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Todo lo que hemos hecho en álgebra lineal hasta este punto,
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te puede parecer, es la forma más difícil de hacer
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cosas que ya sabes hacer.
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Ya has trabajado con vectores.
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Supongo que algunos de ustedes ya han trabajado
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con vectores en sus clases de cálculo, precálculo
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o física.
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Pero en este video espero mostrarles algo que
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nunca han hecho en álgebra lineal,
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y que les hubiera sido difícil hacer
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si no hubiesen visto estos videos.
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Comenzaré, nuevamente, con una manera diferente de
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hacer algo que ya saben hacer.
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Definiré un vector aquí, en lugar de
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ponerlo en negrita, lo dibujaré con una flecha encima.
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Definiré un vector -- puedo ponerle la flecha
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o resaltarlo en negrita.
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Definiré mis vectores, será
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un vector en R2.
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Digamos que mis vector es el vector 2,1.
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Si lo dibujara,
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se vería así.
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Mueves dos a la derecha, uno hacia arriba, así.
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Ese mismo es mi vector v.
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Ahora, si te preguntara, cuáles son los posibles
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vectores que puedo crear?
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Déjame definir el conjunto.
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Definiré un conjunto s, que es igual a -- todos los vectores
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que puedo crear, si multiplicara v por
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alguna constante, así que multiplico una constante, un escalar
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por mi vector v, y para ser más formales
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diré que c pertenece a los números reales.
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Ahora, cuál sería la representación gráfica de este conjunto?
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Si los dibujamos todos, c podría ser
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cualquier número real.
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Si multiplico, c podría ser 2.
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Si c es 2, lo haré de esta manera.
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Si multiplico nuestro vector por 2, obtendré
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el vector 4, 2.
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Lo dibujaré, 4, 2.
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Ahí está.
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Es este vector de aquí.
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Es colineal con este primer vector.
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Está en la misma linea, pero sobresale 2.
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Podría haber hecho otro.
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Podría haber multiplicado 1.5 por nuestro vector.
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Lo haré de un color diferente.
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Y tal vez eso sería, qué sería?
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Sería 1.5 por 2, lo que es 2, 1.5.
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Adónde me llevaría ese vector?
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Iría 1.5 y luego 3, y luego 1.5,
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llegaría justo aquí.
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Y puedo multiplicar por cualquier número.
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Puedo multiplicar por 14999 el vector v, y
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llegaría justo a aquí.
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Podría usar -0.0001 por el vector v.
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Déjame escribirlo.
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Podría usar 0.001 por el vector v.
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Y dónde me pondría eso?
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Me pondría en un vector super pequeño aquí.
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Si usara -0.01, obtendría un vector muy pequeño
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justo ahí apuntando en esa dirección.
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Si usara -10, obtendría un vector yendo
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en esta dirección que sale así.
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Pero puedes imaginar que si dibujara todos
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los vectores, todos los que serían
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representados por cualquier c real, esencialmente
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terminaría dibujando un montón de vectores cuyas
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flechas estarían alineadas en esta recta de aquí,
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alineadas incluso en la dirección negativa -- déjenme asegurarme
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que lo dibujé correctamente -- a lo largo de esta recta.
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Creo que entienden la idea.
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Es un conjunto de vectores colineales.
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Déjenme escribirlo.
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Si vemos estos vectores como vectores de posición,
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este vector representa un punto en el espacio en R2 -- este R2
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es el plano de coordenadas Cartesiano en todas
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direcciones -- si miramos este vector como vector de posiciones --
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lo escribiré -- si lo vemos como un tipo de
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coordenada en R2, entonces este conjunto, si lo representamos visualmente
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como un montón de vectores de posición, sería representado
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por esta recta de aquí.
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Y quiero aclarar este punto porque es essencialmente
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un recta de inclinación 2.
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Correcto?
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Lo siento, inclinación 1/2.
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La elevación es 1.
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La elevación es 1 yendo 2 horizontalmente.
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Pero no quiero regresar a la notación
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de Álgebra 1 demasiado.
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Pero quiero aclarar este punto que esta recta de inclinación 2
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que pasa por el origen, esto es si dibujamos todos
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los vectores en el conjunto en su forma estándar, o
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si los dibujamos todos como vectores de posición.
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Si no aclaro o califico esto,
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podría haber dibuajdo estos vectores en cualquier lugar.
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Correcto?
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Porque este vector 4, 2, lo podría haber dibujado aquí.
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Entonces, decir que esto es colineal probablemente
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no hubiese tenido sentido, visualmente.
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Pero creo que esta colinealidad tiene más sentido
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si los dibujamos todos de forma estándar.
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Todos comienzan en el origen, y sus colas
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están en el origen, y las cabezas van hasta la
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coordenada que representan.
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Eso es lo que quiero decir por vectores de posición.
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No necesariamente tienen que ser vectores de posición,
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pero para la visualización de este video, usemos esa regla.
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Ahora, solo puedo representar algo
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que pasa por el origen con esta inclinación.
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Asi que ya casi pueden ver que este vector
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representa si inclinación.
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Casi queremos verlo como un vector de inclinación,
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si quisieras asociarlo a lo que aprendiste en Álgebra 1.
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Y si quisiéramos representar otras rectas
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que tuvieran esa inclinación?
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Si quisiéramos representar la misma recta, o una
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recta paralela-- que pasa por este punto aquí,
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el punto 2,4?
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O si pensamos en forma de vectores de posición, podríamos
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decir que ese punto es representado por el vector,
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y lo llamaremos x.
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Es representado por el vector x.
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Y el vector x es igual a 2, 4.
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Ese punto de ahí.
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Y si quisiéramos representar la recta paralela
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a esta que pasa por el punto 2, 4?
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Quiero representar esta recta de aquí.
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La dibujaré tan paralela como pueda.
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Creo que entiendes la idea, y sigue
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en todas las direcciones.
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Estas dos rectas son paralelas.
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Cómo podría representar el conjunto de todos estos vectores,
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dibujados de manera estándar, o todos los vectores,
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que si los dibujara de forma estándar, formarían esta recta?
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Puedes pensarlo de esta manera.
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Si cada uno de los vectores que representan esta recta,
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si comienzo con cualquier vector en esta recta, y le sumo
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mi vector x, llegaré a un punto correspondiente
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en este recta, que es donde quiero estar.
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Correcto?
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Digamos que multiplico -2 por mi original,
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asi que -2 por mi vector v, que era igual a qué?
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-4, -2, ese vector de ahí.
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Pero si le sumara x --
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Haría -2 por mi vector v, y le sumara x
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así que más x.
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Estoy sumando este vector 2, 4, así que de aquí
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me movería 2 a la derecha, y 4 hacia arriba, y llegaría aquí.
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O visualmente, podrías decir, de pies a cabeza,
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así que llegaría aquí.
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Así que terminaría
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en el punto correspondiente.
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Así que cuando defino mi conjunto s, como el conjunto de todos los puntos
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donde multiplico v por un escalar, obtengo esto
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que pasa por el origen.
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Pero ahora definiré otro conjunto.
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Definiré el conjunto l, que equivale
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al conjunto de vectores donde el vector x -- podría ponerlo en negrita
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o con una flecha encima -- más algún escalar,
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podría usar c, pero usaré t porque le llamaré
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una parametrización de la recta,
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más algún escalar, t por mi vector v de forma que t
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podría ser cualquier número real.
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Qué será esto?
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Será esta recta azul.
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Si dibujara todos estos vectores en posición estándar,
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obtendré mi linea azul.
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Por ejemplo, si tomo -2, este -2,
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por mi vector v, llego aquí.
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Y luego si le sumo x, llego aquí.
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Este vector que termina justo allí,
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su punto final pertenece a la recta.
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Puedo hacerlo cuan cualquier cosa.
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Si tomo este vector, este es un escalar multiplicado por el vector v,
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y le sumo x, obtengo este vector,
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cuyo punto final, si lo veo como vector de posición,
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dicta coordenadas en el plano xy.
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Así que dictará
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ese punto.
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Así puedo obtener cualquiera de estos vectores.
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Este es un conjunto de vectores, y todos estos vectores
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apuntarán hacia algo --
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cuando los dibujo en froma estándar --
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apuntarán a
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un punto en la recta azul.
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Ahora Uds. dirán, oye Sal, esta es una manera realmente obtusa
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de definir una línea.
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Quiero decir que lo hicimos en Algebra 1, donde nostros sólamente deciamos , oye sabes
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y es igual a mx más b.
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Y averiguar la pendiente por averiguar la diferencia de
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dos puntos, y entonces nosotros hacemos una pequeña sustitución.
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Y este es materia que fue aprendida en séptimo u octavo grado.
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Esto fue realmente sencillo.
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¿Por qué estoy definiendo este conjunto obtuso acá y haciendoles pensar
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en terminos de conjuntos y vectores y sumatoria de vectores?
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Y la razón es, es porque esto es muy general.
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Esto funcionó bien en R2.
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Así que en R2, esto está genial.
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Quiero decir, sólo tenemos que preocuparnos acerca de las x's y de las y's.
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Pero que pasa en la situación, quiero decir fígense en sus clases de algebra,
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el profesor nunca realmente les contó mucho, por lo menos
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en los que yo tomo, acerca de cómo Uds. presentan líneas en tres
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dimensiones?
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A lo mejor algunas clases lo presentó, pero definitivamente no
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les contó como se representan líneas en cuatro dimensiones, o en
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cien dimensiones.
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