-
-
-
Son birkaç videoda, bu simidin yüzey alanını bulmak konusunda yavaşça ilerliyorduk.
-
-
-
-
-
Bunu yaparken bir yüzey integrali kullanıyorduk, yüzey integralini hesaplarken parametrik denklemlerin s ve t'ye göre kısmi türevlerini almamız gerekti.
-
-
-
-
-
-
-
Bunu ilk videoda yaptık.
-
Sonra vektör çarpımını aldık.
-
Bunu ikinci videoda yaptık.
-
Şimdi vektör çarpımının büyüklüğünü almaya hazırız.
-
Böylece çift katlı integralin ifadesini hesaplayabiliriz ve bir yüzey integrali bulmuş olacağız. Bu, eğitim hayatınızda çok ender rastlayacağınız bir olaydır.
-
-
-
-
-
-
-
O yüzden heyecan verici.
-
Vektör çarpımımız buydu.
-
Şimdi bunun büyüklüğünü bulalım.
-
Hatırlarsanız, vektör büyüklüğünü Pisagor teoremine benzer bir yöntemle buluyorduk.
-
-
-
Bu durumda, üç boyutlu uzaklık formülü veya Pisagor teoremi kullanıyoruz.
-
-
-
r'nin s'ye göre kısmisinin r'nin t'ye göre kısmisiyle vektör çarpımının büyüklüğünü alıyorum.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Bu, şuna eşit.
-
Eşittir işareti koyayım.
-
Bu iki ifade birbirine eşit.
-
Şimdi büyüklüğü bulmak istiyorum.
-
Bunun büyüklüğünü almak istersem, bu sadece bir skaler.
-
-
-
-
-
Dışarı alalım.
-
b artı a kosinüs s çarpı bunun büyüklüğü.
-
-
-
Bunun büyüklüğü de, kendisiyle çarpımının karekökü olacak.
-
-
-
-
-
Veya terimlerin karelerini toplayıp 1 bölü 2'nci kuvvetini alabiliriz.
-
-
-
Böyle yazayım.
-
Karelerin toplamını yazayım.
-
Bunun karesini alırsak, a kare kosinüs kare s sinüs kare t elde ederiz.
-
-
-
Bu terim, bu.
-
Artı.
-
-
-
-
-
Artı şu terimin karesi.
-
Artı a kare kosinüs kare s kosinüs kare t.
-
Bu da o terim.
-
Ve son olarak, bu terimin karesi.
-
-
-
Artı a kare sinüs kare s.
-
Bunun tamamının 1 bölü 2'nci kuvvetini alacağım.
-
Bu ifade, şunun büyüklüğüne eşit.
-
-
-
Bu sadece bir skaler.
-
-
-
Şimdi bu ifadeyi sadeleştirmeye çalışalım.
-
-
-
Burada a kare kosinüs kare s var.
-
Burada da a kare kosinüs kare s var, bunu dışarı alalım ve neler kaldığına bakalım.
-
-
-
-
-
Bu ikinci kısmı baştan yazacağım.
-
a kare kosinüs kare s çarpı sinüs kare t -parantez koyayım - artı kosinüs kare t.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Bu, artı a kare sinüs kare s.
-
-
-
Ve bunun tamamının 1 bölü 2'nci kuvveti.
-
Bu nedir?
-
Sinüs kare t artı kosinüs kare t.
-
Güzel.
-
En temel trigonometrik özdeşliğe göre, bu, 1'e eşit.
-
Buna göre, bu ifade a kare kosinüs kare s olarak sadeleşir, artı a kare sinüs kare s.
-
-
-
-
-
Bunun tamamı üzeri 1 bölü 2.
-
a kareyi dışarı alabileceğinizi görmüşsünüzdür.
-
-
-
a kare çarpı kosinüs kare s artı sinüs kare s.
-
-
-
Bunun tamamının 1 bölü 2'nci kuvveti.
-
Şimdi bu terime odaklanıyorum.
-
Birazdan yazacağım.
-
Yine, bir açının kosinüs kare artı sinüs karesi 1'e eşit.
-
-
-
-
-
Yani, bu terim, a kare üzeri 1 bölü 2 olur.
-
Veya karekök a kare, bu da a olur.
-
-
-
Bu işlemlerin sonucunda, a elde ettik.
-
-
-
Yani, bu vektör çarpımın büyüklüğü, bu ifade çarpı a olarak sadeleşti.
-
-
-
Bunu baştan yazayım.
-
-
-
Bu, a çarpı şu olarak sadeleşir.
-
Peki sonuç nedir? a çarpı b, yani a b.
-
a b artı a kare kosinüs s.
-
-
-
Çok zor görünen işlemleri yapıp, basit bir sonuç elde edince çok güzel oluyor.
-
-
-
-
-
Yaptıklarımızı tekrar etmek istersek, birkaç videodan beri süregelen amacımız, şu integralin yüzeyin tanımlı olduğu bölgede değerini bulmaktı.
-
-
-
-
-
-
-
s ve t, 0 ile 2 Pi arasındaydı.
-
Bu bölge.
-
Bunun bu bölgedeki integralini almak istiyoruz.
-
s'nin 0 ile 2 Pi arasındaki değerlerini alacağız. d s.
-
-
-
Sonra da t'nin 0 ile 2 Pi arasındaki değerlerini alacağız, d t.
-
Hesapladığımız şey de bu.
-
Parametrik denklemlerimizin kısmi türevlerinin vektör çarpımının büyüklüğünü buluyoruz.
-
-
-
Bunu buraya koyabiliriz.
-
İfadeler birden basitleşti.
-
a b artı a kare kosinüs s.
-
Peki, bu neye eşit?
-
s'ye göre terstürev alalım.
-
-
-
İntegralin dış tarafını yazayım.
-
-
-
0'dan 2 Pi'ye d t.
-
-
-
Burada s'ye göre terstürev alırsak, a b sabit, yani a b s artı - kosinüs s'nin terstürevi nedir?
-
-
-
-
-
Sinüs s.
-
Yani a kare sinüs s.
-
0'dan 2 Pi'ye değerini bulacağız.
-
Peki, bu neye eşit olacak?
-
Limitleri yeniden yazalım. Birazdan t'ye göre integral alacağız.
-
-
-
Buraya 2 Pi koyunca, a b çarpı 2 Pi veya 2 Pi a b elde edeceksiniz.
-
-
-
2 Pi a b artı a kare sinüs 2 Pi.
-
Sinüs 2 Pi eşittir 0, yani burada terim olmayacak.
-
Sonra, eksi 0 çarpı a b, yani 0.
-
Bir de eksi a kare sinüs 0 olacak, ki o da 0.
-
-
-
Yani bu terimler 0.
-
Kalan ifade çok güzel sadeleşti.
-
Bunun t'ye göre terstürevini alıyoruz.
-
-
-
Bu sabit. t'ye göre terstürev alırsak, 2 Pi a b t ve bunun 0'dan 2 Pi'ye değerini alırız.
-
-
-
-
-
Buraya 2 Pi koyarız.
-
t yerine 2 Pi koyarsak, 2 Pi çarpı 2 Pi a b elde ederiz.
-
Veya şöyle diyebiliriz, 2 Pi kare çarpı a b eksi 0 çarpı bu ifade.
-
-
-
Bu 0 olacak, o nedenle yazmamıza gerek yok.
-
-
-
Ve bitirdik.
-
Bu, simidin yüzey alanı.
-
Heyecan verici.
-
-
-
Yüzey alanı eşittir 4 Pi kare a b, bu çok temiz ve güzel bir formül.
-
-
-
İçinde 2 Pi var.
-
-
-
Karesini alıyoruz, bu mantıklı, çünkü şu iki çemberin çarpımını alıyoruz gibi düşünebiliriz.
-
-
-
-
-
Çok soyut, genel ifadeler kullanıyorum, mantık yürütüyorum.
-
-
-
Ve, bu iki yarıçapın çarpımını alıyoruz.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Şunu kopyalayayım.
-
-
-
Yaptığımız tüm işlemler, bu şekilde sadeleşti. Bu, heyecan verici.
-
-
-
Artık biliyoruz ki, kesitinin yarıçapı a, merkezden kesit merkezlerine yarıçapı b olan bir simidin yüzey alanı 4 Pi kare çarpı a çarpı b'dir.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Bence bu çok güzel bir sonuç.
-
-
