Minima, maxima and critical points

이런 모양을 가지는 함수를 그려보았습니다

언제 이 함수가

최솟값과 최댓값을 가지는지

생각해 보십시오

이 영상에서

이 함수의 그래프가

x값이 줄어듦에 따라서

그리고 x가 구간 너머로 감에 따라서

계속 내려간다고 가정할 수 있습니다

제가 묘사한 것처럼 말입니다

그러면 이 함수에서의 최댓값은 어디입니까?

눈으로 보고 알 수 있습니다

최댓값은 바로 이 점으로 보입니다

이 점을 최대점이라고 부릅시다

이 함수는 이 값보다 큰 함숫값을
절대 가지지 않습니다

그러면 최대점은 x0점이라고 할 수 있습니다

왜냐하면 f(x0)는 크거나 같기 때문입니다

다른 어떠한 f(x)보다도 말이죠

이것은 그림을 보면 꽤 명백한 사실입니다

그러면 최소점은

이 그림에서 존재할까요?

아니오

이 함수는 임의의 음수 값들을 가질 수 있습니다

x가 음의 무한에 다가감에 따라서

함숫값은 음의 무한으로 향합니다

x가 양의 무한으로 다가가도

함숫값은 음의 무한으로 향합니다

그러면 여기서는

최소점은 없습니다

그럼 이번에는

극소점과 극대점들은 존재합니까?

'minima'는 최솟값의 복수형이고

'maxima'는 최댓값의 복수형입니다

그럼 여기서는 극소점과 극대점이 존재하나요?

극소점은

그 점에서의 함숫값이

그 점 주위의 함숫값보다 작은 점입니다

그럼 여기가 극소처럼 보입니다

이것은 엄밀한 정의가 아닙니다

여기서 생각해보아야 할 점은

x1의 주위 구간에서 f(x1)이

그 구간의 다른 f(x)보다 작거나 같은 경우

x1이 극소점이라고 말할 수 있습니다

눈으로 이해하기도 쉽습니다

여기가 이 점 주위의 구간에서

함숫값이 최소인 점입니다

그럼 다른 극소점은 있습니까?

없는 것 같습니다

극대점은 어떻습니까?

여기 보라색 점 하나가 있습니다

이 점도 극대점처럼 보입니다

바로 여기에 말입니다

그럼 점 x2는

극대점이라고 할 수 있습니다

x2 주위의 x에 대해서

f(x2)가 f(x)보다 크기 때문입니다

매우 엄밀한 것은 아닙니다

그러나 눈으로도 바로 알 수 있습니다

그럼 모든 최댓값과 최솟값을
충분히 식별해내었습니다

이들은 종종 극한값으로도 불립니다

그럼 이 함수의 미분값을 알고 있는 경우에

이것들을 어떻게 식별할 수 있을까요?

각 점에서의 미분값을 봅시다

여기 첫번째 점에서는

탄젠트 선를 시각화하면

이렇게 생길 것입니다

이 점에서의 기울기는 0입니다

그럼 f'(x0)는 0이라고 할 수 있습니다

이 점에서의 탄젠트 선의 기울기가
0이기 때문입니다

이 점에서는 어떻습니까?

위와 같이 탄젠트 선은

이렇게 생겼을 것입니다

그럼 전과 같이 f'(x1)은 0이라고 할 수 있습니다

이 점에서는 어떨까요?

이 점에서의 탄젠트 직선은 정의되지 않습니다

점으로 들어가면서 양의 기울기를 가졌다가

순간적으로 음의 기울기로 변화합니다

그럼 이 점에서 f'(x2)는 정의되지 않습니다

그럼 여기 흥미로운 점이 있습니다

엄밀히 증명하는 것이 아니라
여기서 직관을 가지기를 원합니다

한 종류의 극한값을 보았습니다

x가 구간의 끝점에 있을 때를

말하는 것이 아닙니다

제가 구간의 끝점에 대해 이야기할때와

지금을 명백히 하십시오

이 함수는

이곳에서 구간을 가지고

여기서 시작해서

계속 간다고 합시다

최댓값은 이것일 것입니다
그러나 이 점은 끝점입니다

지금 구간의 끝점에 대해서
이야기하는 것이 아닙니다

우리는 최댓값이 구간 사이에 존재하거나

구간이 무한할 때를 이야기하고 있습니다

우리는 이런 점이나

이런 점에 대해서 이야기하지 않습니다

구간 사이에 있는 점에 대해서 이야기하고 있습니다

만약 구간 내의 점이 있다면

최댓값과 최솟값은 반드시 존재합니다

직관으로 알 수 있습니다

끝점이 아닌 최솟값 또는 최댓값

x가 a와 같다면

x는 구간의 양 끝 점이 아니고

x가 a인 점에서

최솟값 또는 최댓값을 가진다는 것을 알면

이것은 흥미로운 점을 알려주거나

직관이 생기게 해 줍니다

x는 a인 점에서의 미분값이

0임을 볼 수 있습니다

또는 x는 a인 점의 미분값이 정의되지 않을 수 있습니다

그림의 각 경우에 대해서는

이 점의 미분값은 0이고, 이 점도 0이며
이 점은 미분이 정의되지 않습니다

이러한 미분값이 0 또는 정의되지 않는 점들을

일컫는 말로

'임계점' 이라는 말이 있습니다

이 함수에 대해서

임계점으로는 x0점과

x1점을 포함할 수 있습니다

이 두 점은 미분값이 0입니다

미분값이 정의되지 않는 x2도 포함합니다

결국, 끝점이 아닌 최소점과 최대점이 있다면

그 점은 임계점이 될 것입니다

다른 경우는 어떨까요?

미분값이 0이거나

미분값이 정의되지 않는 임계점을 찾으면

그 점은 항상 최대점 또는 최소점이 될까요?

여기 있는 이 점을 생각해 봅시다

이 점을 x3이라고 합시다

이 점에서의 탄젠트 직선을 그리고

탄젠트 직선의 기울기를 보면

f'(x3)은 0처럼 보입니다

우리의 임계점에 대한 정의에 의하면

x3도 또한 임계점이 됩니다

그러나 최대점이나 최소점처럼 보이지 않습니다

양 끝 점이 아닌 최대점 또는 최소점이 있다면

그 점은 분명히 임계점이 될 것입니다

그러나 한 점이 임계점이라고 해서

그 점이 최대점이나 최소점인 것은 아닙니다

이러한 점들이 최소점 또는 최대점인지

명백히 하십시오

이 점들은 모두 임계점입니다

그러나 모두가 최대점 또는 최소점이진 않습니다

다음 영상에선

임계점에서 그 점이 최대점 또는 최소점인지 아닌지

어떻게 구별하고 말할 수 있는지 생각해 볼 것입니다