Minima, maxima and critical points

Nakreslil jsem si žlutě
tuto na první pohled šílenou funkci.

Podívejme se, kdy tato funkce nabývá
své maximální a minimální hodnoty.

Pro účely tohoto
videa předpokládejme,

že graf této funkce jde stále dolů,
jak se x-ové hodnoty zmenšují,

a stejně tak že
jde stále dolů,

když jsou x-ové hodnoty větší než
‚x‘ v intervalu, který jsem nakreslil.

Jakou maximální hodnotu
nabývá naše funkce?

Jen od pohledu můžeme vidět,
že k tomu dojde v tomto bodě.

Tuto hodnotu nazveme
globální maximum,

protože funkce nikdy nenabyde
větší hodnotu než je tahle.

Můžeme říci, že funkce nabývá
svého globálního maxima v bodě x₀,

protože funkční hodnota v bodě x₀
je větší než funkční hodnoty f(x),

a to pro všechna ostatní x
z definičního oboru.

To je poměrně zřejmé,
když se na to podíváme.

Podívejme se, jestli najdeme
i globální minimum.

Ne, protože tato funkce může nabýt
libovolně zápornou hodnotu.

Její hodnoty se blíží
k minus nekonečnu,

když se x blíží k minus nekonečnu
a když se x blíží k plus nekonečnu.

Takže nemáme...

Napíšu to.

...nemáme žádné
globální minimum.

Teď se vás zeptám
na něco jiného.

Má funkce nějaká lokální minima
nebo lokální maxima?

Minima je množné číslo od slova minimum
a maxima je množné číslo od slova maximum.

Má funkce nějaká
lokální minima?

Lokální minimum znamená,
jak si asi dokážete představit,

že funkční hodnota v daném bodě je menší
než funkční hodnoty okolo toho bodu.

Tento bod tedy vypadá
jako lokální minimum.

Nenapíšu vám teď úplně formální definici,
ale můžeme to říci tak,

že bod x₁ je
bodem lokálního minima,

pokud existuje takové okolí bodu x₁,
na kterém je f(x₁) menší než f(x)

pro všechna x
v tomto okolí.

Takové body se snadno
poznají už od pohledu.

Jde o nejnižší bod grafu funkce f
v okolí daného bodu ‚x‘.

Máme ještě nějaká další
lokální minima?

Vypadá to, že ne.

A co lokální maxima?

Tento bod...

Nakreslím ho fialovou.

Nebo raději ne, nechci lidi mást,
tak radši touhle barvou.

...tento bod vypadá
jako lokální maximum.

Ne lox,
to je něco úplně jiného.

Lokální maximum.

Můžeme tedy říci,
že v bodě x₁...

Pardon, v bodě x₂.

V bodě x₂ má
funkce lokální maximum,

protože f(x₂) je větší než f(x)
pro všechna x z okolí bodu x₂.

Nemluvím úplně formálně,
ale jen od pohledu vidíte, co tím myslím.

To bychom
tedy měli.

Našli jsme všechna maxima a minima,
kterým se dohromady říká extrémy funkce.

Nyní se podívejme, jak tyto extrémy
najít pomocí derivace funkce.

Koukněme se na derivaci
v každém z těchto bodů.

Kdybych chtěl nakreslit tečnu
v tomto prvním bodě...

Udělám to jinou
barvou než hnědou.

...kdybych chtěl nakreslit tečnu,
tak by vypadala nějak takhle.

Její směrnice je 0,

takže f(x₀) s čárkou se rovná 0,

protože směrnice tečny
v tomto bodě je 0.

A co tady?

Tečna bude opět
vypadat nějak takhle,

takže f(x₁) s čárkou
se také rovná 0.

A jak to
bude tady?

V tomto bodě tečna
není dobře definovaná.

Když jdeme do našeho bodu, tak je sklon
kladný, načež se hned stane záporným,

takže f(x₁) s čárkou
není definováno.

Napíšu „nedefinováno“.

Bude nás
tedy zajímat...

Nedělám tu formální důkaz,
spíš chci, abyste získali nějakou intuici.

Vidíme, že v bodě
nějakého extrému...

Nemluvím teď o případech,
kdy je x krajním bodem intervalu.

Aby bylo jasné, co tím teď myslím,
když mluvím o krajních bodech intervalu,

tak řekněme,
že funkce je...

Řekněme, že máme interval
s tímto počátečním bodem

a že funkce začíná
v tomto bodě a pak pokračuje dál.

Tady by bylo maximum,
ale v krajním bodě.

Nyní nebudeme mluvit
o krajních bodech,

budeme mluvit o
bodech uvnitř intervalu

nebo o bodech z
neomezeného intervalu.

Nemluvíme tedy o bodech
jako jsou tyto,

ale budou nás zajímat
body uvnitř intervalu.

Když tedy máme bod uvnitř
zkoumaného intervalu,

tak půjde o bod
minima nebo maxima...

Intuitivně jsme si
to ukázali tady.

...pokud...

Tedy když v bodě, který není krajním bodem
intervalu, nastane minimum nebo maximum...

Můžeme ho označit jako
bod x rovná se ‚a‘.

Když víme, že funkce má minimum
nebo maximum v nějakém bodě x rovno ‚a‘,

který není krajním bodem
zkoumaného intervalu,

tak nám to říká něco zajímavého,
co už jsme intuitivně nahlédli,

a to že derivace v bodě x rovno ‚a‘
je buď rovna 0, nebo není definovaná.

Na našem grafu vidíme
obě dvě možnosti.

Zde je derivace nulová,
tady taky

a zde není
derivace definovaná.

Pro body, v nichž je derivace buď rovna 0,
nebo není definovaná, máme vlastní název.

Říkáme jim
stacionární body.

U naší funkce jsou stacionárními body
x₀ a x₁, kde je derivace nulová,

a také x₁,
kde derivace není definovaná.

Máme-li tedy nějaký bod,
který není krajním bodem intervalu

a v němž funkce nabývá minima nebo maxima,
tak jde určitě o stacionární bod.

Platí to ale
i obráceně?

Pokud najdeme
nějaký stacionární bod,

tedy bod, v němž je derivace
rovna 0, nebo není definovaná,

půjde o bod
maxima nebo minima?

Abychom si to představili,
uvažme tento bod, který označím jako x₃.

Když v tomto bodě nakreslíme tečnu
a podíváme se na její směrnici,

tak to vypadá,
že f(x₃) s čárkou se rovná 0.

Podle naší definice stacionárního bodu
je tedy bod x₃ také stacionárním bodem,

ale v tomto bodě zřejmě
nenastává ani minimum, ani maximum.

Takže bod minima nebo maxima,
který není krajním bodem intervalu,

je určitě
stacionární bod,

ale ve stacionárním bodě funkce ještě
nemusí mít minimum nebo maximum.

Aby to bylo jasné,

tak v těchto bodech nastává
minimum nebo maximum,

ale tento bod,
který je taky stacionární...

Všechno jsou to stacionární body,
ale toto není bod minima ani maxima.

V dalším videu se podíváme,
jak můžete rozhodnout,

zda má funkce ve stacionárním bodě
své minimum nebo maximum.