Sum of the logarithms with the same base

Sum of the logarithms with the same base

Semplificheremo il log in base 3 di 27x

e francamente è abbastanza semplice

ma se si vogliono utilizzare le proprietà dei logaritmi

per manipolarlo in qualche modo

può risultare un pochino piu' difficile

quindi cerchiamo di dare il nostro meglio

Dunque la proprietà dei logaritmi che mi viene in mente

perchè questa che abbiamo qui

ci dice che dobbiamo elevare 3 alla 27x

che è la stessa cosa di dire 27 per x

Allora la proprietà dei logaritmi che sembra essere utile

è log in base b di a per c

che è uguale al log in base b di a

piu' log in base b di c

e questo ci porta dritti alle proprietà degli esponenziali

se avete due esponenti con la stessa base

potete sommare gli esponenti

Dunque, lasciate che vi spieghi meglio

Questa parte è un po' confusa

la parte importante di questo esempio

è come sapere applicarle

ma è ancora meglio se capite il meccanismo

Supponiamo quindi che il log in base b di a per c

è uguale a x

Quindi questa cosa qui (log_b ac)

è uguale a x

Mentre (quella sottolineata in blu)

è uguale a y

E diciamo che (quella sottolineata in verde)

è uguale a z

Ora, sappiamo che questa cosa qui

o quest'altra

ci dice che b alla x è uguale ad a per c

Ora questa (in blu) che b alla y è uguale ad a

e quest'ultima (in verde) ci dice che

b alla z è uguale a c -usiamo lo stesso verde-

Sto scrivendo la stessa cosa

infatti sto scrivendo la funzione esponenziale

o equazione esponenziale

invece che come equazione logaritmica

cioè b alla z è uguale a c

Questa è la stessa equazione

anche questa è analoga

è la stessa verità detta in un altro modo

e anche questa è la stessa verità

detta in un altra maniera

Bene, se noi sappiamo che a è uguale a b alla y

e c è uguale a b alla z

allora possiamo scrivere che b alla x

è uguale a b alla y per b alla z

e sappiamo per la proprietà degli esponenti

che se prendiamo b alla y per b alla z

è la stessa cosa di prendere b alla y+z

questo ci porta dritti alle proprietà degli esponenti

Dunque se b alla y+z è uguale a b alla x

allora x deve essere uguale a y+z

Se questo vi confonde

non preoccupatevi piu' di tanto

la cosa importante,

o almeno la prima cosa piu' importante

è sapere come applicarla

e poi ci potete pensare su un po' di piu'

e anche provare con qualche numero

Dovete solo capire che i logaritmi

sono semplicemente degli esponenziali

So che le persone mi chiedono:

"cosa intendi dire con questo?"

Ma quando calcoli un logaritmo

cerchi un esponente per il quale

dovresti elevare b per ottenere a per c

Proviamo allora ad applicare questa proprietà qui

Allora se la applichiamo a questo sappiamo che

log in base 3 di 27 per x

- l'ho scritto in questo modo -

è uguale a log in base 3 di 27 + log in base 3 di x

e allora questa (in verde) la possiamo calcolare

Ci dice a che potenza devo elevare 3

per ottenere 27?

Si può fare anche così:

3 alla ? è uguale a 27

Be', 3 alla terza è uguale a 27!

tre per tre fa nove

nove per tre 27

Quindi questa qui (in verde) è uguale a 3

Se quindi vogliamo semplificare

o meglio lo chiamerei semplificare

piuttosto che risolverlo

o applicare questa proprietà

perchè adesso abbiamo due termini,

ma abbiamo iniziato da un termine

a dire il vero, abbiamo iniziato da questo

che è la sua versone piu' semplice

ma quando lo riscriviamo

questo primo termine diventa 3

e lo lasciamo con "+ log_3 x"

Quindi questo è solo un modo alternativo

di scrivere questa equazione iniziale

log in base 3 di 27x

Ripeto, ancora una volta che

non cambia nulla da questo

è solo un altro modo di scrivere

utilizzando le proprietà dei logaritmi.

Sottotitoli a cura di Matteo Comi