Minima, maxima and critical points

Ho disegnato qui una funzione in giallo

e voglio riflettere su

quando questa funzione raggiunge valori massimi

e valori minimi.

Per lo scopo di questo video

possiamo assumere che il grafico di questa funzione

continui a diminuire e diminuire

quando la x diventa sempre più negativa

e diminuisca quando la x supera l'intervallo

che ho rappresentato qui.

Qual è il valore massimo
che questa funzione raggiunge?

Possiamo vedere che

sembra essere in questo punto.

Possiamo chiamare
questo punto "massimo assoluto".

La funzione non raggiunge mai un valore più grande

Possiamo dire che abbiamo
un massimo assoluto al punto x0

perché f di x0 è maggiore o uguale a

f di x per ogni altro x nel dominio.

Ed è piuttosto ovvio guardandolo.

Abbiamo un punto di minimo assoluto

nel modo in cui ho disegnato il grafico?

No.

Questa funzione può assumere valori negativi arbitrari.

Tende a valori negativi infiniti quando x

si avvicina a meno infinito.

Tende a meno infinito quando x

tende a più infinito.

Quindi, lo scrivo

non c'è un minimo assoluto

Ora una domanda:

ci sono minimi o massimi locali (relativi)?

In inglese è "minima"
che è il plurale di "minimum"

e "maxima" il plurale di "maximum".

C'è un minimo locale o relativo qui?

Come puoi immaginare, un minimo relativo significa

che il valore della funzione in quel punto

è minore del valore dei punti intorno.

Qui c'è un minimo relativo

o minimo locale.

Non sto dando una definizione rigorosa adesso

ma un modo di pensarlo è che

possiamo dire di avere un punto di minimo relativo in x1

perché c'è un'area intorno a x1, dove f di x1

è minore di ogni altra f di x vicina.

Ed è semplice da vedere a occhio.

Questo punto è più in basso degli altri intorno.

Ci sono altri minimi relativi?

Non sembra.

E i massimi relativi?

Questo qui, lo faccio in viola.

Non vorrei confonderti.

Lo faccio di questo colore, questo punto qui

sembra essere un massimo relativo.

o massimo locale.

Possiamo dire che nel punto x2

c'è un massimo relativo, qui nel punto x2.

Infatti f di x2 è maggiore di ogni altro f di x

nelle vicinanze.

Non è molto rigoroso,

ma lo puoi vedere facilmente.

È abbastanza chiaro:

abbiamo riconosciuto i massimi
e minimi, anche chiamati

valori estremi della funzione.

Come potremmo riconoscerli,
se sapessimo qualcosa

sulla derivata della funzione?

Guardiamo la derivata

in ognuno di questi punti.

In questo primo punto qui

se provassi a visualizzare la retta tangente

lo faccio in un colore migliore, non in marrone

se provassi a visualizzare la retta tangente

sarebbe così.

Quindi il coefficiente angolare è 0.

Quindi f primo di x0 è uguale a 0.

Il coefficiente angolare della tangente
in questo punto è 0.

E in questo punto?

Ancora una volta la retta tangente

sarebbe di questo tipo.

Ancora una volta f primo di x1 è uguale a 0.

E qui?

Beh, qui la retta tangente effettivamente non è definita.

Abbiamo una pendenza positiva qui

e poi immediatamente diventa negativa.

Quindi qui f primo di x2 non è definita.

Lo scrivo: "non definita".

Ecco una cosa interessante,

non sto dando una dimostrazione,
ma voglio che tu capisca l'idea.

Se abbiamo un punto estremo

escludendo il caso in cui x

è alla estremità di un intervallo,

per essere chiari, sto parlando

di x come punto finale di un intervallo.

Stiamo dicendo che la funzione

è dentro l'intervallo.

La funzione inizia qui e poi

continua.

Questo sarebbe un punto di massimo,
ma anche un estremo dell'intervallo.

Non parliamo degli estremi dell'intervallo adesso,

parliamo dei punti interni

o di un intervallo infinito.

Quindi non parliamo di punti come questo

o come questo.

Parliamo dei punti interni.

Quindi un punto interno ad un intervallo

che sarà un minimo o un massimo...

E vediamo qui l'idea intuitiva:

se hai un punto di max o min interno

dove x è uguale ad a,

se hai un punto minimo o massimo

per una certa x, dove f è uguale to a

e x non è un estremo dell'intervallo,

questo ci dice qualcosa di interessante

o un'idea intuitiva:

vediamo che la derivata nel punto x

è uguale a 0.

Oppure la derivata in x sarà non definita.

in questi casi

derivata 0, derivata 0, derivata non definita.

Abbiamo un termine per questi punti

dove la derivata è 0 oppure non definita.

Si chiamano "punti critici".

Quindi per questa funzione

i punti critici sono

x0, x1,

dove la derivata è 0,

e x2 dove la derivata è indefinita.

Se abbiamo un minimo o massimo interno,

questo sarà un punto critico.

Cosa possiamo dire per gli altri punti?

Se troviamo un punto critico dove la derivata è 0

o la derivata non è definita

sarà un massimo o un minimo?

Proviamo a pensare a

questo punto qui.

Chiamiamolo x3.

Se guardiamo la retta tangente

vediamo che il suo coefficiente angolare,

f primo di x3, è uguale a 0.

Quindi in base alla definizione di punto critico,

anche x3 è un punto critico.

Ma non sembra che sia un massimo o un minimo.

Un punto di minimo o massimo interno

è sicuramente un punto critico.

Ma essere un punto critico

non significa essere un massimo o un minimo.

Per essere chiari

i punti di minimo o di massimo

sono tutti punti critici.

Ma questo non è un minimo o massimo.

Nel prossimo video vedremo

come possiamo stabilire

se un punto critico sia un minimo o un massimo.