Sử dụng trực giác cho Định lý Cơ bản Thứ hai của Giải Tích | AP Giải Tích AB | Khan Academy

Phần thứ hai của định lý cơ bản của giải tích cho chúng ta biết rằng để tìm tích phân xác định của một hàm Ä từ _ đến _, chúng ta cần lấy một đạo hàm của Ä, gọi nó là _, và tính _ (_) -_ (_) . Sử dụng trực giác để hiểu lý do tại sao điều này là đúng. Tạo bởi Sal Khan.

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-diff-equations/ab-diff-eq-intro/v/differential-equation-introduction?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-antiderivatives-ftc/ab-ftc-opt-vids/v/proof-of-fundamental-theorem-of-calculus?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

AP Giải tích AB trên Khan Academy: Bill Scott sử dụng Khan Academy để dạy môn giải tích AP ở Phillips Academy tại Andover, Massachusetts, và việc giảng dạy đến từ đội ngũ của anh ấy đã hỗ trợ phát triển các bài giảng về giải tích AP của Khan Academy. Phillips Academy là một trong những trường đầu tiên dạy giải tích AP từ gần 60 năm trước.

Về Khan Academy: Khan Academy cung cấp những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập theo từng cá nhân nhằm cho phép người dùng độc lập về thời gian và không gian trong quá trình học tập bên ngoài lớp học. Chúng tôi tự hào mang đến các chương trình dạy về Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Các nhiệm vụ trong phần Toán học hướng dẫn học sinh trình độ Mẫu giáo sử dụng và làm quen với phép toán bằng những công nghệ tiên tiến để tìm ra được những điểm mạnh, và bù vào lỗ hổng kiến thức của các em nhỏ. Chúng tôi cũng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và học viện MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh AP Giải Tích AB của Khan Academy: https://www.youtube.com/channel/UCyoj0ZF4uw8VTFbmlfOVPuw?sub_confirmation=1
Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Mình có hàm số s(t)

được dùng như một hàm số theo thời gian.

Để mình thử biểu diễn s(t) bên đây.

Chúng mình có trục hoành là trục thời gian.

Để mình vẽ gì đó.

Mình sẽ vẽ nó hơi giống với một parabol.

Mặc dù mình có thể vẽ nó chung chung

nhưng mình làm vậy để cho dễ xem hơn.

Nên nó sẽ giống với một hình parabol.

Mình sẽ gọi đây là trục tung.

Mình có thể gọi đây là y = s(t) như một cách dễ hiểu

để biểu diễn vị trí của nó như một hàm số theo thời gian.

Bây giờ, hãy nghĩ xem điều gì sẽ xảy ra

nếu bạn muốn nghĩ về sự biến thiên trong vị trí

giữa 2 mốc thời gian khác nhau, mình sẽ cho nó là thời điểm a--

chúng mình có thời điểm a ngay đây, và
bên đây là thời điểm b

Vậy bên đây sẽ thời điểm b.

Vậy vị trí giữa thời điểm a và thời điểm b

sẽ biến thiên như thế nào?

Tại thời điểm b, chúng mình đang ở vị trí s(b).

Và ở thời điểm a, chúng mình đang ở vị trí s(a).

Vậy sự biến thiên trong vị trí giữa

thời điểm a và b-- để mình viết nó xuống

mình sẽ viết nó mặc dù bạn có thể xem nó

như điều hiển nhiên-- giữa thời điểm a và b

sẽ bằng với s(b), vị trí này

trừ đi vị trí này, s(a).

Nãy giờ mình vẫn chưa nói đến cái gì mới cả.

Nhưng bây giờ, hãy nghĩ xem điều gì sẽ xảy ra

nếu mình lấy đạo hàm của hàm số này ngay đây,

Vậy điều gì sẽ xảy ra nếu mình lấy đạo hàm

của một vị trí như một hàm số theo thời gian?

Hãy nhớ là, đạo hàm cho chúng mình biết

hệ số góc của tiếp tuyến tại bất kì điểm nào.

Chúng mình hãy lấy điểm này ngay đây

Hệ số góc của tiếp tuyến

cho mình biết với một sự biến thiên rất nhỏ của t--

trên hình này là mình đang phóng đại nó lên--

với một sự biến thiên rất, rất nhỏ

trong t, vị trí của chúng mình sẽ thay đổi như thế nào?

Mình sẽ viết là ds trên dt là đạo hàm của

hàm số vị trí tại bất kì điểm nào.

Vậy, nếu chúng mình đang nói về độ biến thiên của vị trí

theo thời gian, vậy nó là gì?

Điều đó sẽ bằng với vận tốc.

Vậy nó sẽ bằng với vận tốc.

Nhưng để mình viết nó bằng kí hiệu khác.

Vậy chính cái này sẽ là một hàm số theo thời gian.

Mình có thể viết nó là bằng s phẩy t.

Đây là 2 cách khác nhau

để viết đạo hàm của s theo t.

Cách viết này thể hiện rõ hơn

là nó là chính một hàm số theo thời gian.

Và chúng mình biết rằng điều này tương tự với vận tốc

như một hàm số theo thòi gian,

mà mình sẽ viết nó là v(t)

Vậy chúng mình hãy thử biểu diễn v(t) nhé.

Hãy thử vẽ nó ra xem nào.

Để mình thêm một hệ trục dưới đây,

nhìn nó khá giống với cái ban đầu đấy.

Nhìn ổn đấy.

Và giờ mình sẽ thử biểu diễn v(t).

Một lần nữa, đây là trục tung, trục hoành của mình.

Và mình sẽ vẽ y = v(t).

Nếu như đây là một parabol,

vậy hệ số góc ở đây sẽ là 0, độ biến thiên sẽ là 0,

và nó sẽ tiếp tục tăng dần.

Độ dốc sẽ càng tăng lên.

Vậy v(t) sẽ nhìn như thế này này.

Đây là đồ thị hàm y = v(t).

Bây giờ, bằng đồ thị này, hãy xem nếu

chúng mình có thể khái niệm hóa khoảng cách, hoặc sự

biến thiên trong vị trí giữa thời điểm a và thời điểm b

Hãy quay lại với tổng Riemann nhé.

Thử nghĩ xem diện tích của một hình chữ nhật rất nhỏ

sẽ biểu diễn điều gì.

Mình sẽ chia phần này thành các hình chữ nhật.

Mình sẽ vẽ một hình chữ nhật khá lớn

để chúng mình có không gian một tí.

Nhưng bạn có thể hình dung những hình nhỏ hơn.

Và mình sẽ tính tổng Riemann trái ở đây,

vì chúng mình đã luyện tập nó rất nhiều rồi.

Nhưng bạn có thể tính tổng Riemann phải.

Bạn có thể tính tổng hình thang.

Có thể làm theo bất cứ cách nào bạn muốn.

Bạn có thể tiếp tục vẽ các hình này,

nhưng mình sẽ vẽ 3 hình.

Mình sẽ vẽ thêm một hình ở đây.

Đây là một hình vẽ ước lượng đại khái thôi

nhưng bạn có thể hình dung là nó sẽ còn tiến gần hơn nữa.

Vậy diện tích của từng hình chữ nhật ở đây

nó xấp xỉ với điều gì?

Ở ngay đây, bạn có f(a),

hoặc mình nên nói là v(a) mới đúng.

Vậy vận tốc tại thời điểm a sẽ là chiều dài ở ngay đây.

Và khoảng cách này dưới đây

là sự biến thiên của thời gian, delta t.

Vậy diện tích của hình chữ nhật này sẽ là vận tốc

tại thời điểm đó nhân với sự biến thiên của thời gian.

Vậy vận tốc tại thời điểm đó nhân với

sự biến thiên của thời gian là gì nhỉ?

Nó sẽ bằng với sự biến thiên của vị trí.

Đây sẽ là một sự ước lượng cho

sự biến thiên của vị trí theo thời gian.

Diện tích của hình chữ nhật này sẽ xấp xỉ với

sự biến thiên của vị trí theo một delta t khác.

Và rồi, bạn cũng có thể hình dung phần này ngay đây

sẽ xấp xỉ với sự biến thiên

của vị trí theo một delta t khác nữa.

Vậy, nếu bạn muốn biết được sự biến thiên

của vị trí giữa a và b, bạn có thể tính

tổng Riemann nếu như bạn muốn ước lượng nó.

Bạn sẽ có tổng từ i bằng 1

đến i bằng n của v-- mình sẽ tính tổng Riemann trái ở đây,

nhưng bạn hoàn toàn có thể tính tại trung điểm,

Bạn có thể dùng hình thang.

Bạn cũng có thể tính tổng Riemann phải.

Nhưng mình sẽ tính tổng Riemann trái,

vì mình đã vẽ nó bên đây, v của t i trừ 1.

Vậy đây sẽ là t0, là a.

Đây là hình chữ nhật đầu tiên.

Vậy với hình chữ nhật đầu tiên, bạn tính hàm số tại t0.

Với hình chữ nhật thứ hai, bạn tính

hàm số tại t1.

Chúng mình đã làm việc này ở nhiều video rồi đấy.

Và rồi mình sẽ nhân nó với từng độ biến thiên của thời gian.

Điều này sẽ xấp xỉ với tổng của--

để mình viết rõ ra nhé, khi delta t

bằng với b trừ a chia cho số khoảng mà ta có.

Chúng mình đã biết được, qua rất nhiều video là

khi chúng mình nhìn vào một tổng Riemann,

nó sẽ là một sự xấp xỉ với 2 thứ.

Chúng mình đã nói rằng nó sẽ xấp xỉ với sự biến thiên

của vị trí, nhưng nó cũng sẽ xấp xỉ với sự biến thiên của diện tích.

Vậy điều này ở ngay đây.

Chúng mình đang cố gắng ước lượng sự biến thiên của vị trí.

Và điều này cũng xấp xỉ với phần diện tích bên dưới đường cong.

Vậy mình hi vọng điều này có thể làm bạn thỏa mãn

nếu như bạn có thể tính được diện tích phần dưới đường cong,

mà thật ra thì nó khá dễ, vì nó là một hình thang.

Nhưng mà ngay cả khi đây là một hàm số, một hàm số khá kỳ quặc

nó vẫn có thể áp dụng được khi bạn

tính diện tích phần dưới đường cong của hàm số vận tốc,

bạn thật ra đang đi tìm sự biến thiên của vị trí đấy.

Vậy 2 điều đó chính là đây.

Vậy bạn có thể làm gì,

để tính được diện tích chính xác của phần bên dưới đường cong,

hay độ biến thiên chính xác của vị trí?

Chúng mình có mấy hình chữ nhật ở đây.

Mình sẽ lấy giới hạn khi số hình chữ nhật

mà mình có tiến đến vô cùng.

Mình sẽ lấy giới hạn khi n tiến đến vô cùng.

Và khi n tiến đến vô cùng, vì delta t là bằng

b trừ a chia cho n,

nên delta t sẽ trở nên nhỏ vô tận.

Nó sẽ trở thành dt, đó là một cách để nghĩ về nó.

Và chúng mình đã có ký hiệu cho nó rồi.

Đây là một cách để nghĩ về tích phân Riemann.

Mình chỉ mới dùng tổng Riemann trái.

Nhưng mình cũng có thể dùng tổng Riemann phải.

Mình có thể tính tổng Riemann một cách tổng quát hơn,

nhưng cái này sẽ hợp.

Vậy nó sẽ bằng với tích phân xác định

từ a đến b của v(t) dt.

Vậy điều này ngay đây là một cách để nói là,

nếu bạn muốn tính chính xác diện tích phần dưới đường cong,

của đường cong vận tốc, nó sẽ là độ biến thiên chính xác của vị trí

giữa a và b, mình có thể biểu diễn nó theo cách này.

Nó sẽ là giới hạn của tổng Riemann này khi n tiến đến vô cùng

hay là tích phân xác định từ a đến b của v(t) dt.

Chúng mình vừa tìm ra điều gì?

Hãy nhớ là, chúng mình có thể gọi đây là

độ biến thiên chính xác của vị trí giữa thời điểm a và b.

Nhưng chúng mình đã biết được độ biến thiên chính xác

của vị trí giữa thời điểm a và b là gì rồi.

Nó là điều này ở ngay đây.

Điều này thật thú vị.

Giờ chúng mình đã có cách để đánh giá tích phân xác định này rồi.

Về mặt khái niệm, chúng mình đã biết

đây là độ biến thiên chính xác của thời gian giữa a và b.

Nhưng chúng mình cũng đã tìm ra được cách để tính

độ biến thiên chính xác của thời gian giữa a và b.

Vậy để mình viết nó xuống hết.

Chúng mình có tích phân xác định từ a đến b

của v(t) dt bằng với s(b) trừ đi s(a)

với-- để mình viết bằng màu khác-- với s(t)

là-- chúng mình đã biết là v(t) là đạo hàm của s(t),

vậy nên mình có thể nói là với s(t) là nguyên hàm của v(t).

Và khái niệm này, mặc dù mình đã viết nó

theo một cách khác, sử dụng vị trí và vận tốc--

nhưng đây là Định lý cơ bản thứ hai của giải tích.

Chắc bạn đang tự hỏi cái thứ nhất là gì

Chúng mình sẽ nói về nó trong một video khác nhé.

Nhưng đây là một cách cực kì hữu ích để đánh giá

một tích phân xác định và tìm diện tích

của phần dưới đường cong. Định lý cơ bản thứ hai

của giải tích, gắn liền chặt chẽ với Định lý cơ bản thứ nhất

của giải tích, nhưng mình sẽ không nói về nó bây giờ.

Vậy tại sao điều này lại quan trọng?

Để mình viết nó dưới ký hiệu tổng quát hơn nhé,

đó là cách mà bạn đã quen thấy nó

trong sách giải tích của bạn.

Nó cho chúng mình biết là, nếu mình muốn tìm diện tích

của phần bên dưới đường cong giữa 2 cận a và b

của f(x)-- đây là cách mình biểu diễn

diện tích phần bên dưới đường cong giữa 2 khoảng này.

Để mình vẽ ra cho bạn hiểu được

mình đang nói một cách tổng quát về điều gì .

Vậy cái này ngay đây sẽ là f(x).

Và chúng mình quan tâm đến diện tích phần bên dưới đường cong giữa a và b.

Nếu bạn muốn tính diện tích chính xác của phần bên dưới đường cong,

bạn có thể làm điều đó bằng cách lấy nguyên hàm của f.

Và hãy cho là F(x) viết hoa là nguyên hàm--

hay một nguyên hàm, vì bạn có thể có nhiều nguyên hàm

tùy thuộc vào hằng số-- nó là một nguyên hàm của f.

Và sau đó bạn chỉ cần phải tính nguyên hàm

tại hai cận và tìm hiệu của chúng.

Vậy bạn thay cận trên vào trước.

Bạn sẽ phải thay 2 cận vào nguyên hàm này

và lấy nguyên hàm thay cận dưới vào và trừ đi nguyên hàm

được thay cận trên.

Vậy bạn sẽ có F(b) viết hoa trừ đi F(a) viết hoa.

Vậy nếu bạn muốn tính được diện tích chính xác của phần dưới đường cong,

bạn sẽ phải lấy nguyên hàm của nó

và thay cận trên vào,

và từ đó, trừ đi cận dưới.

Mình hi vọng là bạn hiểu được nó.

Trong các video tiếp theo, chúng mình sẽ áp dụng nó.