Minima, maxima and critical points

Desenhei uma função maluca
em amarelo.

E quero pensar em quando essa função

tem valores máximos e mínimos.

E para o objetivo desse vídeo
podemos assumir

que o gráfico da função fica
cada vez mais decrescente.

Enquanto <i>x</i> fica mais e mais negativo,
e mais decrescente

enquanto <i>x</i> passa pelo intervalo
que eu defini aqui.

Então qual o valor máximo dessa função?

Podemos deduzir olhando.
Parece estar nesse ponto.

Então podemos chamar de
máximo global.

A função nunca terá um
valor maior que esse.

Então podemos dizer que temos
um máximo global nesse ponto.

No ponto <i>x</i> zero, pois <i>f</i> de <i>x</i> zero
é maior ou igual

a f de <i>x</i> para qualquer <i>x</i> no domínio.

E é óbvio quando você olha assim.

Agora, teremos um ponto mínimo global
da maneira que eu desenhei?

Bem, não, essa função pode ter
valores arbitrariamente negativos.

Se aproxima a menos infinito quando
x tende a menos infinito.

Se aproxima a menos infinito quando
x tende a mais infinito.

Então temos-- deixe-me escrever.

Não temos mínimo global.

Vou te fazer uma pergunta:

Temos mínimos locais ou máximos locais?

Quando digo mínimos, é o plural de mínimo

e máximos é o plural de máximo.

Então temos mínimos locais aqui,
ou mínimo local?

Bem, um mínimo local, pode-se imaginar,
significa que o valor da função

nesse ponto é menos que qualquer
outro ponto em volta.

Bem aqui, parece que temos
um mínimo local.

E não estou te dando uma definição
rigorosa aqui, mas uma forma

de pensar é, podemos dizer que temos
um mínimo local em x um.

Se temos uma região ao redor de <i>x</i> um,
onde f de x um é menor que

um <i>f</i> de <i>x</i> para qualquer <i>x</i>
nessa região aqui.

E é bem fácil de visualizar.

Esse é um ponto baixo para qualquer
valor de f em torno disso, bem aqui.

E temos alguns outros mínimos locais?

Bem, não parece que temos.

Agora, veremos máximos locais.

Esse daqui-- vou fazer aqui em roxo.

Não quero que as pessoas se confundam,
na verdade vou fazer nessa cor.

Esse ponto aqui parece ser
um máximo local.

Local, não lox. Tem a ver
com salmão.

Máximo local bem aqui.

Máximo local, podemos dizer que no ponto
x um, e no ponto-- perdão, no ponto x dois

temos o máximo local em <i>x</i> dois
porque f de x dois é maior que

<i>f</i> de <i>x</i> para qualquer <i>x</i>
na vizinhança, perto de x dois.

Não estou sendo rigoroso, mas você
pode perceber apenas olhando.

Justo o suficiente, identificamos todos os

máximos e mínimos, frequentemente
chamados de extremos para essa função.

E como podemos identificá-los se

soubéssemos algo sobre
a derivada da função?

Vamos olhar a derivada para cada
um desses pontos.

Nesse primeiro ponto aqui,
se eu fosse visualizar a reta tangente.

Vou fazer numa cor melhor que marrom.

Se eu fosse visualizar a reta tangente
se pareceria com algo assim.

A inclinação aqui é zero.

Diremos que <i>f</i> linha de <i>x</i> zero
é igual a zero.

A inclinação da reta tangente
nesse ponto é zero.

E aqui?

Bem, de novo, a reta tangente
se pareceria com algo assim.

Novamente, diremos <i>f</i> linha de
x um é igual a zero.

E aqui?

Aqui, a reta tangente não é definida.

Temos uma inclinação positiva passando
e então, imediatamente se torna negativa.

Então aqui, <i>f</i> linha de <i>x</i> dois
não é definida.

Não, vou escrever indefinida.

Temos algo interessante e, de novo,
não estou provando rigorosamente.

Só quero que você tenha a intuição aqui.

Vemos que se tivermos um tipo de extremo--
e não estou falando quando

<i>x</i> está num ponto final
do intervalo.

Só para ser claro, o que quero dizer
quando x é um ponto final de um intervalo.

Digamos que a função é,

digamos que temos um intervalo
a partir daqui.

Digamos que a função começa aqui
e continua.

Esse seria um ponto máximo,
mas seria um ponto final.

Não estamos falando sobre pontos finais,
estamos falando sobre quando

temos pontos na curva, ou quando
nosso intervalo é infinito.

Não estamos falando de
pontos assim ou assim.

Estamos falando sobre os pontos
dentro da curva.

Se você tem um ponto num intervalo,
será mínimo ou máximo.

E vemos a intuição aqui.

Se temos-- então não-ponto final,

não-ponto final, mínimo ou máximo

e digamos que <i>x</i> é igual a <i>a</i>.

Se você sabe que existe um ponto
máximo ou mínimo

em algum ponto <i>x</i> igual a <i>a</i>
e x não é o ponto final.

<i>x</i> não é o ponto final de algum intervalo.

Isso te diz algo interessante ou
pelo menos a intuição.

Vemos que a derivada em <i>x</i> igual a
a será igual a zero ou

a derivada em <i>x</i> igual a <i>a</i> será
indefinida.

E vemos isso em cada um dos casos.

Derivada é zero, derivada é zero.

Derivada é indefinida.

E temos uma palavra para esses pontos
onde a derivada

ou é zero ou a derivada é indefinida.

Chamamos de pontos críticos.

Assim, para essa função,
os pontos críticos.

Os pontos críticos são-- se incluirmos
x zero.

Podemos incluir <i>x</i> um, em <i>x</i> zero
e x um, a derivada é zero

e <i>x</i> dois, onde a função é indefinida.

Agora, se temos um não-ponto final,
mínimo ou máximo,

então será um ponto crítico, mas
podemos dizer da outra maneira.

Se podemos achar um ponto crítico
onde a derivada é zero ou

a derivada é indefinida, será
ponto máximo ou mínimo?

E para pensar nisso, vamos imaginar
esse ponto aqui, chamamos de x três.

Se olharmos pra reta tangente aqui;

se olharmos pra inclinação aqui,

parece <i>f</i> linha de <i>x</i> três é igual a zero.

Baseado em nossa definição
de ponto crítico,

<i>x</i> três também seria ponto crítico.

Mas não parece ser um
ponto máximo ou mínimo.

Então ponto mínimo e máximo.

Isso não é um ponto final.

Será certamente um ponto crítico,
mas um ponto crítico,

ser um ponto crítico por si não significa
que está em um ponto mínimo ou máximo.

Para ser claro, em todos os pontos

estamos em um ponto mínimo ou máximo.

Aqui, estamos no ponto crítico.

Todos esses são pontos críticos, mas não
é ponto mínimo ou máximo.

No próximo vídeo vamos pensar em
como você pode diferenciar,

ou como você pode dizer quando existe
ponto mínimo ou máximo num ponto crítico.

Legendado por [Miguel Infante]
Revisado por [Soraia Novaes]