Důkaz základní věty integrálního počtu

Řekněme, že máme zadanou nějakou funkci f,

která je spojitá na intervalu od a do b.

Tak se zkusme podívat,
jestli to můžeme znázornit.

Takže tohle je moje osa y, tohle tady.

Tady bych udělal mou osu t.

O něco později x použijeme.

Čili tohle nazvu svou osou t.

A pak řekněme, že tohle tady je graf y,

kde y je rovno f(t).

O kterém říkáme, že je
spojité na intervalu od a do b.

Takže tohle t se rovná a.

Tohle t se rovná b.

Tak tedy říkáme, že je spojité
na tomhle celém intervalu.

A teď jen tak pro zajímavost
definujme funkci velké F(x).

Udělám ji modře.

Pojďme definovat, že se velké F(x)
rovná určitému integrálu

od dolní meze a do x z funkce f(t),

to bych udělal…
z funkce f(t) podle dt,

kde je x v tomto intervalu,
v němž a je menší nebo rovno x

a x je menší nebo rovno b.

Nebo tohle je jen jiný
způsob, jak vyjádřit,

že x je právě v tomhle intervalu tady.

Teď když se na to podíváte,
můžete si říct aha,

určitý integrál, ten má
co dočinění s derivací

a primitivní funkcí a vším tímhle.

Ale my to ještě neznáme.

Všechno, co víme už teď, je,

že tohle je plocha
pod křivkou f mezi A a x

mezi A a řekněme, že tohle zde, je x.

Čili f(x) je prostě tahle plocha tady.

To je vše, co o tom víme.

Nevíme ještě, že to má
co dočinění s primitivní funkcí,

ještě.

Budeme se to snažit dokázat v tomto videu.

Tak jen tak ze srandy udělejme derivaci f.

Tu získáme použitím
definice derivace a uvidíme,

co dostaneme, když použijeme derivaci

podle definice derivace.

Takže derivace f ' (x),
no tahle definice derivace,

to je: limita pro delta x blížící se nule

z velkého F(x) plus delta x mínus f(x),

to celé lomeno delta x.

Tohle je jenom definice derivace.

A teď, čemu se to rovná?

No, dovolte mi to přepsat
pomocí integrálů právě sem.

Bude se to rovnat limitě,

když se delta x blíží nule z…
co je f(x) plus delta x?

Tak tadyhle vložme x.

Dostanete určitý integrál
od a do x plus delta x

z f(t) podle dt.

A potom od tohohle odečtete tuhle věc,

odečtete F(x), které jsme si už zapsali

jako určitý integrál
od a do x z funkce f(t) podle dt

a to celé potom děleno delta x.

Takže co tohle představuje?

Nezapomeňte, že nevíme
nic o určitých integrálech

nebo o řešení něčeho
s primitivní funkcí a vším tím.

Víme jen to, že tohle je jiný způsob,

jak vyjádřit plochu pod křivkou f
mezi A a x plus delta x.

Takže to je celá ta plocha tady.

To je tedy tahle část.

Víme už, co znamená tohle modré.

To bych udělal stejným odstínem modré.

Takže tohle modré tady,

to se rovná celé téhle věci.

Už jsme to vybarvili.

To je rovno celé téhle části tady.

Takže pokud byste vzali
celou tuhle zelenou plochu,

která je od a do x plus delta x
a odečetli od ní modrou plochu,

což je přesně to, co děláme v čitateli,

co by nám zbylo?

No zůstala by vám…

Jakou barvu jsem ještě nepoužil?

Asi použiju tuhle růžovou.

Tak ale tu jsem už použil.

Použiju tuhle fialovou.

Zůstala by vám tahle plocha zde.

Takže jak jinak to můžeme zapsat?

No jiný způsob zapsání téhle plochy zde

je určitý integrál mezi x a x plus delta x

z funkce f(t) podle dt.

Takže celý ten výraz můžeme přepsat jako

derivace velkého F(x)
– tohle je velké F(x) s čárkou –

teď to můžeme přepsat,
že se to rovná limitě

pro x blížící se 0, tohle můžu zapsat jako

1 lomeno delta x krát čitatel.

A už jsme přišli na čitatele.

Zelená oblast mínus modrá oblast
je jednoduše fialová oblast

a jiná možnost, jak zapsat tu oblast,

je tenhle výraz.

Takže 1 lomeno delta x
krát určitý integrál

od x do x plus delta x
z funkce f(t) podle dt.

Tak a tenhle výraz je zajímavý.

Může vám připadat známý
z věty o střední hodnotě funkce

určitého integrálu.

Věta o střední hodnotě
funkce určitého integrálu

nám říká, že existuje c na intervalu,

kde – napíšu to takhle –

kde a je menší nebo rovno c,
které je menší než…

nebo vlastně, to bych rád vysvětlil.

Interval, který nás zajímá,
je mezi x a x plus delta x

kde x je menší nebo rovno c,

které je menší nebo rovno x plus delta x

takové, že hodnota funkce v bodě c…

tak to c bych načrtl,

takže existuje c někde tady,

čili pokud vezmeme
hodnotu funkce v bodě c,

a tohle je f(c).

Tak pokud bychom chtěli
hodnotu funkce v bodě c,

což by fakticky byla výška této čáry,

a to násobím délkou základny,

tímto intervalem, pokud to
násobím tímto intervalem

…ten interval je právě delta x,

x plus delta x mínus x je právě delta x.

Tak když vynásobíme výšku krát základnu,

bude se to rovnat ploše pod křivkou,

což je určitý integrál od x do x plus
delta x z funkce f(t) podle dt.

To je to, co nám říká věta
o střední hodnotě funkce.

Pokud je f spojitá funkce,

existuje v tomto intervalu c
mezi našimi krajními body,

kde funkční hodnota bodu c je v podstatě,

dá se na to tak dívat,
je to střední hodnota výšky.

A když vezmete střední hodnotu funkce

a vynásobíte ji základnou,

získáte plochu pod křivkou.

Anebo jiný způsob přepsání:

mohli byste říct, že existuje c
v tomto intervalu,

kde f(c) je rovno jedné lomeno delta x,

jenom dělím obě strany delta x…
krát určitý integrál

od x do x plus delta x
z funkce f(t) podle dt.

A to je často chápáno jako střední
hodnota funkce na intervalu.

Proč to tak je?

No, tahle část tady vám dává plochu

a vy pak vydělíte tu plochu základnou,

čímž získáte střední hodnotu výšky.

Anebo jiný způsob, jak to jde říct,

je, že když vezmete výšku,
vynásobíte ji základnou,

dostanete obdélník,

který má přesně stejný obsah
jako plocha pod křivkou.

Tohle je tedy užitečné,

protože to je přesně to,
co jsme získali derivací F'(x).

Proto musí existovat c takové,
že f(c) se rovná tomuhle.

Nebo bychom mohli říct, že limita…
to všechno přepíšu

teď jinou barvou.

Takže existuje c v intervalu
x až x plus delta x,

kde F'(x), o kterém víme,

že je rovno tomuhle, můžeme
nyní říct, že F'(x) se rovná limitě

pro delta x blížící se nule.

A místo psaní tohoto, víme,

že existuje nějaké c, které
je rovno tomuhle všemu,

funkce f(c).

Teď jsme v cílové rovince.

Musíme jenom zjistit, jaká je limita

pro delta x blížící se nule z funkce f(c).

A hlavní je pochopit tuhle část zde.

Víme, že c je vždy vmáčknuté
mezí x a x plus delta x.

A mohli byste intuitivně říct, podívejte,

když se delta x blíží 0, když
se tahle zelená čára tady

pohybuje víc a víc doleva
s tím, jak se blíží modré čáře,

c musí být mezi tím,

a tak se c bude blížit x.

Takže intuitivně víme, že c se blíží x

když delta x jde k nule.

Anebo jiný způsob jak to říct je,

f(c) se bude blížit f(x),
když delta x bude blízká nule.

Čili intuitivně bychom mohli říct,

že se tohle bude rovnat f(x).

Teď byste mohli říct:
OK, to je intuitivně,

ale my tady svým způsobem pracujeme na důkazu Sale.

Ujisti mě, prosím, že x se bude blížit c.

Nedělej jen tuhle malou věc,
kde si nakreslil to schéma,

a to dává smysl,

že se bude blíž a blíž k x.

A kdybyste chtěli, mohli byste
sáhnout po tzv. větě o dvou policajtech.

A abyste se uchýlili ke
"větě o dvou policajtech",

musíte c chápat jako funkci pro delta x.

A tak to opravdu je.

V závislosti na vašem
delta x půjde c více doleva

anebo taky doprava.

A tak tenhle výraz mohu přepsat

jako x je menší nebo rovno
než c jako funkce z delta x,

která je menší nebo
rovno než x plus delta x.

Tak a teď vidíte, že c se vždy
vmezeří mezi x a x plus delta x.

Ale jaká je limita z x, když
delta x bude blízké nule?

No, x není žádným
způsobem závislé na delta x,

takže tohle se bude rovnat x.

Jaká je limita z x plus delta x,
když se delta x bude blížit nule?

Tak když se delta x blíží nule,

tohle bude rovno x.

Takže když se tohle blíží k x,
když jde delta x k nule

a je to méně než tato funkce

a pokud se tohle blíží k x
s tím, jak se delta x blíží k 0

a je to vždy větší než tohle,

potom z "věty o dvou policajtech" víme,

že limita funkce c v bodě delta x

pro delta x blížící se k nule

bude také rovno x.

Musí se to blížit stejné
věci jako tohle a tohle.

Je to vmáčknuté mezi ně.

Tohle je drobný… Používáme
větu o dvou policajtech,

je to o něco víc pečlivé,

abychom se dostali k přesnému výsledku.

Když se delta x blíží k 0, c se blíží k x.

Pokud se c blíží k x, potom se
funkce f(c) bude přibližovat f(x).

A tím v podstatě máme náš důkaz.

F je spojitá funkce,

velké F definujeme tímto způsobem

a byli jsme schopní
použít definici derivace,

abychom zjistili, že derivace velkého F(x)

je rovna funkci f(x).

A ještě jednou, proč je
tohle tak strašně důležité.

Říká vám to, že když vezmete
libovolnou spojitou funkci f

– tohle předpokládáme –

– Předpokládáme, že f
je spojitá na intervalu –

existuje nějaká funkce

– můžete ji prostě
definovat tímto způsobem

jako plochu pod křivkou mezi krajním bodem

nebo začátkem intervalu a nějakým x.

Pokud takto definujete nějakou funkci,

derivace této funkce bude
rovna vaší spojité funkci.

Anebo jinak by to šlo říct tak,

že máte vždy primitivní funkci,

že každá spojitá funkce
má primitivní funkci.

A to je pár docela skvělých věcí.

Jakákoli spojitá funkce
má primitivní funkci.

Tou bude právě ta funkce velké F(x).

A to je důvod, proč se to nazývá
základní věta integrálního počtu.

Propojuje to spolu tyto dvě myšlenky.

A máte diferenciální počet.

Máte myšlenku derivace.

A potom v integrálním počtu

máte myšlenku integrálu.

Před tímto důkazem jsme
všichni vnímali integrál

jako plochu pod křivkou

Bylo to doslova podle zápisu

říct plocha pod křivkou.

Ale teď jsme to dokázali propojit.

Existuje spojení mezi
integrálem a derivací

nebo spojení mezi integrálem
a konkrétně primitivní funkcí.

Takže ono to propojuje celý
infinitezimální počet velmi, velmi, velmi

mocně… a my jsme na to teď zvyklí

a teď můžeme říct téměř očividný způsob,

ale zjevné to nebylo.

Pamatujte si, že o integrálech

vždy přemýšlíme jako
o hledání primitivní funkce,

ale to nebylo jasné.

Pokud jste integrál
chápali jako plochu,

měli byste si tento proces projít,

abyste řekli, tyjo, tohle
všechno souvisí s derivováním.