Cực tiểu, cực đại và các điểm cực trị

Sal giới thiệu các "điểm tới hạn" của một hàm và thảo luận về mối quan hệ của chúng với các điểm cực trị của hàm. Tạo bởi Sal Khan.

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-deriutions-analyze-functions/ab-critical-points/v/finding-critical-numbers?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign = APCalculusAB

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-deriutions-analyze-functions/ab-justification-with-first-derivative/v/analyzing-a- Chức năng-with-its-derivative? utm_source = YT & utm_medium = Desc & utm_campaign = APCalculusAB

AP Giải tích AB trên Học viện Khan: Bill Scott sử dụng Học viện Khan để dạy Giải tích AP tại Học viện Phillips ở Andover, Massachusetts và là thành viên của nhóm giảng dạy đã giúp phát triển các bài học AP của Khan AcademyÕ. Học viện Phillips là một trong những trường đầu tiên dạy AP cách đây gần 60 năm.

Giới thiệu về Học viện Khan: Học viện Khan là một tổ chức phi lợi nhuận với sứ mệnh cung cấp nền giáo dục miễn phí đẳng cấp thế giới cho mọi người, ở bất kỳ đâu. Chúng tôi tin rằng người học ở mọi lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí mà họ có thể làm chủ theo tốc độ của riêng mình. Chúng tôi sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan để trợ giúp sinh viên và giáo viên trên toàn thế giới. Các nguồn lực của chúng tôi bao gồm giáo dục mầm non đến giáo dục đại học sớm, bao gồm toán, sinh học, hóa học, vật lý, kinh tế, tài chính, lịch sử, ngữ pháp và hơn thế nữa. Chúng tôi cung cấp dịch vụ luyện thi SAT được cá nhân hóa miễn phí với sự hợp tác của nhà phát triển bài thi, College Board. Học viện Khan đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ và 100 triệu người sử dụng nền tảng của chúng tôi trên toàn thế giới mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia với chúng tôi trên Facebook hoặc theo dõi chúng tôi trên Twitter tại @khanacademy. Và hãy nhớ rằng, bạn có thể học bất cứ điều gì.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Đăng ký kênh Khan AcademyÕs AP Calculus AB: https://www.youtube.com/channel/UCyoj0ZF4uw8VTFbmlfOVPuw?sub_confirmation=1
Đăng ký Học viện Khan: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Mình sẽ vẽ ở đây một cái hàm số

Và mình muốn bạn xem là

hàm số này lấy giá trị cực đại

và giá trị cực tiểu ở đâu.

Và trong trường hợp này,

mình cứ giả sử là đồ thị hàm số

sẽ càng thấp

khi x càng là số âm, và thấp hơn

khi x tiến ra khỏi khoảng

mà mình đã vẽ ở đây.

Vậy giá trị cực đại ở đây là gì?

Mình có thể nhìn ở đây

nó có vẻ là điểm này ngay đây,

vậy mình gọi nó là cực đại toàn diện.

Và hàm số sẽ không lấy giá trị lớn hơn này.

Vậy mình có thể nói là cực trị toàn diện tại điểm x0.

Vì f(x0) sẽ lớn hơn hoặc bằng f(x)

đối với bất kỳ x nào trong miền xác định.

Và nó khá hiển nhiên nếu bạn nhìn vào nó.

Giờ xem mình có điểm cực tiểu toàn diện

nếu mà mình vẽ như vậy không?

Sẽ không nhé.

Hàm số sẽ không lấy một giá trị âm
bất kỳ nào.

Nó tiến tới âm vô cực

khi x tiến tới âm vô cực.

Khi nó tiến tới âm vô cực,

x sẽ tiến tới dương vô cực

Vậy giờ mình có là

mình sẽ không có cực tiểu toàn diện.

Có một câu hỏi cho bạn là

mình có cực đại hay cực tiểu cục bộ hay không?

(minima là số nhiều của minimum)

(maxima là số nhiều của maximum)

Vậy giờ mình có cực tiểu cục bộ ở đây không?

Cái đó bạn có thể hiểu là nó là

giá trị của hàm tại điểm thấp hơn

những điểm xung quanh nó

Vậy bạn nhìn ở đây, có vẻ mình có cực tiểu cục bộ

Và mình sẽ không để định nghĩa ở đây.

Nhưng một cách để nghĩ là

mình có thể nói là mình có
cực tiểu cục bộ tại x1

nếu mình có một vùng xung quanh x1,

thì f(x1) sẽ nhỏ hơn bất kỳ f(x) nào khác
với x nằm trong vùng này.

Và nó cũng khá dễ để nhìn thấy nữa.

Đây là điểm thấp cho bất kỳ giá trị f nào
xung quanh nó,

ở đây đây.

Vậy mình còn cực tiểu cục bộ nào khác không?

Có vẻ là không rồi nhỉ.

Vậy còn cực đại cục bộ?

Cái này ở ngay đây, để mình đổi màu tím

Mình không muốn bị lẫn lộn,

thôi hay màu này nhỉ-- cái điểm ở ngay đây

là cực đại cục bộ đây.

Cực đại cục bộ ở đây ha.

Vậyy mình có thể nói
x1, à không tại điểm x2

mình có điểm cực đại cục bộ tại x2.

Vì f(x2) sẽ lớn hơn bất cứ f(x) nào

mà x nằm gần x2.

Cái này tượng trưng thôi

Nhưng mà bạn nhìn vào cũng thấy được.

Cũng dễ thấy ha.

Mình đã xác định được các điểm cực tiểu
và cực đại

mà được gọi chung là cực trị trong hàm này

Giờ làm sao để mình thực sự tìm nó,

nếu mình biết đạo hàm của hàm số?

Giờ mình sẽ xét đạo hàm

của mỗi điểm này nhé

Vậy điểm đầu tiên ngay đây,

Nếu mình thử hình dung đường tan đây,

để mình thử màu khác,

nếu mình hình dung đường tan đây,

nó sẽ trông như thế này đây.

Còn hệ số góc ở đây bằng 0.

Vậy mình có thể nói đạo hàm f(x0) bằng 0

Vậy hệ số góc của đường tan tại điểm này là 0

Vậy còn ở đây thì sao

Một lần nữa thì đường tan

sẽ trông như thế này đây.

Nếu mình nói đạo hàm f(x1) bằng 0

Vậy còn ở đây thì sao?

Đường tan này không xác định được

Mình có một hệ số góc dương

rồi sau đó nó đổi liền thành số âm

Vậy ở đây, đạo hàm f(x2) không xác định

Để mình viết xuống.

Ở đây mình có cái này khá hay,

để cho bạn hiểu cách cái này hoạt động nhé.

Bạn thấy là nếu mình có cực trị,

mình đang không nói về khi x

là một đầu mút trong một khoảng,

mình chỉ muốn làm rõ cái mình đang nói về x

như điểm cực trị trong khoảng

Mình sẽ có một hàm số

mà tại có mình có một khoảng từ đó.

Vậy cứ cho là hàm số bắt đầu ở đây,

và cứ tiếp tục đi.

Cái này sẽ là cực đại, nhưng nó sẽ là đầu mút.

Mình thì đang không đề cập đầu mút ở đây,

mình chỉ dùng các điểm ở giữa,

hoặc khi mà khoảng của mình vô cực.

Vậy mình đang không nói về mấy điểm như này,

hay điểm này.

Mình đang nói tới các điểm ở giữa.

Vậy nếu bạn có một điểm trong khoảng,

nó sẽ là cực đại hoặc cực tiểu.

Và mình thấy được cái trực giác ở đây

Nếu bạn có -- cực tiểu và cực đại không đầu mút,

cho x bằng a

Vậy nếu bạn biết bạn có cực tiểu và cực đại

ở một điểm x bằng a,

và x không phải đầu mút của khoảng,

cái này sẽ cho bạn biết là

hay ít nhất mình có thể thấy được

là đạo hàm tại x bằng a

sẽ bằng 0.

Hoặc đạo hàm tại x bằng a sẽ không xác định

Và trong mỗi trường hợp này,

đạo hàm là 0, đạo hàm là 0,
đạo hàm không xác định.

Và mình có một từ cho các điểm

khi mà đạo hàm bằng 0 hay không xác định.

Mình gọi chung là cực trị.

Vì vậy trong hàm số này,

cực trị là các điểm có bao gồm x0

bao gồm x1

tại x0 và x1, đạo hàm bằng 0.

Và x2 thì hàm số không xác định.

Giờ nếu mình có cực đại và cực tiểu
không đầu mút,

thì nó sẽ là cực trị

Nhưng mình có nói ngược lại được không?

Nếu mình tìm cực trị tại đạo hàm bằng 0

hay đạo hàm không xác định,

thì nó có là cực tiểu hay cực đại không?

Và bạn có thể tưởng tượng là điểm này đây

hãy gọi nó là x3.

Nếu mình nhìn vào đường tan ngay đây,

nếu mình xét hệ số góc

thì có vẻ là đạo hàm f(x3) cũng bằng 0.

Vậy dựa vào định nghĩa của cực trị,

x3 cũng có thể là cực trị.

Nhưng nó không có vẻ là cực tiểu hay cực đại

vậy điểm cực tiểu hay cực đại và không phải đầu mút

thì chắc chắn là cực trị

nhưng mà cực trị thôi

thì không có nghĩa là cực tiểu hay cực đại.

Vậy để rõ ràng hơn thì các điểm này là

cực tiểu hoặc cực đại.

Đây là cực trị

tất cả cái này là cực trị.

Nhưng mà đây không phải điểm cực tiểu hay cực đại

Trong video tiếp theo, mình sẽ xét về

làm sao để lấy đạo hàm, làm sao để biết

mình có cực tiểu hay cực đại

tại điểm cực trị.