Důkaz základní věty integrálního počtu

Řekněme, že máme zadanou nějakou funkci f,

která je spojitá na intervalu od a do b.

Tak se zkusme podívat,
jestli to můžeme znázornit.

Takže tohle je moje osa y, tohle tady.

Tady bych chtěl udělat mou osu t.

O něco později x použijeme.

Čili tohle nazvu svou osou t.

A pak řekněme, že tohle tady je graf y,

kde y je rovno f(t).

A říkáme, že je spojité
na intervalu od a do b.

Takže tohle t se rovná a.

Tohle t se rovná b.

Tak tedy říkáme, že je spojité
na tomhle celém intervalu.

A teď jen tak z legrace
definujme funkci velké F(x).

Udělám ji modře.

Pojďme definovat, že se velké F(x)
rovná určitému integrálu

od dolní meze a do x z funkce f(t),

to bych udělal…
z funkce f(t) podle dt,

kde je x v tomto intervalu,
v němž a je menší nebo rovno x

a x je menší nebo rovno b.

Nebo tohle je jen jiný
způsob, jak vyjádřit,

že x je právě v tomhle intervalu tady.

Teď když se na to podíváte,
můžete si říct aha,

určitý integrál, ten má
co dočinění s derivací

a primitivní funkcí a vším tímhle.

Ale my to ještě neznáme.

Všechno, co víme už teď, je,

že tohle je plocha
pod křivkou f mezi A a x

mezi A a řekněme, že tohle zde, je x.

Čili f(x) je prostě tahle plocha tady.

To je vše, co o tom víme.

Nevíme ještě, že to má
co dočinění s primitivní funkcí,

ještě.

Budeme se to snažit dokázat v tomto videu.

Tak jen tak ze srandy udělejme derivaci f.

Tu získáme použitím
definice derivace a uvidíme,

co dostaneme, když použijeme derivaci

podle definice derivace.

Takže derivace f ' (x),
no tahle definice derivace,

to je: limita pro delta x blížící se nule

z velkého F(x) plus delta x mínus f(x),

to celé lomeno delta x.

Tohle je jenom definice derivace.

A teď, čemu se to rovná?

No, dovolte mi to přepsat
pomocí integrálů právě sem.

Bude se to rovnat limitě,

když se delta x blíží nule z…
co je f(x) plus delta x?

Tak tadyhle vložme x.

Dostanete určitý integrál
od a do x plus delta x

z f(t) podle dt.

A potom od tohohle odečtete tuhle věc,

odečtete F(x), které jsme si už zapsali

jako určitý integrál
od a do x z funkce f(t) podle dt

a to celé potom děleno delta x.

Takže co tohle představuje?

Nezapomeňte, že nevíme
nic o určitých integrálech

nebo o řešení něčeho
s primitivní funkcí a vším tím.

Víme jen to, že tohle je jiný způsob,

jak vyjádřit plochu pod křivkou f
mezi A a x plus delta x.

Takže to je celá ta plocha tady.

To je tedy tahle část.

Víme už, co znamená tohle modré.

To bych udělal stejným odstínem modré.

Takže tohle modré tady,

to se rovná celé téhle věci.

Už jsme to vybarvili.

To je rovno celé téhle části tady.

Takže pokud byste vzali
celou tuhle zelenou plochu,

která je od a do x plus delta x
a odečetli od ní modrou plochu,

což je přesně to, co děláme v čitateli,

co by nám zbylo?

No zůstala by vám…

Jakou barvu jsem ještě nepoužil?

Asi použiju tuhle růžovou.

Tak ale tu jsem už použil.

Použiju tuhle fialovou.

Zůstala by vám tahle plocha zde.

Takže jak jinak to můžeme zapsat?

No jiný způsob zapsání téhle plochy zde

je určitý integrál mezi x a x plus delta x

z funkce f(t) podle dt.

Takže celý ten výraz můžeme přepsat jako

derivace velkého F(x)
– tohle je velké F(x) s čárkou –

teď to můžeme přepsat,
že se to rovná limitě

pro x blížící se 0, tohle můžu zapsat jako

1 lomeno delta x krát čitatel.

A už jsme přišli na čitatele.

Zelená oblast mínus modrá oblast
je jednoduše fialová oblast

a jiná možnost, jak zapsat tu oblast,

je tenhle výraz.

Takže 1 lomeno delta x
krát určitý integrál

od x do x plus delta x
z funkce f(t) podle dt.

Tak a tenhle výraz je zajímavý.

Může vám připadat známý
z věty o střední hodnotě funkce

určitého integrálu.

Věta o střední hodnotě
funkce určitého integrálu

nám říká, že existuje c na intervalu,

kde – napíšu to takhle –

kde a je menší nebo rovno c,
které je menší než…

nebo vlastně, to bych rád vysvětlil.

Interval, který nás zajímá,
je mezi x a x plus delta x

kde x je menší nebo rovno c,

které je menší nebo rovno x plus delta x

takové, že hodnota funkce v bodě c…

tak to c bych načrtl,

takže existuje c někde tady,

čili pokud vezmeme
hodnotu funkce v bodě c,

a tohle je f(c).

Tak pokud bychom chtěli
hodnotu funkce v bodě c,

což by fakticky byla výška této čáry,

a to násobím délkou základny,

tímto intervalem, pokud to
násobím tímto intervalem

…ten interval je právě delta x,

x plus delta x mínus x je právě delta x.

Tak když vynásobíme výšku krát základnu,

bude se to rovnat ploše pod křivkou,

což je určitý integrál od x do x plus
delta x z funkce f(t) podle dt.

To je to, co nám říká věta
o střední hodnotě funkce.