Suma logarytmów o tych samych podstawach

Suma logarytmów o tych samych podstawach

Jesteśmy proszeni o uproszczenie logarytmu o podstawie 3 z 27x.

Szczerze mówiąc, to równanie jest już w prostej postaci.

Zakładam, że chcą byśmy wykorzystali

własności logarytmów do przekształcenia tego wzoru.

Być może skończymy z bardziej skomplikowaną postacią,

ale spróbujmy naszych sił.

Z miejsca rzuca się w oczy pierwsza własność logarytmów.

Ten wzór mówi mówi nam:

Do jakiej potęgi musimy podnieść 3 by uzyskać 27x.

27x to jest to samo co 27 razy .

Własność logarytmu, którą mamy się teraz posłużyć to:

Logarytm o podstawie b z a razy c.

jest równy

logarytmowi o podstawie b z a plus logarytm o podstawie b z c.

Własność wynika wprost z własności funkcji wykładniczych.

Czyli jeżeli mnożymy dwie funkcje wykładnicze o takiej samej bazie

możemy dodać do siebie wykładniki.

Pozwólcie, że nieco rozjaśnię.

Nie martw się, jeżeli ta część jest myląca, najważniejsza w tym przykładzie jest

umiejętność zastosowania tej własności.

Znacznie lepiej jest jednak wiedzieć, skąd ona wynika.

Załóżmy, że logarytm o podstawie b z a razy c jest równy x.

Ten fragment jest równy x.

Załóżmy, że ten fragment jest równy y.

Czyli logarytm o podstawie b z a jest równy y.

Załóżmy również, że ten fragment jest równy z.

Czyli logarytm o podstawie b z c jest równy z.

Wiem, że

ten fragment

ten tutaj fragment

mówi nam o tym, że b to potęgi x jest równe c.

Ten fragment mówi nam, że

b do potęgi y jest równy a.

A ten fragment mówi nam, że

b do potęgi z jest równy c.

Pozwólcie, że zapiszę to również na zielono.

By podkreślić, że zapisujemy tą samą zależność --

Zapisaną jako funkcja wykładnicza

lub precyzyjniej równanie wykładnicze,

zamiast równania logarytmicznego.

Czyli b to potęgi z jest równy c.

Te wszystkie wzory wyrażają

tą samą zależność.

Tą samą zależność zapisaną w inny sposób.

Ta sama zależność zapisana w inny sposób.

Skoro wiemy,

że a jest równe temu, b to potęgi y.

i c jest równe b do potęgi z.

Możemy przepisać to równanie:

b do potęgi x jest równe b do potęgi y

(to jest a, o czym już wiemy)

razy b do potęgi z.

razy b do potęgi z.

Wiemy z własności funkcji wykładniczych,

wiemy z własności wykładniczych,

że jeżeli weźmiemy b do potęgi y i pomnożymy przez b do potęgi z

to będzie odpowiadać:

b do potęgi, użyję jakiegoś neutralnego koloru, b do potęgi y plus z.

Wynika to wprost z własności funkcji wykładniczych.

Jeżeli b do potęgi y plus z równa się

b do potęgi x -- to mówi nam, że x musi być równe y plus z.

x musi być równe y plus z.

Jeżeli to jest dla ciebie niejasne -- nie przejmuj się zbytnio.

Najważniejszą rzeczą lub przynajmniej pierwszą rzeczą, którą

powinieneś znać to wiedzieć jak zastosować ten wzór, dopiero potem, możesz myśleć o tym

trochę więcej, czy nawet sprawdzić ten wzór dla kilku przykładowych liczb.

Musicie zdać sobie sprawę, że logarytmy do po prostu wykładniki.

Ludzie często pytają: co masz na myśli?

Gdy obliczasz logarytm -- to co dostajesz to wykładnik.

Do którego musiałbyś podnieść b by uzyskać a razy c.

Zastosujmy tą właściwość w tym wzorze.

Jeżeli zastosujemy tą właściwość to widzimy,

że logarytm o podstawie 3 z 27 razy x -- zapiszę to w ten sposób --

jest równy logarytmowi o bazie 3 z 27 plus logarytm o podstawie 3 z x.

Tą część możemy od razu uprościć,

ta część pyta się nas: do jakiej potęgi mam podnieść 3 by uzyskać 27?

Można patrzyć na to tak: 3 do znaku zapytania jest równe 27.

Cóż, 3 to potęgi trzeciej jest równe 27.

3 razy 3 daje 9, razy 3 daje 27.

To upraszcza się do 3.

Jeżeli mamy uprościć -- cóż nie nazywałbym tego nawet

upraszczaniem, można to nazwać rozwijaniem tego wzoru lub korzystaniem z tej właściwości.

Teraz mamy dwa wyrażenia, podczas gdy zaczęliśmy od jednego.

W zasadzie jeżeli zaczęlibyśmy od tego, to według mnie to jest prostsza wersja tego samego.

Ale jeżeli zapiszemy to ponownie, pierwsze wyrażenie upraszcza się do 3.

Pierwsze wyrażenie staje się 3.

Zostaje nam dodać do tego logarytm o podstawie 3 z x.

Jest to więc po prostu alternatywny sposób zapisania pierwotnego wyrażenia,

logarytmu o podstawie 3 z 27x.

Znów -- nie jest do końca jasne, czy ta forma jest prostsza.

Jest to po prostu inny sposób zapisu wykorzystujący własności logarytmów.