ b, มันก็จะเลื่อนขึ้น
-
ใช้ได้เลย
-
เราก็บอกว่า, เราสามารถบวกเวกเตอร์ b เข้าไป
-
แล้วตอนนี้จุดพวกนี้ทุกจุดสำหรับค่าใด ๆ -- t
-
คือสมาชิกของจำนวนจริง, จะเรียงตัวบนเส้นสีเขียวนี่
-
หรืออีกทางเลือกนึงที่เราทำได้ คือ เรา
-
บวกเวกเตอร์ a เข้าไป
-
เวกเตอร์ a จะเอาจุดใด ๆ ตรงนี้ไป
-
แล้วเลื่อนมันแบบนั้น
-
จริงไหม?
-
คุณอาจบวกเวกเตอร์ a เข้าไป
-
แต่ไม่ว่ายังไง, คุณจะได้เส้นสีเขียว
-
ที่เราสนใจ, คุณก็สามารถนิยามมันเป็นเซต
-
ของเวกเตอร์ a บวกเส้นตรงนี้, ก็คือ, t คูณ
-
เวกเตอร์ b ลบ a, โดยที่ t เป็นสมาชิกของจำนวนจริง
-
ดังนั้นนิยามเส้นตรงผม จะเป็น
-
อันไหนก็ได้
-
นิยามเส้นตรงผมอาจเป็นเซตนี้, หรืออาจเป็น
-
เซตนี้ก็ได้
-
ทั้งหมดนี่ดูเป็นนามธรรมไปหน่อย, แต่ตอนคุณ
-
ยุ่งกับตัวเลขแล้ว, มันออกมา
-
ธรรมดามาก
-
มันจะออกมาง่ายกว่าที่เราทำในพีชคณิต 1 เสียอีก
-
ดังนั้น l นี่, สำหรับ a กับ b ค่านี้,
-
ลองหากันดู
-
เส้นตรงผมเท่ากับ -- ขอผมใช้ตัวอย่างแรกนะ
-
มันคือเวกเตอร์ b, นั่นคือเวกเตอร์ 0, 3 บวก t, คูณ
-
เวกเตอร์ b ลบ a
-
แล้ว b ลบ a คืออะไร?
-
0 ลบ 2 คือ ลบ 2, 3 ลบ 1 คือ 2, โดย t
-
เป็นสมาชิกของจำนวนจริง
-
ทีนี้, หากนี่ดูเหมือนเซตที่น่าพิศวง
-
สำหรับคุณ, ผมจะเขียนมันในรูปที่คุณ
-
อาจจำได้ง่ายขึ้น
-
หากเราอยากวาดจุด, หากเราเรียกนี่ว่าแกน y, และ
-
เราเรียกนี่ว่าแกน x, หากเราเรียกนี่ว่า
-
พิกัด x, หรือบางทีนั่นคือแกน x
-
แล้วเรียกนี่ว่าแกน y, แล้วเราสามารถตั้ง
-
สมการขึ้นตรงนี้
-
นี่ก็คือความชัน x
-
-
-
นี่คือพิกัด x, นั่นคือพิกัด y
-
หรือที่จริง, ยิ่งไปกว่านั้น, อะไรก็ตาม -- ที่จริงขอผม
-
ทำระวังหน่อย
-
นี่จะกลายเป็นเวกเตอร์อะไรสักอย่าง l1, l2
-
จริงไหม?
-
นี่คือเซตของเวกเตอร์, และสมาชิกใด ๆ ของเซตนี้
-
จะออกมาเป็นแบบนี้
-
นี่อาจเป็น li
-
แล้ว, นี่คือพิกัด x, และนี่คือพิกัด y
-
-
-
เพื่อให้นี่อยู่ในรูปที่คุณจำได้, เราจะ
-
บอกว่า l เป็นเซตของเวกเตอร์ x บวก t คูณ
-
เวกเตอร์ b ลบ a นี่ตรงนี้
-
หากเราอยากเขียนมันในรูปพาราเมทริก, เรา
-
ก็บอกว่า, เนื่องจากนี่คือสิ่งที่บอกพิกัด x,
-
เราก็บอกว่า x เท่ากับ 0 บวก 1 คูณ ลบ 2, หรือ
-
ลบ 2 คูณ t
-
แล้วเราก็บอกได้ว่า y, นี่คือนี่คือสิ่งที่
-
บอกพิกัด y, y จะเท่ากับ 3 บวก t คูณ 2 บวก 2t
-
เราก็เขียนมันใหม่ว่า สมการแรกก็คือ
-
x เท่ากับ ลบ 2t, ส่วน y เท่ากับ 2t บวก 3
-
หากคุณดูวิดีโอเรื่องสมการพาราเมทริก
-
นี่คือนิยามการตั้งพาราเมทริก
-
ของเส้นตรงนี่ตรงนี้
-
ทีนี้, คุณอาจยังอยากมองนี่ว่า, ซาล, นี่มัน
-
เสียเวลาจริง ๆ, มันยุ่งเหยิงมาก
-
คุณต้องนิยามเซตนี้ อะไรอีกเพียบ
-
แต่ตอนนี้ผมจะแสดงให้คุณสิ่งที่คุณอาจ --
-
ยกเว้นว่าคุณจะเคยทำนี่มาแล้ว, แต่ผมว่า นี่คือ
-
ความจริงของอะไรก็ตาม
-
แต่คุณอาจยังไม่เคยใน
-
วิชาพีชคณิตทั่ว ๆ ไป
-
สมมุติว่าผมมีจุดสองจุด, และตอนนี้ผมกำลังยุ่ง
-
กับสามมิติ
-
สมมุติว่ามีเวกเตอร์หนึ่ง
-
ผมจะเรียกมันว่าจุด 1 แล้วกัน, เพราะ
-
นี่คือเวกตอร์ตำแหน่ง
-
เราจะเรียกมันว่าตำแหน่ง 1 แล้วกัน
-
นี่คือสามมิติ
-
ตั้งเลขขึ้นมา, ลบ 1, 2, 7
-
สมมุติว่าผมมีจุด 2
-
เหมือนเดิม, นี่คือสามมิติ, คุณก็ต้อง
-
ระบุพิกัดสามอัน
-
นี่อาจเป็นพิกัด x, y กับ z
-
จุด 2, ไม่รู้เหมือนกัน,
-
กำหนดเป็น 0, 3, กับ 4 แล้วกัน
-
ทีนี้, เกิดอะไรขึ้นหากผมอยากหาสมการของเส้นตรง
-
ที่ผานจุดสองจุดนี้ใน R3?
-
นี่ก็คือ R3
-
-
-
ทีนี้, ผมอยากบอกว่าสมการของเส้นตรงนี้ --
-
ผมจะเรียกนั่น, หรือเซตของเส้นตรงนี้, ขอผมเรียก
-
นี่ว่า l แล้วกัน
-
มันจะเท่ากับ -- เราสามารถเลือกจุด
-
ใดในนี้, มันอาจเป็น P1, เวกเตอร์ P1, พวกนี้
-
คือเวกเตอร์นะ, ต้องระวังหน่อย
-
เวกเตอร์ P1 บวกพารามิเตอร์สักตัว, t, t นี่อาจเป็น
-
เวลา, อย่างที่คุณเรียนไปตอนคุณเรียนเรื่องสมการ
-
พาราเมทริกตอนแรก, คูณผลต่างระหว่างเวกเตอร์สองตัว,
-
คูณ P1, มันไม่สำคัญว่าคุณจะเรียงมันยังไง
-
นั่นเป็นข้อดีอย่างนึง
-
P1 ลบ P2
-
มันอาจเป็น P2 ลบ P1 -- เพราะนี่สามารถ
-
เป็นค่าบวกหรือลบก็ได้ -- เพราะ t เป็นแค่สมาชิก
-
ของจำนวนจริง
-
งั้นลองใช้มันกับตัวเลขพวกนี้ดู
-
ลองใช้มันตรงนี้นะ
-
P1 ลบ P2 คืออะไร?
-
P1 ลบ P2 เท่ากับ -- ขอผมหาที่ตรงนี้หน่อยนะ
-
P1 ลบ P2 เท่ากับ, ลบ 1 ลบ 0 คือ ลบ 1
-
2 ลบ 3 ได้ ลบ 1
-
7 ลบ 4 ได้ 3
-
งั้นสิ่งนั่นก็คือเวกเตอร์นั่น
-
แล้ว, เส้นตรงนี้สามารถบรรยายเซตของเวกเตอร์
-
โดยหากคุณพลอตมันในตำแหน่งมาตรฐาน, มันจะ
-
เป็นเซตของเวกเตอร์ตำแหน่งนี้
-
มันก็คือ P1, มันจะได้ -- ขอผมใช้สีเขียวนะ -- มัน
-
จะเป็น ลบ 1, 2, 7
-
ผมอาจใส่ P2 ตรงนี้, เพื่อให้ง่าย -- บวก t คูณลบ
-
1, ลบ 1, 3 โดยที่ t คือสมาชิก
-
ของจำนวนจริง
-
ทีนี้, นี่อาจยังไม่ทำให้คุณพอใจ
-
คุณอาจบอกว่า, แล้ว, ผมจะพลอตนี่ยังไงในสามมิติ?
-
ค่า x, y, z จะอยู่ตรงไหน?
-
หากคุณอยากรู้ค่า x, y, และ z, สมมุติว่า
-
นี่คือแกน z,
-
นี่คือแกน x, สมมุติว่า แกน y
-
มันพุ่งเข้าไปในกระดานแบบนี้, แล้วแกน y
-
ออมาแบบนั้น
-
-
-
สิ่งที่คุณทำได้, ที่จริงผมอาจไม่
-
วาดกราฟนะ, ทีนี้พอหาพิกัด x, ตาม
-
ที่เราเขียนไว้, ก็คือเทอมนี่ตรงนี้
-
เราก็สามารถเขียน x นั่น -- ขอผมเขียนลงไปนะ
-
เทอมนั่นจะบอกพิกัด x ให้เรา
-
แล้วเราก็เเขียนว่า x เท่ากับ ลบ 1 -- ระวัง
-
สีด้วย -- ลบ 1, บวก ลบ 1 คูณ t
-
-
-
นั่นพิกัด x
-
ทีนี้, พิกัด y จะบอกได้ด้วยส่วนนี้
-
ในการบวกเวกเตอร์, เพราะนี่คือพิกัด y
-
เราเลยบอกได้ว่า พิกัด y เท่ากับ -- ผมจะเขียน
-
มันแบบนี้ -- 2 บวก ลบ 1 คูณ t
-
แล้วสุดท้าย, พิกัด z จะระบุ
-
ด้วยนั่นตรงนั้น, t ปรากฏขึ้น เพราะ t คูณ 3 -- หรือผม
-
อาจใส่ t ลงในทั้งหมดนี่
-
โดยพิกัด z จะเท่ากับ 7 บวก t คูณ 3, หรือ
-
ผมอาจบอกว่า บวก 3t ก็ได้
-
แบบนั้น, เราจะได้สมการพาราเมทริกสามอัน
-
ตอนที่เราทำใน R2, ผมได้สมการพาราเมทริกมา
-
แต่จากที่เราเรียนในพีชคณิต 1, คุณเขียน
-
y ในรูปของ x ได้
-
คุณไม่จำเป้นต้องใช้สมการพาราเมทริก
-
แต่ตอนคุณยุ่งกับ R3, วิธีเดียวที่คุณจะบรรยาย
-
เส้นตรงได้ คือ ใช้สมการพาราเมทริก
-
หากคุณมีสมการของ x, y, และ z, หาก
-
เรามี x บวก y บวก z เท่ากับเลขสักตัว, มัน
-
จะไม่ใช่เส้นตรง
-
เราจะพูดถึงนี่อีกใน R3
-
นี่คือระนาบ
-
-
-
วิธีเดียวที่จะนิยามเส้นตรงหรือเส้นโค้งใน
-
สามมติ, หากผมอยากบรรยายเส้นทางของแมลงวัน
-
ในสามมิติ, มันต้องเป็นสมการพาราเมทริก
-
หรือหากผมยิงกระสุนในสามมติ, แล้วมัน
-
เป็นเส้นตรง, มันต้องเป็นสมการพาราเมทริก
-
งั้นนี่ -- ผมว่าคุณคงเรียกมันได้ -- ว่านี่คือ
-
สมการของเส้นตรงในสามมิติ
-
หวังว่าคุณคงพบว่าามันน่าสนใจนะ
-
ผมว่านี่วิดีโอแรกที่คุณจะได้
-
เห็นซึ้งว่าพีชคณิตเชิงส้นนั้น สามารถแก้ปัญหา
-
หรือพูดถึงสิ่งที่คุณไม่เคยเห็นมาก่อน
-
มันไม่มีเหตุผลว่าทำไมเราต้องหยุดแค่สาม
-
หรือสามมิติ, ตรงนี้
-
เราอาจทำนี่ในห้าสิบมิติก็ได้
-
เราอาจนิยามเส้นตรงในห้าสิบมิติ -- หรือเซต
-
ของเวกเตอร์ที่นิยามเส้นตรง, โดยจุดสองจุดอยู่
-
ในห้าสิบมิติ -- ซึ่งอาจนึกภาพได้ยาก, แต่เรา
-
สามารถจัดการมันได้ด้วยคณิตศาสตร์นั่นเอง
-
-
Khan Academy
